2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第五章三角函数、解三角形5.6

§5.6　正弦定理和余弦定理
最新考纲
考情考向分析
掌握正弦定理、余弦定理及其应用.
以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度.



1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
(1)＝＝＝2R
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(3)a＝2Rsin A，
b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(6)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
(7)cos A＝；
cos B＝；
cos C＝

2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsin A
bsin A a≥b
a>b
解的
个数
一解
两解
一解
一解

3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
概念方法微思考
1．在△ABC中，∠A>∠B是否可推出sin A>sin B?
提示　在△ABC中，由∠A>∠B可推出sin A>sin B.
2．如图，在△ABC中，有如下结论：bcos C＋ccos B＝a.试类比写出另外两个式子．

提示　acos B＋bcos A＝c；
acos C＋ccos A＝b.

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　×　)
(2)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(　×　)
(3)在△ABC中，＝.(　√　)
(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　√　)
题组二　教材改编
2．[P10B组T2]在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为 ．
答案　等腰三角形或直角三角形
解析　由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．
3．[P18T1]在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为 ．
答案　2
解析　∵＝，
∴sin B＝1，∴B＝90°，
∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2.
题组三　易错自纠
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
答案　A
解析　由已知及正弦定理得sin C ∴sin(A＋B) ∴sin Acos B＋cos Asin B 又sin A>0，∴cos B<0，∴B为钝角，
故△ABC为钝角三角形．
5．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
答案　C
解析　由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
6．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则C＝ .
答案　
解析　由3sin A＝5sin B及正弦定理，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，
所以a＝b，c＝b，
所以cos C＝
＝＝－.
因为C∈(0，π)，所以C＝.

题型一　利用正、余弦定理解三角形
例1 (2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
解　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得
bsin A＝asin B.
又由bsin A＝acos，得asin B＝acos，
即sin B＝cos，所以tan B＝.
又因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝.
因为a 因此sin 2A＝2sin Acos A＝，
cos 2A＝2cos2A－1＝.
所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B
＝×－×＝.
思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素；(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．
跟踪训练1 (1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cos A)，又∵a2＝2b2(1－sin A)，
∴cos A＝sin A，∴tan A＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝，
故选C.
(2)(2018·浙江金华一中月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝2，C＝，tan A＝，则sin A＝ ，b＝ .
答案　　4＋
解析　因为角A为△ABC的内角，tan A＝＝，sin2A＋cos2A＝1，联立解得sin A＝(舍负)．又在△ABC中，由正弦定理得＝，解得c＝＝5，则在△ABC中，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C，即(2)2＋b2－52＝2×2bcos ，解得b＝4＋(负舍)．
题型二　和三角形面积有关的问题
例2 (2016·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
(1)证明　由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)解　由S＝，得absin C＝，
故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B，
由sin B≠0，得sin C＝cos B.
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝.
思维升华 (1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
跟踪训练2 (1)若AB＝2，AC＝BC，则S△ABC的最大值为(　　)
A．2 B. C. D．3
答案　A
解析　设BC＝x，则AC＝x.根据三角形的面积公式，
得S△ABC＝·AB·BCsin B＝x.①
根据余弦定理，得
cos B＝＝＝.②
将②代入①，得
S△ABC＝x＝.
由三角形的三边关系，得
解得2－2 故当x＝2时，S△ABC取得最大值2，故选A.
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是 ．
答案　
解析　∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝，
∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.

题型三　正弦定理、余弦定理的应用


命题点1　判断三角形的形状
例3 (1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是(　　)
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
答案　C
解析　方法一　由余弦定理可得a＝2b·，因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，
从而△ABC为等腰三角形．
方法二　由正弦定理可得sin A＝2sin Bcos C，
因此sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C，
故△ABC为等腰三角形．
(2)(2018·杭州二中期中)在△ABC中，acos A＝bcos B，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．以上都可能
答案　D
解析　由余弦定理可得a·＝b·，化简得(a2＋b2－c2)(a＋b)(a－b)＝0，由于a＋b>0，所以a2＋b2＝c2或a＝b，故选D.
引申探究
1．本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos A·sin B＝sin C，判断△ABC的形状．
解　∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，
又0 又由2cos Asin B＝sin C得sin(B－A)＝0，∴A＝B，
故△ABC为等边三角形．
命题点2　求解几何问题
例4 如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.

