2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第四章第七节正弦定理和余弦定理

第七节正弦定理和余弦定理


1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R，(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形形式(边角转化)
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
sin A＝，sin B＝，
sin C＝；
a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝

2．三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)；
(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
[小题体验]
1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．1
C. D．
解析：选D　由正弦定理，得b＝＝＝.
2．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若2asin B＝b，则角A等于(　　 )
A. B.
C. D.
答案：A
3．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为________．
答案：4

1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．
2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．
[小题纠偏]
1．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝120°，a＝2，b＝，则B等于(　　)
A．60°　 B．150°
C．30°或150° D．30°
解析：选D　∵A＝120°，a＝2，b＝，
∴由正弦定理＝可得，sin B＝sin A＝×＝.∵A＝120°，∴B＝30°.
2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2 ，cos A＝且b＜c，则b＝(　　)
A．3 B．2
C．2 D．
解析：选C　由a2＝b2＋c2－2bccos A，
得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.
又b＜c，∴b＝2.


[典例引领]
1．(2018·兰州实战考试) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝(　　)
A．　　　　　　　　　 　B．－
C． D．－
解析：选B　由题意得，b2＝ac＝2a2，
即b＝a，∴cos C＝＝＝－，
故选B.
2．(2018·“超级全能生”联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝2b.若sin C＝，则sin B＝________；若b2＋bc＝2a2，则cos B＝________.
解析：因为c＝2b，所以sin C＝2sin B＝，所以sin B＝.因为c＝2b，所以b2＋bc＝3b2＝2a2，所以a＝b.
所以cos B＝＝＝.
答案：　
[由题悟法]
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
[即时应用]
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
解：(1)∵bsin A＝acos B，
由正弦定理得sin Bsin A＝sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，
即得tan B＝，
∴B＝.
(2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
即9＝a2＋4a2－2a·2acos，
解得a＝，
∴c＝2a＝2.


[典例引领]
1．(2018·贵阳监测)在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2 ＝，则△ABC的形状一定是________．
解析：由题意，得＝，即cos B＝，又由余弦定理，得＝，整理得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．
答案：直角三角形
2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，故cos A＝－，
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由(1)得，sin B＋sin C＝sin B＋sin＝sin B＋cos B－sin B＝cos B＋sin B＝sin＝1，
因为0＜B＜，
所以B＋＝，即B＝，C＝，
所以△ABC是等腰钝角三角形．
[类题通法]
判定三角形形状的2种常用途径

[提醒]　在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．
[即时应用]
1．(2019·平湖模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asin A＋bsin B＜csin C，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形　　　　　 　B．直角三角形
C．钝角三角形 D．正三角形
解析：选C　因为asin A＋bsin B＜csin C，由正弦定理可得a2＋b2＜c2，由余弦定理可得cos C＜0，所以C＞.所以△ABC是钝角三角形．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
解析：选C　∵＝，
∴＝，∴b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝，
∴△ABC是等边三角形．

