2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第三章第四节函数的图象

第四节函数的图象


1．描点法作图
其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)．
(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)．
(3)描点，连线．
2．图象变换
(1)平移变换
①y＝f(x)的图象y＝f(x－a)的图象；
②y＝f(x)的图象y＝f(x)＋b的图象．
(2)对称变换
①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象
y＝logax(a＞0且a≠1)的图象．
(3)伸缩变换
①y＝f(x)的图象
y＝f(ax)的图象；
②y＝f(x)的图象
y＝af(x)的图象．
(4)翻折变换
①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．
[小题体验]
1．(2018·湖州模拟)函数y＝x＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是(　　)

解析：选A　函数y＝x＋1的图象如图所示，关于y＝x对称的图象大致为A选项对应图象．

2．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为(　　)

A．y＝f(|x|)　　　　　　 　B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)
答案：C

1．函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位，其中是把x变成x－.
2．明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．如函数y＝f(|x|)的图象属于自身对称，而y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称是两个函数．
[小题纠偏]
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)．
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　　)
(3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数________的图象．
答案：y＝f(－x＋1)
3．把函数y＝f(2x)的图象向右平移________个单位得到函数y＝f(2x－3)的图象．
答案：


[题组练透]
分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；
(2)y＝2x＋2；
(3)y＝x2－2|x|－1.
解：(1)y＝图象如图1.
(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图2.
　
(3)y＝图象如图3.
[谨记通法]
画图的3种常用方法


[典例引领]
1．若对任意的x∈R，y＝均有意义，则函数y＝loga的大致图象是(　　)

解析：选B　由题意得1－a|x|≥0，即a|x|≤1＝a0恒成立，由于|x|≥0，故0＜a＜1.y＝loga＝－loga|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递增函数，故选B.
2．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)

解析：选D　法一：由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为的扇形．
因为矩形ABCD的周长为8，AB＝x，
则AD＝＝4－x
所以y＝x(4－x)－＝－(x－2)2＋4－(1≤x≤3)，
显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，
且当x＝2时，y＝4－∈(3,4)，故选D.
法二：在判断出点P的轨迹后，发现当x＝1时，y＝3－∈(2,3)，故选D.
[由题悟法]
识图3种常用的方法

[即时应用]
1．(2018·浙江名校联考信息卷三)函数f(x)＝sin x(其中e为自然对数的底数)在[－2π，2π]上图象的大致形状是(　　)

解析：选A　因为f(x)＝sin x＝sin x，f(－x)＝sin(－x)＝(－sin x)＝sin x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项C、D，由f＞0，可排除选项B.故选A.
2．如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)

解析：选B　当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A、C.
当x∈时，f＝f＝1＋，f＝2.∵2＜1＋，∴f＜f＝f，从而排除D，故选B.

[锁定考向]
函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．
常见的命题角度有：
(1)研究函数的性质；
(2)求参数的值或取值范围；
(3)求不等式的解集．　　　 　
[题点全练]
角度一：研究函数的性质
1．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
解析：选C　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
角度二：求参数的值或取值范围
2．若不等式(x－1)2＜logax(a＞0，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1,2]　　　　　　　　　B.
C．(1，) D．(，2)
解析：选A　要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需函数y＝(x－1)2在(1,2)上的图象在y＝logax的图象的下方即可．

当0＜a＜1时，显然不成立；当a＞1时，如图，要使x∈(1,2)时，y＝(x－1)2的图象在y＝logax的图象的下方，只需(2－1)2≤loga2，即loga2≥1，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围为(1,2]．
角度三：求不等式的解集
3．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)
A．{x|－1＜x≤0}
B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1}
D．{x|－1＜x≤2}
解析：选C　令g(x)＝y＝log2(x＋1)，
作出函数g(x)图象如图．
由得
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}．
[通法在握]
函数图象应用的常见题型与求解策略
(1)研究函数性质：
①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．
(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．
(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
[演练冲关]
1．(2018·杭州模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，若实数a，b满足f(a)＝f(b)(a≠b)，则ab的值为(　　)
A．2　　　　　 B．e　　　　　
C.　 D．1
解析：选D　作出函数f(x)的图象如图，若f(a)＝f(b)(a≠b)，
设a＜b，则0＜a＜1，b＞1，即|ln a|＝|ln b|，则－ln a＝ln b，则ln a＋ln b＝ln ab＝0，即ab＝1，故选D.
2．(2018·广州五校联考)已知函数f(x)＝若f(3－a2)＜f(2a)，则实数a的取值范围是________．
解析：如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R上单调递减，
∵f(3－a2)＜f(2a)，
∴3－a2＞2a，解得－3＜a＜1.
答案：(－3,1)

