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2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第七章 数列与数学归纳法7.2
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§7.2 等差数列及其前n项和
最新考纲
考情考向分析
1.理解等差数列的概念．
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式及其应用．
3.了解等差数列与一次函数的关系．
4.会用数列的等差关系解决实际问题.
以考查等差数列的通项、前n项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以选择题和填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查.
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
5．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
7．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
概念方法微思考
1．“a，A，b是等差数列”是“A＝”的什么条件？
提示 充要条件．
2．等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？
提示 不一定．当公差d＝0时，Sn＝na1，不是关于n的二次函数．
3．如何推导等差数列的前n项和公式？
提示 利用倒序相加法．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( √ )
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( × )
(4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.( √ )
(5)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( √ )
(6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．( √ )
题组二 教材改编
2．[P46A组T2]设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( )
A．31 B．32 C．33 D．34
答案 B
解析 由已知可得
解得 ∴S8＝8a1＋d＝32.
3．[P39T5]在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.
答案 180
解析 由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
题组三 易错自纠
4．一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是( )
A．d> B．d<
C.
解析 由题意可得即
所以
答案 8
解析 因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，所以a8>0.又a7＋a10＝a8＋a9<0，所以a9<0.
故当n＝8时，其前n项和最大．
6．一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过________秒落到地面．
答案 20
解析 设物体经过t秒降落到地面．物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列．所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1 960，即4.90t2＝1 960，解得t＝20.
题型一 等差数列基本量的运算
1．(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于( )
A．－12 B．－10 C．10 D．12
答案 B
解析 设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，
得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，
故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
故选B.
2．(2018·湖州德清县、长兴县、安吉县期中)已知等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，若a4＝4，a2＋a8＝10，则d＝________，an＝________.
答案 1 n
解析 由题意得a2＋a8＝2a5＝10，所以a5＝5，则等差数列{an}的公差d＝a5－a4＝5－4＝1，an＝a4＋(n－4)d＝n.
思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
题型二 等差数列的判定与证明
例1 在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．
(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前n项和Sn.
解 (1)∵an是1与anan＋1的等差中项，
∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝，
∴an＋1－1＝－1＝，
∴＝＝1＋，
∵＝1，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝n，∴an＝.
(2)由(1)得＝＝－，
∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝.
思维升华 等差数列的四个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.
(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．
(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．
跟踪训练1 (2018·温州市高考适应性测试)已知数列{an}的前n项积为Tn，且Tn＝1－an.
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前n项和Sn.
(1)证明 由Tn＝1－an得，当n≥2时，Tn＝1－，
两边同时除以Tn，得－＝1.
∵T1＝1－a1＝a1，∴a1＝，＝＝2，
∴是首项为2，公差为1的等差数列．
(2)解 由(1)知＝n＋1，则Tn＝，从而an＝1－Tn＝，故＝n.
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴Sn＝.
题型三 等差数列性质的应用
命题点1 等差数列项的性质
例2 已知{an}为等差数列，a2＋a8＝18，则{an}的前9项和S9等于( )
A．9 B．17 C．72 D．81
答案 D
解析 由等差数列的性质可得，a1＋a9＝a2＋a8＝18，则{an}的前9项和S9＝＝9×＝81.故选D.
命题点2 等差数列前n项和的性质
例3 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于( )
A．35 B．42 C．49 D．63
答案 B
解析 在等差数列{an}中，
S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，
即7,14，S15－21成等差数列，
所以7＋(S15－21)＝2×14，
解得S15＝42.
(2)(2018·宁波模拟)若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，记bn＝，则( )
A．数列{bn}是等差数列，且公差为d
B．数列{bn}是等差数列，且公差为2d
C．数列{an＋bn}是等差数列，且公差为d
D．数列{an－bn}是等差数列，且公差为
答案 D
解析 由题意可得an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋d，则bn＝＝a1＋d＝a1－d＋dn是关于n的一次函数，则数列{bn}是公差为d的等差数列，故A，B错误；由an＋bn＝2a1－d＋dn是关于n的一次函数，得数列{an＋bn}是公差为d的等差数列，故C错误；又an－bn＝－d＋dn是关于n的一次函数，则数列{an－bn}是公差为d的等差数列，故D正确，故选D.
思维升华 等差数列的性质
(1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S2n－1＝(2n－1)an.
跟踪训练2 (1)已知等差数列{an}，a2＝2，a3＋a5＋a7＝15，则数列{an}的公差d等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
答案 B
解析 ∵a3＋a5＋a7 ＝3a5＝15，
∴a5＝5，∴a5－a2＝3＝3d，
可得d＝1，故选B.