[典例引领]
(2018·“七彩阳光”联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知c＝2，且ccos A＋bcos C＝b.
(1)判断△ABC的形状；
(2)若C＝，求△ABC的面积．
解：(1)因为ccos A＋bcos C＝b，由正弦定理可得
sin Ccos A＋sin Bcos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin Bcos C＝sin Acos C，
故有cos C＝0或sin A＝sin B.
当cos C＝0时，C＝，所以△ABC是直角三角形；
当sin A＝sin B时，a＝b，所以△ABC是等腰三角形．
(2)由(1)知，c＝2，a＝b，
因为C＝，所以由余弦定理可得4＝a2＋a2－2a2cos，
解得a2＝8＋4.
所以△ABC的面积S＝a2sin＝2＋.
[由题悟法]
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
[即时应用]
(2018·金华十校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知B≠，sin A＝sin(B－C)＋2sin 2B.
(1)求证：c＝2b；
(2)若△ABC的面积为S＝5b2－a2，求tan A的值．
解：(1)证明：由sin A＝sin(B－C)＋2sin 2B，
得sin(B＋C)＝sin(B－C)＋4sin Bcos B，
化简可得cos Bsin C＝2sin Bcos B.
因为B≠，所以sin C＝2sin B.
所以c＝2b.
(2)因为△ABC的面积为S＝5b2－a2，
所以bcsin A＝5b2－a2.
因为c＝2b，
所以b2sin A＝5b2－a2.
因为a2＝b2＋c2－2bccos A＝5b2－4b2cos A，
所以b2sin A＝4b2cos A，
解得tan A＝4.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·绍兴模拟)在△ABC中，已知内角C为钝角，sin C＝，AC＝5，AB＝3，则BC＝(　　)
A．2　　　　　　　　　　 　B．3
C．5 D．10
解析：选A　由题意知，cos C＝－.由余弦定理，得－＝，解得BC＝2(负值舍去)．
2．(2019·台州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积S＝2cos C，a＝1，b＝2，则c＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题意得，S＝absin C＝2cos C，所以tan C＝2，所以cos C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝17，所以c＝.
3．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(　　 )
A. B.
C. D.
解析：选B　由余弦定理得()2＝22＋AB2－2×2AB·cos 60°，即AB2－2AB－3＝0，解得AB＝3(负值舍去)，故BC边上的高为ABsin 60°＝.
4．(2018·杭州二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos C＝________；当a＝1时，△ABC的面积S＝________.
解析：由正弦定理可知，a∶b∶c＝2∶3∶4，设a＝2t，b＝3t，c＝4t，由余弦定理可得cos C＝＝－，所以sin C＝.因为a＝1，所以b＝，所以S＝absin C＝.
答案：－　
5．在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________.
解析：在△ABM中，由正弦定理得＝＝，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，所以a＝，整理得(3a2－2c2)2＝0，＝，故sin∠BAC＝＝.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2019·温州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asin A＝bsin B＋(c－b)sin C，则角A的大小为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　∵asin A＝bsin B＋(c－b)sin C，∴由正弦定理可得a2＝b2＋c2－bc.由余弦定理可得cos A＝＝，∴A＝.
2．在△ABC中，若lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，则△ABC的形状是(　　 )
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
解析：选D　由条件得＝2，即2cos Bsin C＝sin A．由正、余弦定理得2··c＝a，整理得c＝b，故△ABC为等腰三角形．
3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝(　　 )
A．2 B．2
C. D．1
解析：选B　由已知及正弦定理得＝＝＝，所以cos A＝，A＝30°.由余弦定理得12＝()2＋c2－2c××，整理得c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2.当c＝1时，△ABC为等腰三角形，A＝C＝30°，B＝2A＝60°，不满足内角和定理，故c＝2.
4．(2018·浙江三地市联考)设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(1，)
C．(，) D．(0,2)
解析：选C　因为A＝2B，所以＜B＜.由正弦定理，得＝＝＝2cos B∈(，)．
5．(2019·天台模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A＝，3sin B＝2sin C，且△ABC的面积为2，则a＝(　　)
A．2 B．3
C．2 D．
解析：选B　因为cos A＝，所以sin A＝.因为3sin B＝2sin C，所以3b＝2c.所以S△ABC＝2＝bcsin A＝b2×，解得b＝2，所以c＝3.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋9－2×2×3×＝9，解得a＝3.
6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.
解析：∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b.
又a＝2，∴b＝3.
由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴c2＝22＋32－2×2×3×＝16，
∴c＝4.
答案：4
7．(2019·余姚中学模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2cos A(bcos C＋ccos B)＝a＝，△ABC的面积为3，则A＝________，b＋c＝________.
解析：由正弦定理可得，2cos A(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝2cos Asin A＝sin A，所以cos A＝，解得A＝.因为S△ABC＝3＝bcsin A＝bc，所以bc＝12.由余弦定理可得，13＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，所以(b＋c)2＝49，解得b＋c＝7.
答案：　7
8．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则△ABC的周长的最大值为________．
解析：由正弦定理得＝＝＝，即＝＝2，则BC＝2sin A，AB＝2sin C，又△ABC的周长l＝BC＋AB＋AC＝2sin A＋2sin C＋＝2sin(120°－C)＋2sin C＋＝2sin 120°cos C－2cos 120°sin C＋2sin C＋＝ cos C＋3sin C＋＝2＋＝2sin＋，故△ABC的周长的最大值为3.
答案：3
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(a－3b)·cos C＝c(3cos B－cos A)．
(1)求的值；
(2)若c＝a，求角C的大小．
解：(1)由正弦定理得，(sin A－3sin B)cos C＝sin C(3cos B－cos A)，
∴sin Acos C＋cos Asin C＝3sin Ccos B＋3cos Csin B，
即sin(A＋C)＝3sin(C＋B)，即sin B＝3sin A，∴＝3.
(2)由(1)知b＝3a，∵c＝a，
∴cos C＝＝＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
10．(2019·湖州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(sin A＋sin B＋sin C)(sin B＋sin C－sin A)＝3sin Bsin C.
(1)求角A的值；
(2)求sin B－cos C的最大值．
解：(1)因为(sin A＋sin B＋sin C)(sin B＋sin C－sin A)＝3sin Bsin C，
由正弦定理，得(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由A＝，得B＋C＝，
所以sin B－cos C＝sin B－cos
＝sin B－
＝sin.
因为0＜B＜，所以＜B＋＜，
当B＋＝，即B＝时，sin B－cos C的最大值为1.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2019·嘉兴模拟)已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C.若a2＋2b2＝c2，则＝________，tan B的最大值为________．
解析：因为a2＋2b2＝c2＞a2＋b2，所以C为钝角．
所以＝＝＝＝＝－3.
所以tan C＝－3tan A，
则tan B＝－tan(A＋C)＝＝
＝≤＝，
当且仅当tan A＝时取等号，
故tan B的最大值为.
答案：－3　
2．(2019·杭州名校联考)在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a，b，c.已知2ccos B＝2a－b.
(1)求角C的大小；
(2)若＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)因为2ccos B＝2a－b，
所以2sin Ccos B＝2sin A－sin B＝2sin(B＋C)－sin B，
化简得sin B＝2sin Bcos C，
因为sin B≠0，所以cos C＝.
因为0＜C＜π，所以C＝.
(2)取BC的中点D，则＝||＝2.
在△ADC中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos C，
即有4＝b2＋2－≥2 －＝，
所以ab≤8，当且仅当a＝4，b＝2时取等号．
所以S△ABC＝absin C＝ab≤2，
所以△ABC面积的最大值为2.