2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第二章　不等式2.3

§2.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
最新考纲
考情考向分析
了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题.
以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度中低档.



1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分

2.线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题



概念方法微思考
1．不等式x≥0表示的平面区域是什么？
提示　不等式x≥0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴)．
2．可行解一定是最优解吗？二者有何关系？
提示　不一定．最优解是可行解中的一个或多个．
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．(　√　)
(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　×　)
(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(　√　)
(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示．(　√　)
(5)线性目标函数的最优解是唯一的．(　×　)
(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．(　√　)
(7)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　×　)
题组二　教材改编
2．[P86T3]不等式组表示的平面区域是(　　)


答案　B
解析　x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分．



题组三　易错自纠
3．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是(　　)
A．(0,0) B．(－1,1)
C．(－1,3) D．(2，－3)
答案　C
解析　把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.
4．(2018·全国Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．
答案　6
解析　作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(含边界)所示．

由z＝3x＋2y，得y＝－x＋.
作直线l0：y＝－x，平移直线l0，当直线y＝－x＋过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
5．已知x，y满足约束条件若使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为________．
答案　－1
解析　先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线y＝－ax＋z和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.




题型一　二元一次不等式(组)表示的平面区域

命题点1　不含参数的平面区域问题
例1 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是(　　)
A. B. C．2 D．2
答案　B
解析　作出不等式组表示的平面区域是以点O(0,0)，B(－2，0)和A(1，)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，

由图知该平面区域的面积为×2×＝，故选B.
命题点2　含参数的平面区域问题
例2 (2018·嘉兴市基础测试)若不等式组表示的平面区域为一个三角形的内部区域，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　如图所示，当直线x＋y＝a在直线x＋y＝(该直线经过直线x－y＝0和直线3x＋y＝3的交点)的下方时，原不等式组表示的平面区域为一个三角形的内部区域，因此a<，故选C.

思维升华 平面区域的形状问题主要有两种题型
(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状．
(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．
跟踪训练1 (1)不等式组表示的平面区域的形状为(　　)
A．等边三角形 B．梯形
C．等腰直角三角形 D．正方形
答案　C
解析　作出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知平面区域的形状为等腰直角三角形(阴影部分，含边界)．

(2)已知由不等式组确定的平面区域Ω的面积为7，则k的值为(　　)
A．－3 B．－1 C．3 D．1
答案　B
解析　作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，

可知该区域是等腰直角三角形且面积为8.
由于直线y＝kx＋2恒过点B(0,2)，且原点的坐标恒满足y－kx≤2，
当k＝0时，y≤2，此时平面区域Ω的面积为6，
由于6<7，由此可得k<0.由
可得D，
依题意应有×2×＝1，
解得k＝－1或k＝3(舍去)，故选B.

题型二　求目标函数的最值问题

命题点1　求线性目标函数的最值
例3 (2018·温州市适应性考试)若实数x，y满足约束条件则z＝2x＋y的取值范围是(　　)
A．[3,4] B．[3,12]
C．[3,9] D．[4,9]
答案　C
解析　画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线2x＋y＝0，结合图象，平移直线2x＋y＝0得，在点A(3,3)处目标函数取最大值9，在点B(1,1)处目标函数取最小值3，故选C.

命题点2　求非线性目标函数的最值
例4 已知实数x，y满足则z＝的取值范围是________．
答案　
解析　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，这是一个三角形区域(包含边界)，三角形的三个顶点的坐标分别为B(1,2)，C，D(2,3)，的几何意义是可行域内任一点(x，y)与点(－2,0)连线的斜率，记P(－2,0)，连接PB，PC，由于直线PB的斜率为，直线PC的斜率为，由图可知z＝的取值范围是.

命题点3　求参数值或取值范围
例5 (1)(2018·丽水、衢州、湖州三地市质检)已知x，y∈R满足条件若目标函数z＝ax＋y仅在点(2,3)处取得最大值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞)
答案　D
解析　作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数z＝ax＋y可化为y＝－ax＋z，且目标函数仅在点A(2,3)处取到最大值，所以－a－1，故选D.