(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求CD的长．
解　(1)因为AD∶AB＝2∶3，所以可设AD＝2k，
AB＝3k(k>0)．又BD＝，∠DAB＝，
所以由余弦定理，得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos ，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，
sin∠ABD＝＝＝.
(2)因为AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝，
所以sin∠DBC＝，所以＝，
所以CD＝＝.
命题点3　解三角形的实际应用
例5 (1)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)

A．240(－1)m B．180(－1)m
C．120(－1)m D．30(＋1)m
答案　C
解析　如图，在Rt△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60 m，所以CD＝AD·tan 60°＝60(m)．

在Rt△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，
所以BD＝AD·tan 15°＝60(2－)(m)．
所以BC＝CD－BD＝60－60(2－)
＝120(－1)(m)．
(2)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°，若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为 m/s.(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236)

答案　22.6
解析　因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v，在Rt△ADB中，AB＝＝＝200.在Rt△ADC中，AC＝＝＝100.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos 135°，所以v＝≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.
思维升华 (1)判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
(2)求解几何计算问题要注意：
①根据已知的边角画出图形并在图中标示；
②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．
(3)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(4)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
跟踪训练3　(1)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案　B
解析　∵cos2＝，cos2＝，
∴(1＋cos B)·c＝a＋c，∴a＝cos B·c＝，
∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形．
(2)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是 ．
答案　(－，＋)
解析　如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF 在等腰三角形CBF中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，

∴BF＝＝－.
在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，
BE＝CE，BC＝2，＝，
∴BE＝×＝＋.
∴－

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60°，则边c等于(　　)
A．1 B．2 C．4 D．6
答案　C
解析　∵a2＝c2＋b2－2cbcos A，
∴13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，
即c2－3c－4＝0，
解得c＝4或c＝－1(舍去)．
2．(2018·杭州地区七校期中联考)在△ABC中，a＝2m，b＝4m(m>0)，如果三角形有解，则角A的取值范围是(　　)
A．0° C．0° 答案　A
解析　由题意得点B在以C为圆心，2m为半径的圆上(除去与直线AC的交点)，所以A>0°，且当AB与圆C相切时，角A取得最大值，此时AB⊥BC，则sin A＝＝＝，又因为a 3．(2018·金华十校模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，△ABC的面积为，且sin A＋sin C＝2sin B，则b的值为(　　)
A．4＋2 B．4－2
C.－1 D.＋1
答案　D
解析　在△ABC中，由sin A＋sin C＝2sin B结合正弦定理得a＋c＝2b，△ABC的面积为acsin B＝ac×＝，解得ac＝6，则在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B＝(2b)2－(2＋)×6，解得b＝＋1，故选D.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案　A
解析　∵向量m＝，n＝共线，
∴acos ＝bcos .
由正弦定理得sin Acos ＝sin Bcos .
∴2sin cos  cos ＝2sin cos cos .
则sin ＝sin .∵0<<，0<<，
∴＝，即A＝B.
同理可得B＝C.∴△ABC的形状为等边三角形．故选A.
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为(　　)
A．4π B．8π C．9π D．36π
答案　C
解析　c＝bcos A＋acos B＝2，由cos C＝，得sin C＝，再由正弦定理可得2R＝＝6，R＝3，所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π，故选C.
6．(2018·浙东北联盟期中考试)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为(　　)

A. m B. m
C. m D. m
答案　A
解析　设山顶为A，塔底为C，塔顶为D，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点B(图略)，则易得AB＝，BD＝AB·tan 30°＝·tan 30°＝×＝(m)，所以CD＝BC－BD＝200－＝(m)，故选A.
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为 ．
答案　或
解析　由余弦定理，得＝cos B，
结合已知等式得cos B·tan B＝，
∴sin B＝，又0 8．(2019·台州调研)为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)如图所示，且∠B＋∠D＝180°，则AC的长为 km.