(2)(2018·金华模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn取最大值时n的值为( )
A．6 B．7 C．8 D．13
答案 B
解析 根据S13>0，S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7>0，a1＋a14＝a7＋a8<0，所以可以得到a7>0，a8<0，所以Sn取最大值时n的值为7，故选B.
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＋S6＝31，则S8＋S10等于( )
A．91 B．85 C．78 D．55
答案 A
解析 方法一 设{an}的公差为d，
则
即解得
故S8＋S10＝＋＝91.
方法二 因为{an}是等差数列，所以可设Sn＝an2＋bn，则
即解得a＝b＝，
故S8＋S10＝＋＝91.
2．(2018·嘉兴基础测试)在等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5等于( )
A．45 B．42 C．21 D．84
答案 A
解析 根据等差数列的性质，可得a1＋a2＋a3＝3a2＝21，∴a2＝7，设等差数列{an}的公差为d，又a1＝3，∴d＝4，∴a3＋a4＋a5＝3a4＝3a2＋6d＝21＋24＝45，故选A.
3．(2018·温州市适应性测试)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，bn＝2an，数列{bn}的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为A，B，C，则( )
A．A＋B＝C B．B2＝AC
C．(A＋B)－C＝B2 D．(B－A)2＝A(C－B)
答案 D
解析 令an＝n，则bn＝2n，设数列{bn}的前n项和为Sn，令A＝S1＝2，则B＝S2＝21＋22＝6，C＝S3＝21＋22＋23＝14，可以排除选项A，B，C，故选D.
4．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )
A．65 B．176 C．183 D．184
答案 D
解析 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.
由等差数列前n项和公式可得8a1＋×17＝996，
解得a1＝65.
由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.
5．(2018·浙江杭州二中期中)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 B
解析 由等差数列前n项和性质知，＝＝＝＝6＋，故当n＝1,2,4,10时，为整数，故使得为整数的正整数n的个数是4，故选B.
6．在等差数列{an}中，若<－1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn>0时，n的最小值为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
答案 C
解析 ∵数列{an}是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，
∴公差d>0，首项a1<0，{an}为递增数列．
∵<－1，∴a8·a9<0，a8＋a9>0，
由等差数列的性质知，
2a8＝a1＋a15<0，a8＋a9＝a1＋a16>0.
∵Sn＝，∴当Sn>0时，n的最小值为16.
7．(2018·绍兴教学质量调测)已知数列{an}中，a3＝3，an＋1＝an＋2，则a2＋a4＝________，an＝________.
答案 6 2n－3
解析 因为an＋1－an＝2，所以{an}为等差数列，所以公差d＝2，由a1＋2d＝3得a1＝－1，所以an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3，a2＋a4＝2a3＝6.
8．在等差数列{an}中，若a7＝，则sin 2a1＋cos a1＋sin 2a13＋cos a13＝________.
答案 0
解析 根据题意可得a1＋a13＝2a7＝π，
2a1＋2a13＝4a7＝2π，
所以有sin 2a1＋cos a1＋sin 2a13＋cos a13
＝sin 2a1＋sin(2π－2a1)＋cos a1＋cos(π－a1)＝0.
9．(2018·浙江省部分重点中学调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则使an>0的最大正整数n＝________，满足SkSk＋1<0的正整数k＝________.
答案 6 12
解析 依题意得a6＝S6－S5>0，a7＝S7－S6<0，a6＋a7＝S7－S5>0，则使an>0的最大正整数n＝6，S11＝＝11a6>0，S12＝＝>0，S13＝＝13a7<0，所以S12S13<0，即满足SkSk＋1<0的正整数k＝12.
10．已知数列{－}是公差为2的等差数列，且a1＝1，a3＝9，则an＝________.
答案 (n2－3n＋3)2
解析 数列{－}是公差为2的等差数列，
且a1＝1，a3＝9，
∴－＝(－1)＋2(n－1)，
－＝(－1)＋2，
∴3－＝(－1)＋2，∴a2＝1.
∴－＝2n－2，
∴＝2(n－1)－2＋2(n－2)－2＋…＋2－2＋1
＝2×－2(n－1)＋1＝n2－3n＋3.
∴an＝(n2－3n＋3)2，n＝1时也成立．
∴an＝(n2－3n＋3)2.
11．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 ∵－
＝＝，
∴bn＋1－bn＝，∴{bn}是等差数列．
(2)解 由(1)及b1＝＝＝1.
知bn＝n＋，∴an－1＝，∴an＝.
