2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第十章计数原理10.3

§10.3　二项式定理
最新考纲
考情考向分析
1.了解二项式定理.
2.理解二项式系数的性质.
以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度中档.


1.二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式的通项公式
Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项
二项式系数
二项展开式中各项的系数C(k∈{0，1，2，…，n})

2.二项式系数的性质
(1)C＝1，C＝1.
C＝C＋C.
(2)C＝C.
(3)当n是偶数时，项的二项式系数最大；当n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大.
(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
概念方法微思考
1.(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？
提示　(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.
2.二项展开式形式上有什么特点？
提示　二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.
3.二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？
提示　不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是二项展开式的第k项.(　×　)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(　×　)
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(　√　)
(4)(a－b)n的展开式第k＋1项的系数为Can－kbk.(　×　)
(5)(x－1)n的展开式二项式系数和为－2n.(　×　)
题组二　教材改编
2.[P31例2(2)](1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　)
A.80 B.40 C.20 D.10
答案　B
解析　Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，当k＝2时，x2的系数为C·22＝40.
3.[P31例2(2)]若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)
A.10 B.20 C.30 D.120
答案　B
解析　二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·k＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C＝20.
4.[P41B组T5]若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
答案　B
解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.
题组三　易错自纠
5.(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　)
A.C B.C
C.C D.(－1)m－1C
答案　D
解析　(x－y)n二项展开式第m项的通项公式为
Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，
所以系数为C(－1)m－1.
6.已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
答案　B
解析　由二项式定理知，an＝C(n＝1，2，3，…，11).
又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，
所以a6＝C，则k的最大值为6.
7.(x－y)4的展开式中，x3y3项的系数为________.
答案　6
解析　二项展开式的通项是Tk＋1＝C(x)4－k·(－y)k＝，令4－＝2＋＝3，解得k＝2，故展开式中x3y3的系数为(－1)2C＝6.


题型一　二项展开式

命题点1　求指定项(或系数)
例1　(1)(1＋x)6的展开式中x2的系数为(　　)
A.15 B.20 C.30 D.35
答案　C
解析　因为(1＋x)6的通项为Cxk，所以(1＋x)6的展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.
因为C＋C＝2C＝2×＝30，
所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为30.
故选C.
(2)(2018·温州市高考适应性测试)在9的展开式中，常数项是(　　)
A.C B.－C
C.8C D.－8C
答案　D
解析　二项式9的展开式的通项公式为C9－k(－2x)k＝，令＝0，得k＝3，则二项式9的展开式中的常数项为(－2)3C＝－8C，故选D.
(3)(x2＋x＋y)4的展开式中，x3y2的系数是________.
答案　12
解析　方法一　(x2＋x＋y)4＝[(x2＋x)＋y]4，
其展开式的第k＋1项的通项公式为Tk＋1＝C(x2＋x)4－kyk，
因为要求x3y2的系数，所以k＝2，
所以T3＝C(x2＋x)4－2y2＝6(x2＋x)2y2.
因为(x2＋x)2的展开式中x3的系数为2，
所以x3y2的系数是6×2＝12.
方法二　(x2＋x＋y)4表示4个因式x2＋x＋y的乘积，
在这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，
故x3y2的系数是C·C·C＝12.
命题点2　求参数
例2　(1)若(x2－a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)
A. B. C.1 D.2
答案　D
解析　由题意得10的展开式的通项公式是Tk＋1＝C·x10－k·k＝Cx10－2k，10的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D.
(2)若6的展开式中常数项为，则实数a的值为(　　)
A.±2 B. C.－2 D.±
答案　A
解析　6的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)6－k·k＝Ckx12－3k，令12－3k＝0，
得k＝4.
故C·4＝，即4＝，解得a＝±2，故选A.
思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可.
跟踪训练1　(1)(2018·浙江七彩阳光联盟联考)(1＋x)6的展开式中x3的系数为__________.
答案　14
解析　在(1＋x)6的展开式中x3的系数为C＝20，·(1＋x)6的展开式中x3的系数为C＝6，所以(1＋x)6的展开式中x3的系数为20－6＝14.
(2)(2018·丽水、衢州、湖州三地教学质量检测)若6的展开式中x3的系数为－12，则a＝______；常数项是________.
答案　2　60
解析　由于二项展开式的通项Tk＋1＝Cx6－kk＝(－a)kCx6－3k，令6－3k＝3，则k＝1，所以(－a)C＝－6a＝－12，a＝2；令6－3k＝0，则k＝2，所以常数项是(－2)2C＝4×15＝60.
题型二　二项式系数的和与各项的系数和问题
例3　(1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.
答案　3
解析　设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.
(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.
答案　1或－3
解析　令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，
∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，
∴m＝－3或m＝1.
(3)若n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________.
答案　255
解析　n展开式的第k＋1项为
Tk＋1＝C(x2)n－k·k＝C(－1)kx2n－3k，
当k＝5时，2n－3k＝1，∴n＝8.
对(1－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256.
又当x＝0时，a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a8＝255.
思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
跟踪训练2　已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
解　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7
＝－1.①
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②
(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，
得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.
(3)(①＋②)÷2，
得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.
(4)方法一　∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.
方法二　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即为(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.


题型三　二项式定理的应用
例4　(1)设a∈Z且0≤a