答案　7
解析　在△ABC中，由余弦定理得AC2＝82＋52－2×8×5cos B，在△ACD中，由余弦定理得AC2＝32＋52－2×3×5cos D，由cos D＝－cos B并消去AC2得cos B＝，所以AC＝7.
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为 ．
答案　＋1
解析　∵b＝2，B＝，C＝.
由正弦定理＝，
得c＝＝＝2，A＝π－＝，
∴sin A＝sin＝sin cos ＋cos sin
＝.
则S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝＋1.






10．(2018·诸暨模拟)如图，已知△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC＝7，AB的中垂线交BC于点D，则BD＝ ，△ADC的面积等于 ．

答案　　
解析　记AB的中点为E，在△ABC中，由余弦定理得cos B＝＝，sin B＝＝，S△ABC＝AB·BC·sin B＝10；在Rt△BDE中，BE＝AB＝4，cos B＝＝＝，因此BD＝，＝，S△ABD＝S△ABC，S△ADC＝S△ABC＝.
11．(2018·宁波模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知3asin C＝ccos A.
(1)求sin A的值；
(2)若B＝，△ABC的面积为9，求a的值．
解　(1)因为3asin C＝ccos A，
所以3sin Asin C＝sin Ccos A，
又因为sin C≠0，所以tan A＝，A∈(0，π)，
所以sin A＝.
(2)由(1)知，cos A＝，
sin C＝sin(A＋B)＝sin＝.
由正弦定理得＝＝，c＝2a，
因为S△ABC＝acsin B＝a×2a×＝a2＝9，
所以a＝3.
12．(2018·北京)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.
(1)求∠A；
(2)求AC边上的高．
解　(1)在△ABC中，因为cos B＝－，
所以sin B＝＝.
由正弦定理得sin A＝＝.
由题设知<∠B<π，
所以0<∠A<，
所以∠A＝.
(2)在△ABC中，
因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
所以AC边上的高为asin C＝7×＝.

13．在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2absin C，则△ABC的形状是(　　)
A．不等腰的直角三角形 B．等腰直角三角形
C．钝角三角形 D．正三角形
答案　D
解析　易知a2＋b2＋c2＝a2＋b2＋a2＋b2－2abcos C＝2absin C，即a2＋b2＝2absin，由于a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，所以2absin≥2ab，sin≥1，故只能a＝b且C＋＝，所以△ABC为正三角形．
14．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为(　　)
A．2 B．6 C. D．9
答案　D
解析　∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，∴cos A＝＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.∵a＝3，∴由正弦定理得＝＝＝＝2，∴b＝2 sin B，c＝2 sin C，则a＋b＋c＝3＋2sin B＋2 sin C＝3＋2sin B＋2sin＝3＋3sin B＋3cos B＝3＋6sin，∵B∈，∴当B＝时周长取得最大值9.

15．(2018·舟山中学模拟)已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A－cos2A＝，则下列各式正确的是(　　)
A．b＋c＝2a B．b＋c<2a
C．b＋c≤2a D．b＋c≥2a
答案　C
解析　由sin2A－cos2A＝得cos2A－sin2A＝－，
则cos 2A＝－，又A∈，∴2A＝，A＝，
∴B＋C＝π－＝，
在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝，而sin B＋sin C＝sin B＋sin
＝sin B＋cos B＋sin B＝sin.
又∵0 ∴ 而a＝(b＋c)≥(b＋c)＝，
即2a≥b＋c，故选C.
16．(2018·诸暨调研)在直角△ABC中，A＝，B＝，点P在△ABC内，∠APC＝π，∠BPC＝，设∠PCA＝α，求tan α的值．

解　由题意知AC＝·BC，∠PBC＝∠PCA＝α，
∴PC＝BC·sin α，
又∠APC＝，∴∠PAC＝－α，
在△APC中，由正弦定理得＝，
即＝2，
化简得2sin α＝cos α，易知cos α≠0，
∴tan α＝.