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2018·金华期末)若函数y＝f(x)定义域为实数集R，则函数y＝f(1－x)与y＝f(x－1)的图象关于(　　)
A．直线y＝0对称　　　　　 　B．直线x＝0对称
C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称
解析：选D　假设f(x)＝x2，则
f(x－1)＝(x－1)2，f(1－x)＝(1－x)2＝(x－1)2，
它们是同一个函数，此函数图象关于直线x＝1对称．
2．函数f(x)＝xe－|x|的图象可能是(　　)

解析：选C　因为函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A、B；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝xe－x，因为e－x＞0，所以f(x)＞0，即f(x)在x∈(0，＋∞)时，其图象恒在x轴上方，排除D，故选C.
3．(2019·台州三校适考)函数f(x)＝的大致图象是(　　)

解析：选C　由函数f(x)的解析式可知，f(x)的定义域为{x|x≠0}，排除选项A；当x＜0时，x3＜0,3x－1＜0，所以f(x)＞0，排除选项B；当x→＋∞时，f(x)→0，排除选项D.故选C.
4．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．
解析：当f(x)＞0时，函数g(x)＝log f(x)有意义，
由函数f(x)的图象知满足f(x)＞0时，x∈(2,8]．
答案：(2,8]
5．(2018·金华名校模拟)已知函数f(x)＝的部分图象如图所示，则a＋b＋c＝________.

解析：由图象知2,4是y＝ax2＋bx＋c的两根，又由二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称性和图象知顶点为(3,1)，故解得则a＋b＋c＝－3.
答案：－3
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2019·绍兴模拟)已知f(x)＝x2cos x，则f(x)的部分图象大致是(　　)

解析：选B　因为函数f(x)＝x2cos x，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A、C，当x∈时，f(x)＞0，排除D，故选B.
2．下列函数f(x)图象中，满足f＞f(3)＞f(2)的只可能是(　　)

解析：选D　因为f＞f(3)＞f(2)，所以函数f(x)有增有减，排除A，B.在C中，f＜f(0)＝1，f(3)＞f(0)，即f＜f(3)，排除C，选D.
3．(2018·宁波模拟)在同一个坐标系中画出函数y＝ax，y＝sin ax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是(　　)

解析：选D　当a＞1时，y＝sin ax的周期小于2π，排除A、C，当0＜a＜1时，y＝sin ax的周期大于2π，故选D.
4．(2017·台州期中)函数y＝的大致图象如图所示，则(　　)

A．a∈(－1,0) B．a∈(0,1)
C．a∈(－∞，1) D．a∈(1，＋∞)
解析：选B　当x＝0时，y＝0，故a≠0，
当x＞0 时，y＝＞0恒成立，即a＞－x2恒成立，
所以a＞0，所以y＝＝≤，当且仅当x＝时取等号，由图知，当x＞0时，函数取得最大值时相应的x的值小于1，所以0＜＜1，所以0＜a＜1.
5．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(0,1) D．(－∞，＋∞)
解析：选A　x≤0时，f(x)＝2－x－1，
0＜x≤1时，－1＜x－1≤0，
f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.
故x＞0时，f(x)是周期函数，如图所示．

若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，
故a＜1，即a的取值范围是(－∞，1)．
6．(2018·稽阳联考)函数f(x)＝的图象如图所示，则a＋b＋c＝________.