(2)(2018·杭州七校联考)若x，y满足约束条件z＝2x＋y的最大值为8，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案　C
解析　将目标函数变形为y＝－2x＋z，当z取最大值时，直线的纵截距最大，易知直线x＋y－5＝0与2x－y－1＝0的交点(2,3)不能使得目标函数取得最大值8.因为直线ax－2y＋1＝0恒过定点，所以要使目标函数能取到最大值，需－1<<，即－2
思维升华 常见的三类目标函数
(1)截距型：形如z＝ax＋by.
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝.
跟踪训练2 (1)(2018·浙江)若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________．
答案　－2　8
解析　由，画出可行域如图阴影部分所示(含边界)．

由解得A(4，－2)，
由解得B(2,2)，
将函数y＝－x的图象平移可知，
当目标函数的图象经过A(4，－2)时，zmin＝4＋3×(－2)＝－2；
当目标函数的图象经过B(2,2)时，zmax＝2＋3×2＝8.
(2)(2018·浙江金丽衢十二校联考)设x，y满足约束条件则目标函数z1＝2x－y的最大值是______，目标函数z2＝x2＋y2的最小值是________．
答案　6　2
解析　在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(2,0)，(0,2)，(4,2)为顶点的三角形区域(包含边界)(图略)，易得当目标函数z1＝2x－y经过平面区域内的点(4,2)时，取得最大值2×4－2＝6.z2＝x2＋y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，易得原点到直线x＋y＝2的距离的平方为所求最小值，即z2＝x2＋y2的最小值为2＝2.
(3)(2018·浙江名校联盟联考)设x，y满足若z＝2x＋y的最大值为，则实数a的值为(　　)
A．－ B．0 C．1 D．－或1
答案　C
解析　方法一　由z＝2x＋y存在最大值，可知a>－1，显然a＝0不符合题意．作出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分(含边界)所示，作直线2x＋y＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x＋y－2＝0与ax－y－a＝0的交点时，z取得最大值，
由得代入2x＋y＝得a＝1，故选C.

方法二　由z＝2x＋y存在最大值，可知a>－1，显然a＝0不符合题意，作出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分(含边界)所示，作直线2x＋y＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x＋y－2＝0与ax－y－a＝0的交点时，z取得最大值，由得代入ax－y－a＝0得a＝1，故选C.


1．(2017·浙江)若x，y满足约束条件则z＝x＋2y的取值范围是(　　)
A．[0,6] B．[0,4]
C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)
答案　D
解析　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

由题意可知，当直线y＝－x＋过点A(2,1)时，z取得最小值，即zmin＝2＋2×1＝4.
所以z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞)．
故选D.
2．(2018·杭州质检)设不等式组所表示的区域面积为S(m∈R)．若S≤1，则(　　)
A．m≤－2 B．－2≤m≤0
C．0 答案　A
解析　如图，当x＋y＝1与y＝mx的交点为(－1,2)时，阴影部分的面积为1，此时m＝－2，若S≤1，则m≤－2，故选A.

3．(2018·嘉兴市、丽水市教学测试)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的平面区域上的一动点，则直线OM斜率的最小值为(　　)
A．2 B．1 C．－ D．－
答案　C
解析　在平面直角坐标系内画出题中的不等式组所表示的平面区域，其是以(1,0)，(3，－1)，(2,2)为顶点的三角形及其内部(图略)，由图易得平面区域内的点(3，－1)与原点连线的斜率最小，斜率的最小值为＝－，故选C.
4．(2019·浙江名校新高考研究联盟联考)设实数x，y满足约束条件则z＝|x|－y的取值范围是(　　)
A. B．[－1,3]
C. D．[－1,0]
答案　A
解析　在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(－1,1)，(1,2)，(－1，－2)为顶点的三角形区域(包含边界)，在平面直角坐标系内画出y＝x－z(x≥0)和y＝－x－z(x<0)(图略)，由图易得当y＝x－z(x≥0)经过平面区域内的点时，z＝|x|－y取得最小值zmin＝|0|－＝－.当y＝－x－z(x<0)经过平面区域内的点(－1，－2)时，z＝|x|－y取得最大值zmax＝|－1|－(－2)＝3，综上所述，z＝|x|－y的取值范围为，故选A.