12．(2018·嘉兴基础测试)设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且满足a＋a＝a＋a，S7＝7.
(1)求an和Sn；
(2)试求所有正整数m，使得为数列{an}中的项．
解 (1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，∵S7＝＝7，
∴a4＝1.
又a＋a＝a＋a，即a－a＝a－a，
∴a4＋a2＝－(a3＋a5)＝－2a4，
因此有1＋a2＝－2，a2＝－3，∴2d＝4，∴d＝2，a1＝－5，
因此有an＝2n－7，Sn＝n2－6n.
(2)令＝＝2n－7，
令2m－3＝t，则m＝，n＝＋＋，易知仅当t＝1时，n为正整数，m为正整数，
因此可得m＝2时成立．
13．设等差数列{an}的公差为，前8项和为6π，记tan ＝k，则数列的前7项和是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 等差数列{an}的公差d为，前8项和为6π，
可得8a1＋×8×7×＝6π，解得a1＝π，
tan antan an＋1＝－1
＝－1，
则数列{tan antan an＋1}的前7项和为(tan a8－tan a7＋tan a7－tan a6＋…＋tan a2－tan a1)－7
＝(tan a8－tan a1)－7＝－7
＝－7
＝－7
＝－7＝.故选C.
14．(2018·宁波模拟)已知{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，且An＝an＋bn，Bn＝anbn，若A1＝1，A2＝3，则An＝________；若{Bn}为等差数列，则d1d2＝______.
答案 2n－1 0
解析 因为{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，所以{An}也为等差数列，所以An＝1＋(n－1)·2＝2n－1，
Bn＝[a1＋(n－1)d1]·[b1＋(n－1)d2]
＝d1d2n2＋(a1d2＋b1d1－2d1d2)n＋(a1－d1)·(b1－d2)，
因为{Bn}为等差数列，所以由等差数列的通项公式的特征可知d1d2＝0.
15．(2019·绍兴期中)已知数列{an}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列(其中d1，d2为整数)，且对任意n∈N*，都有an
解析 因为a1＝1，a2＝2，所以a3＝1＋d1，a4＝2＋d2，a5＝1＋2d1，对任意n∈N*，都有ana2，即1＋d1>2，解得d1>1；又所以解得－1＋d1
解 由题意得2＝，
所以a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
所以a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1
＝2n－2(n≥2，n∈N*)，
两式相减得an＝(n≥2，n∈N*)．
当n＝1时，a1＝2，符合上式，
所以an＝(n∈N*)．
又由题意得3＝，
所以b1＋3b2＋…＋3n－1bn＝3n，
所以b1＋3b2＋…＋3n－2bn－1＝3n－3(n≥2，n∈N*)，
两式相减得bn＝32－n(n≥2，n∈N*)．
当n＝1时，b1＝3，符合上式，
所以bn＝32－n(n∈N*)．
所以cn＝(2－k)n＋2k－1.
因为对任意的正整数n都有Sn≤S6，
所以解得≤k≤.
最新考纲
考情考向分析
1.理解等差数列的概念．
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式及其应用．
3.了解等差数列与一次函数的关系．
4.会用数列的等差关系解决实际问题.
以考查等差数列的通项、前n项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以选择题和填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查.
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
5．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
7．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
概念方法微思考
1．“a，A，b是等差数列”是“A＝”的什么条件？
提示 充要条件．
2．等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？
提示 不一定．当公差d＝0时，Sn＝na1，不是关于n的二次函数．
3．如何推导等差数列的前n项和公式？
提示 利用倒序相加法．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( √ )
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( × )
(4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.( √ )
(5)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( √ )
(6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．( √ )
题组二 教材改编
2．[P46A组T2]设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( )
A．31 B．32 C．33 D．34
答案 B
解析 由已知可得
解得 ∴S8＝8a1＋d＝32.
3．[P39T5]在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.
答案 180
解析 由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
题组三 易错自纠
4．一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是( )
A．d> B．d<
C.
解析 由题意可得即
所以
答案 8
解析 因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，所以a8>0.又a7＋a10＝a8＋a9<0，所以a9<0.
故当n＝8时，其前n项和最大．
6．一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过________秒落到地面．
答案 20
解析 设物体经过t秒降落到地面．物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列．所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1 960，即4.90t2＝1 960，解得t＝20.
题型一 等差数列基本量的运算
1．(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于( )
A．－12 B．－10 C．10 D．12
答案 B
解析 设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，
得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，
故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
故选B.
2．(2018·湖州德清县、长兴县、安吉县期中)已知等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，若a4＝4，a2＋a8＝10，则d＝________，an＝________.