解析：由图象可求得直线的方程为y＝2x＋2，
又函数y＝logc的图象过点(0,2)，
将其坐标代入可得c＝，
所以a＋b＋c＝2＋2＋＝.
答案：
7．(2018·金华名校联考)已知函数f(x)＝若直线y＝m与函数y＝f(x)的图象交于四点，且四点的横坐标从左至右分别是x1，x2，x3，x4，则z＝(x1－1)(x2－1)(x3－1)(x4－1)的取值范围是________．
解析：作出直线y＝m和函数f(x)的图象如图所示，由题意知x1＜1，x2＜1，且|log2(1－x1)|＝|log2(1－x2)|，
即log2(1－x1)＝－log2(1－x2)，得0＝log2(1－x1)＋log2(1－x2)＝log2(1－x1)(1－x2)，
∴(x1－1)(x2－1)＝1.
易知x3，x4＞1，结合f(x)＝－(x－3)2＋5(1≤x≤5)的图象关于直线x＝3对称，得＝3，x3∈[1,3)，
则(x3－1)(x4－1)＝(x3－1)(6－x3－1)＝－x＋6x3－5＝－(x3－3)2＋4∈[0,4)，
故z＝(x1－1)(x2－1)(x3－1)(x4－1)∈[0,4)．
答案：[0,4)
8．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
9．已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a＞0.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)写出函数f(x)的单调区间；
(3)当x∈[0,1]时，由图象写出f(x)的最小值．
解：(1)f(x)＝其图象如图所示．
(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，，单调递减区间是.
(3)由图象知，当＞1，即a＞2时，f(x)min＝f(1)＝1－a；
当0＜≤1，即0＜a≤2时，f(x)min＝f＝－.
综上，f(x)min＝
10．若关于x的不等式4ax－1＜3x－4(a＞0，且a≠1)对于任意的x＞2恒成立，求a的取值范围．
解：不等式4ax－1＜3x－4等价于ax－1＜x－1.
令f(x)＝ax－1，g(x)＝x－1，
当a＞1时，在同一直角坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；
当0＜a＜1时，在同一直角坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x≥2时，f(2)≤g(2)，
即a2－1≤×2－1，
解得a≤，所以a的取值范围是.

三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2018·杭州二中联考)如图，P是正方体ABCD­A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是(　　)


解析：选A　设正方体的棱长为1，连接AC交BD于O，连接PO，则PO是等腰△PBD的高，故△PBD的面积为f(x)＝BD×PO.
在三角形PAO中，
PO＝
＝ ，
∴f(x)＝××
＝ ，
画出其图象，可知A正确．
2．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．
解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，
即2－y＝－x－＋2，
∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)．
(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，
g′(x)＝1－.
∵g(x)在(0,2]上为减函数，
∴1－≤0在(0,2]上恒成立，
即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，
∴a＋1≥4，即a≥3，
故实数a的取值范围是[3，＋∞)．

命题点一　函数的概念及其表示
1．(2015·浙江高考)存在函数f(x)满足：对于任意x∈R都有(　　)
A．f(sin 2x)＝sin x　　　 　B．f(sin 2x)＝x2＋x
C．f(x2＋1)＝|x＋1| D．f(x2＋2x)＝|x＋1|
解析：选D　取x＝0，，可得f(0)＝0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A错误；
取x＝0，π，可得f(0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B错误；
取x＝1，－1，可得f(2)＝2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C错误；
取f(x)＝ ，则对任意x∈R都有f(x2＋2x)＝ ＝|x＋1|，故选项D正确．
综上可知，本题选D.
2．(2013·浙江高考)已知函数f(x)＝，若f(a)＝3，则实数a＝________.
解析：由f(a)＝＝3，得a＝10.
答案：10
3．(2016·浙江高考)设函数f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，则实数a＝_________，b＝________.
解析：∵f(x)＝x3＋3x2＋1，
∴f(a)＝a3＋3a2＋1，
∴f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2
＝(x－b)(x2－2ax＋a2)
＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b
＝x3＋3x2－a3－3a2.
由此可得
∵a≠0，∴由②得a＝－2b，代入①式得b＝1，a＝－2.
答案：－2　1
4．(2014·浙江高考)设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)的图象如图，由图象知．
满足f(f(a))≤2时，得f(a)≥－2，
而满足f(a)≥－2时，a≤ .