5．设x，y满足约束条件向量a＝(2x,1)，b＝(1，m－y)，则满足a⊥b的实数m的最小值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　B
解析　由向量a＝(2x,1)，b＝(1，m－y)，a⊥b
得2x＋m－y＝0，整理得m＝y－2x，
根据约束条件画出可行域，如图所示，将求m的最小值转化为求y＝2x＋m在y轴上的截距的最小值，

当直线y＝2x＋m经过点A时，m最小，
由解得A，
则实数m的最小值为－2×＋＝－.故选B.
6．(2018·浙江“七彩阳光”联盟期初联考)已知变量x，y满足约束条件若不等式2x－y＋m2≥0恒成立，则实数m的取值范围为(　　)
A．[－，]
B．[－，]
C．(－∞，－]∪[，＋∞)
D．(－∞，－]∪[，＋∞)
答案　D
解析　作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，令z＝－2x＋y，则y＝2x＋z，当直线y＝2x＋z经过点A(－4，－1)时，z取得最大值，即zmax＝－2×
(－4)－1＝7.因为不等式2x－y＋m2≥0恒成立，所以m2≥(－2x＋y)max＝zmax恒成立，即m2≥7，解得m≤－或m≥，所以实数m的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞)，故选D.

7．(2018·台州市质量评估)已知实数x，y满足不等式组则(x－1)2＋(y＋2)2的取值范围是(　　)
A．[1,5] B．[，5]
C．[5,25] D．[5,26]
答案　D
解析　画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，因为(x－1)2＋(y＋2)2表示平面区域内的点到点P(1，－2)的距离的平方，直线PO：y＝－2x与直线x－2y＝0垂直，由图知，点P(1，－2)到直线x－2y＝0的距离的平方为所求最小值，即为2＝5，与点A(0,3)的距离的平方为所求最大值，即为(0－1)2＋[3－(－2)]2＝26，所以所求取值范围为[5,26]，故选D.

8．(2018·绍兴市嵊州市适应性考试)已知实数x，y满足约束条件若z＝tx＋y的最小值为1，则实数t的取值范围是(　　)
A．t≤－2 B．－2≤t≤1
C．t≥1 D．t≤－2或t≥1
答案　B
解析　画出满足约束条件的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知只有平移直线tx＋y＝0经过直线2x－y＋1＝0与直线x＋y－1＝0的交点C(0,1)时，目标函数z＝tx＋y的值为1，则目标函数z＝tx＋y要取得最小值1，直线z＝tx＋y必过点C(0,1)．当t≥0时，则－t≥－1，即0≤t≤1；当t<0时，则－t≤2，即－2≤t<0.综上可知，实数t的取值范围是
－2≤t≤1，故选B.

9．(2018·杭州地区四校联考)不等式组表示的平面区域的面积是________；若z＝|x－y|，则z的取值范围为________．
答案　　
解析　画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，其中G、H，则不等式组表示的平面区域的面积S＝××＝.令z1＝x－y，作出直线x－y＝0，平移该直线，当直线经过点G时，z1取得最小值，经过H时，z1取得最大值，所以－≤x－y≤，所以0≤z≤.

10．(2018·绍兴市六校质检)已知实数x，y满足约束条件若z＝x＋y的最大值为6，则m＝________，z1＝2x＋y的最小值为________．
答案　3　－9
解析　作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，由图可知，当直线z＝x＋y过点A(m，m)时，z取得最大值6，所以m＝3.当直线z1＝2x＋y过点
B(－6,3)时，z1取得最小值，最小值为－9.