答案 1 n
解析 由题意得a2＋a8＝2a5＝10，所以a5＝5，则等差数列{an}的公差d＝a5－a4＝5－4＝1，an＝a4＋(n－4)d＝n.
思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
题型二 等差数列的判定与证明
例1 在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．
(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前n项和Sn.
解 (1)∵an是1与anan＋1的等差中项，
∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝，
∴an＋1－1＝－1＝，
∴＝＝1＋，
∵＝1，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝n，∴an＝.
(2)由(1)得＝＝－，
∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝.
思维升华 等差数列的四个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.
(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．
(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．
跟踪训练1 (2018·温州市高考适应性测试)已知数列{an}的前n项积为Tn，且Tn＝1－an.
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前n项和Sn.
(1)证明 由Tn＝1－an得，当n≥2时，Tn＝1－，
两边同时除以Tn，得－＝1.
∵T1＝1－a1＝a1，∴a1＝，＝＝2，
∴是首项为2，公差为1的等差数列．
(2)解 由(1)知＝n＋1，则Tn＝，从而an＝1－Tn＝，故＝n.
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴Sn＝.
题型三 等差数列性质的应用
命题点1 等差数列项的性质
例2 已知{an}为等差数列，a2＋a8＝18，则{an}的前9项和S9等于( )
A．9 B．17 C．72 D．81
答案 D
解析 由等差数列的性质可得，a1＋a9＝a2＋a8＝18，则{an}的前9项和S9＝＝9×＝81.故选D.
命题点2 等差数列前n项和的性质
例3 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于( )
A．35 B．42 C．49 D．63
答案 B
解析 在等差数列{an}中，
S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，
即7,14，S15－21成等差数列，
所以7＋(S15－21)＝2×14，
解得S15＝42.
(2)(2018·宁波模拟)若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，记bn＝，则( )
A．数列{bn}是等差数列，且公差为d
B．数列{bn}是等差数列，且公差为2d
C．数列{an＋bn}是等差数列，且公差为d
D．数列{an－bn}是等差数列，且公差为
答案 D
解析 由题意可得an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋d，则bn＝＝a1＋d＝a1－d＋dn是关于n的一次函数，则数列{bn}是公差为d的等差数列，故A，B错误；由an＋bn＝2a1－d＋dn是关于n的一次函数，得数列{an＋bn}是公差为d的等差数列，故C错误；又an－bn＝－d＋dn是关于n的一次函数，则数列{an－bn}是公差为d的等差数列，故D正确，故选D.
思维升华 等差数列的性质
(1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S2n－1＝(2n－1)an.
跟踪训练2 (1)已知等差数列{an}，a2＝2，a3＋a5＋a7＝15，则数列{an}的公差d等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
答案 B
解析 ∵a3＋a5＋a7 ＝3a5＝15，
∴a5＝5，∴a5－a2＝3＝3d，
可得d＝1，故选B.
(2)(2018·金华模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn取最大值时n的值为( )
A．6 B．7 C．8 D．13
答案 B
解析 根据S13>0，S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7>0，a1＋a14＝a7＋a8<0，所以可以得到a7>0，a8<0，所以Sn取最大值时n的值为7，故选B.
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＋S6＝31，则S8＋S10等于( )
A．91 B．85 C．78 D．55
答案 A
解析 方法一 设{an}的公差为d，
则
即解得
故S8＋S10＝＋＝91.
方法二 因为{an}是等差数列，所以可设Sn＝an2＋bn，则
即解得a＝b＝，
故S8＋S10＝＋＝91.
2．(2018·嘉兴基础测试)在等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5等于( )
A．45 B．42 C．21 D．84
答案 A
解析 根据等差数列的性质，可得a1＋a2＋a3＝3a2＝21，∴a2＝7，设等差数列{an}的公差为d，又a1＝3，∴d＝4，∴a3＋a4＋a5＝3a4＝3a2＋6d＝21＋24＝45，故选A.
3．(2018·温州市适应性测试)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，bn＝2an，数列{bn}的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为A，B，C，则( )
A．A＋B＝C B．B2＝AC
C．(A＋B)－C＝B2 D．(B－A)2＝A(C－B)
答案 D
解析 令an＝n，则bn＝2n，设数列{bn}的前n项和为Sn，令A＝S1＝2，则B＝S2＝21＋22＝6，C＝S3＝21＋22＋23＝14，可以排除选项A，B，C，故选D.
4．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )
A．65 B．176 C．183 D．184
答案 D
解析 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.
由等差数列前n项和公式可得8a1＋×17＝996，
解得a1＝65.