答案：(－∞， ]
命题点二　函数的基本性质
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A．－50 B．0
C．2 D．50
解析：选C　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　)
A.
B.∪(1，＋∞)
C.
D.∪
解析：选A　∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－也递增，
根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
综上可知：f(x)＞f(2x－1)⇔f(|x|)＞f(|2x－1|)⇔|x|＞|2x－1|⇔x2＞(2x－1)2⇔3x2－4x＋1＜0⇔＜x＜1.故选A.
3．(2014·浙江高考)设函数f1(x)＝x2，f2(x)＝2(x－x2)，f3(x)＝|sin 2πx|，ai＝，i＝0,1,2，…，99.记Ik＝|fk(a1)－fk(a0)|＋|fk(a2)－fk(a1)|＋…＋|fk(a99)－fk(a98)|，k＝1,2,3.则(　　)
A．I1＜I2＜I3 B．I2＜I1＜I3
C．I1＜I3＜I2 D．I3＜I2＜I1
解析：选B　显然f1(x)＝x2在[0,1]上单调递增，可得f1(a1)－f1(a0)＞0，f1(a2)－f1(a1)＞0，…，f1(a99)－f1(a98)＞0，所以I1＝|f1(a1)－f1(a0)|＋|f1(a2)－f1(a1)|＋…＋|f1(a99)－f1(a98)|＝f1(a1)－f1(a0)＋f1(a2)－f1(a1)＋…＋f1(a99)－f1(a98)＝f1(a99)－f1(a0)＝2－0＝1.f2(x)＝2(x－x2)在上单调递增，在上单调递减，可得f2(a1)－f2(a0)＞0，…，f2(a49)－f2(a48)＞0，f2(a50)－f2(a49)＝0，f2(a51)－f2(a50)＜0，…，f2(a99)－f2(a98)＜0，所以I2＝|f2(a1)－f2(a0)|＋|f2(a2)－f2(a1)|＋…＋|f2(a99)－f2(a98)|＝f2(a1)－f2(a0)＋…＋f2(a49)－f2(a48)－[f2(a51)－f2(a50)＋…＋f2(a99)－f2(a98)]＝f2(a49)－f2(a0)－[f2(a99)－f2(a50)]＝2f2(a50)－f2(a0)－f2(a99)＝4××＝＜1.f3(x)＝|sin 2πx|在，上单调递增，在，上单调递减，可得f3(a1)－f3(a0)＞0，…，f3(a24)－f3(a23)＞0, f3(a25)－f3(a24)＞0，f3(a26)－f3(a25)＜0，…，f3(a49)－f3(a48)＜0，f3(a50)－f3(a49)＝0，f3(a51)－f3(a50)＞0，…，f3(a74)－f3(a73)＞0，f3(a75)－f3(a74)＜0，f3(a76)－f3(a75)＜0，…，f3(a99)－f3(a98)＜0，所以I3＝|f3(a1)－f3(a0)|＋|f3(a2)－f3(a1)|＋…＋|f3(a99)－f3(a98)|＝f3(a25)－f3(a0)－[f3(a49)－f3(a25)]＋f3(a74)－f3(a50)－[f3(a99)－f3(a74)]＝2f3(a25)－2f3(a49)＋2f3(a74)＝＞＝＝＞1.因此I2＜I1＜I3.
4．(2018·北京高考)能说明“若f(x)＞f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．
解析：设f(x)＝sin x，则f(x)在上是增函数，在上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x∈(0,2]时，f(x)＞f(0)＝sin 0＝0，故f(x)＝sin x满足条件f(x)＞f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]上不一直都是增函数．
答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)
5．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
解析：设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x.
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝ex－1＋x.
∵当x＞0时，f′(x)＝ex－1＋1，
∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.
∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
答案：2x－y＝0
6．(2018·江苏高考)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．
解析：由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，
可知函数f(x)的周期是4，
所以f(15)＝f(－1)＝＝，
所以f(f(15))＝f＝cos＝.
答案：
命题点三　函数的图象
1．(2018·浙江高考)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是(　　)

解析：选D　由y＝2|x|sin 2x知函数的定义域为R，
令f(x)＝2|x|sin 2x，
则f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin 2x.
∵f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数．
∴f(x)的图象关于原点对称，故排除A、B.
令f(x)＝2|x|sin 2x＝0，解得x＝(k∈Z)，
∴当k＝1时，x＝，故排除C，选D.
2．(2014·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)

解析：选D　当a＞1时，函数f(x)＝xa(x＞0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C错；当0＜a＜1时，函数f(x)＝xa(x＞0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递减，且过点(1,0)，排除A，又由幂函数的图象性质可知B错，因此选D.
3．(2015·浙江高考)函数f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(　　)

解析：选D　函数f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)为奇函数，排除选项A，B；当x＝π时，f(x)＝cos π＝－π＜0，排除选项C，故选D.
4．(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)

解析：选D　法一：令f(x)＝－x4＋x2＋2，
则f′(x)＝－4x3＋2x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±，
则f′(x)＞0的解集为∪，f(x)单调递增；f′(x)＜0的解集为∪，f(x)单调递减，结合图象知选D.
法二：当x＝1时，y＝2，所以排除A、B选项．当x＝0时，y＝2，而当x＝时，y＝－＋＋2＝2＞2，所以排除C选项．故选D.
5．(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为(　　)

解析：选B　∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，
∴f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．
当x＝1时，f(1)＝e－＞0，排除D选项．
又e＞2，∴＜，∴e－＞1，排除C选项．故选B.
6．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝(　　)
A．0 B．m
C．2m D．4m
解析：选B　∵f(x)＝f(2－x)，
∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象关于直线x＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x＝1对称．
当m为偶数时，i＝2×＝m；
当m为奇数时，i＝2×＋1＝m.故选B.