11．(2019·浙江部分重点中学调研)若实数x，y满足约束条件则该不等式组表示的平面区域的面积为________，目标函数z＝3|x|－4y的取值范围是________．
答案　6　[－5,18]
解析　由题意得，该不等式组表示的平面区域是直角三角形ABC及其内部区域(如图中阴影部分所示)．该三角形的三个顶点分别为A(－1,0)，B(1,2)，C(2，－3)，且AB⊥AC，AB＝2，AC＝3，所以S△ABC＝×2×3＝6.因为目标函数z＝3|x|－4y可化为y＝|x|－，结合图形可知，目标函数z＝3|x|－4y在B(1,2)处取得最小值，且zmin＝－5，在C(2，－3)处取得最大值，且zmax＝18.所以z∈[－5,18]．

12．(2018·浙江六校协作体联考)若变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使得目标函数z＝λx＋2y取得最大值，则实数λ的值为________．
答案　－1
解析　可行域如图中阴影部分(含边界)所示．目标函数z＝λx＋2y可化为y＝－x＋，因为有无穷多个点(x，y)使得直线y＝－x＋在y轴上的截距取得最大值，由图可得y＝－x＋与直线BC：y＝＋1重合时满足题意，所以－＝，解得λ＝－1.


13．(2018·杭州高级中学仿真考试)已知实数x，y满足约束条件则xy的最大值是(　　)
A. B. C．4 D.
答案　A
解析　画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，设直线x＋2y－6＝0与曲线y＝相切于第一象限，切点为(x0，y0)．由y＝，得y′＝－，所以解得所以xy的最大值为，故选A.

14．(2018·浙江知名重点中学考前热身联考)设实数x，y满足约束条件则x＋3y的最大值为________；若x2＋4y2≤a恒成立，则实数a的最小值为________．
答案　8　20
解析　作出不等式组表示的平面区域如图1中阴影部分(含边界)所示，由图1可知，当u＝x＋3y过点A(2,2)时，u＝x＋3y取得最大值umax＝2＋3×2＝8.
令x＝x′，2y＝y′，则原不等式组等价于
作出可行域如图2中阴影部分(含边界)所示，由图2可知，x′2＋y′2的最大值，即原点到点B(2,4)的距离的平方，易得|OB|2＝22＋42＝20，所以a的最小值为20.


15．(2018·台州市三区三校适应性考试)已知实数x，y满足约束条件a为常数，若目标函数z＝y－|x|的最大值是，则实数a的取值组成的集合是________．
答案　
解析　由题意，要使不等式33，解得a<－1或a>3.作出不等式组表示的平面区域如图所示，其中A，E(3,6)．当点E(3,6)在直线x＋2y＝a2－2a的上方时，3＋2×6>a2－2a，即－30，易知目标函数z＝y－|x|＝y－x在点D处取得最大值，即－＝，解得a＝0(舍去)或a＝4；当点E(3,6)在直线x＋2y＝a2－2a的下方或在直线上时，3＋2×6≤a2－2a，解得a≤－3或a≥5，故有a≤－3或a≥5，此时可行域为三角形ABE及其内部(不包含线段AB)，则x>0，目标函数z＝y－|x|＝y－x在点E(3,6)处取得最大值，则6－3＝，解得a＝.综上，实数a的取值组成的集合是.

16．(2018·浙江金华一中模拟)若实数x，y满足则|x－2y－1|＋3|x－y|的取值范围为________．
答案　
解析　设目标函数z＝|x－2y－1|＋3|x－y|.如图所示，分四种情况：

①当时，z＝4x－5y－1，满足约束条件下的平面区域，只有一个点A(1,0)，此时z＝3；
②当时，z＝－2x＋y－1，满足约束条件下的平面区域不存在；
③当时，z＝2x－y＋1，满足约束条件下的平面区域为△ADE，则直线z＝2x－y＋1经过点D时，取得最小值，经过点A(1,0)时，取得最大值3；
④当时，z＝－4x＋5y＋1，满足约束条件下的平面区域为四边形BCED，则直线z＝－4x＋5y＋1经过点D时，取得最小值，经过点C(2,3)时，取得最大值8.
综上可知z＝|x－2y－1|＋3|x－y|的最小值为，最大值为8，即|x－2y－1|＋3|x－y|的取值范围是.