由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.
5．(2018·浙江杭州二中期中)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 B
解析 由等差数列前n项和性质知，＝＝＝＝6＋，故当n＝1,2,4,10时，为整数，故使得为整数的正整数n的个数是4，故选B.
6．在等差数列{an}中，若<－1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn>0时，n的最小值为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
答案 C
解析 ∵数列{an}是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，
∴公差d>0，首项a1<0，{an}为递增数列．
∵<－1，∴a8·a9<0，a8＋a9>0，
由等差数列的性质知，
2a8＝a1＋a15<0，a8＋a9＝a1＋a16>0.
∵Sn＝，∴当Sn>0时，n的最小值为16.
7．(2018·绍兴教学质量调测)已知数列{an}中，a3＝3，an＋1＝an＋2，则a2＋a4＝________，an＝________.
答案 6 2n－3
解析 因为an＋1－an＝2，所以{an}为等差数列，所以公差d＝2，由a1＋2d＝3得a1＝－1，所以an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3，a2＋a4＝2a3＝6.
8．在等差数列{an}中，若a7＝，则sin 2a1＋cos a1＋sin 2a13＋cos a13＝________.
答案 0
解析 根据题意可得a1＋a13＝2a7＝π，
2a1＋2a13＝4a7＝2π，
所以有sin 2a1＋cos a1＋sin 2a13＋cos a13
＝sin 2a1＋sin(2π－2a1)＋cos a1＋cos(π－a1)＝0.
9．(2018·浙江省部分重点中学调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则使an>0的最大正整数n＝________，满足SkSk＋1<0的正整数k＝________.
答案 6 12
解析 依题意得a6＝S6－S5>0，a7＝S7－S6<0，a6＋a7＝S7－S5>0，则使an>0的最大正整数n＝6，S11＝＝11a6>0，S12＝＝>0，S13＝＝13a7<0，所以S12S13<0，即满足SkSk＋1<0的正整数k＝12.
10．已知数列{－}是公差为2的等差数列，且a1＝1，a3＝9，则an＝________.
答案 (n2－3n＋3)2
解析 数列{－}是公差为2的等差数列，
且a1＝1，a3＝9，
∴－＝(－1)＋2(n－1)，
－＝(－1)＋2，
∴3－＝(－1)＋2，∴a2＝1.
∴－＝2n－2，
∴＝2(n－1)－2＋2(n－2)－2＋…＋2－2＋1
＝2×－2(n－1)＋1＝n2－3n＋3.
∴an＝(n2－3n＋3)2，n＝1时也成立．
∴an＝(n2－3n＋3)2.
11．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 ∵－
＝＝，
∴bn＋1－bn＝，∴{bn}是等差数列．
(2)解 由(1)及b1＝＝＝1.
知bn＝n＋，∴an－1＝，∴an＝.
12．(2018·嘉兴基础测试)设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且满足a＋a＝a＋a，S7＝7.
(1)求an和Sn；
(2)试求所有正整数m，使得为数列{an}中的项．
解 (1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，∵S7＝＝7，
∴a4＝1.
又a＋a＝a＋a，即a－a＝a－a，
∴a4＋a2＝－(a3＋a5)＝－2a4，
因此有1＋a2＝－2，a2＝－3，∴2d＝4，∴d＝2，a1＝－5，
因此有an＝2n－7，Sn＝n2－6n.
(2)令＝＝2n－7，
令2m－3＝t，则m＝，n＝＋＋，易知仅当t＝1时，n为正整数，m为正整数，
因此可得m＝2时成立．
13．设等差数列{an}的公差为，前8项和为6π，记tan ＝k，则数列的前7项和是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 等差数列{an}的公差d为，前8项和为6π，
可得8a1＋×8×7×＝6π，解得a1＝π，
tan antan an＋1＝－1
＝－1，
则数列{tan antan an＋1}的前7项和为(tan a8－tan a7＋tan a7－tan a6＋…＋tan a2－tan a1)－7
＝(tan a8－tan a1)－7＝－7
＝－7
＝－7
＝－7＝.故选C.
14．(2018·宁波模拟)已知{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，且An＝an＋bn，Bn＝anbn，若A1＝1，A2＝3，则An＝________；若{Bn}为等差数列，则d1d2＝______.
答案 2n－1 0
解析 因为{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，所以{An}也为等差数列，所以An＝1＋(n－1)·2＝2n－1，
Bn＝[a1＋(n－1)d1]·[b1＋(n－1)d2]
＝d1d2n2＋(a1d2＋b1d1－2d1d2)n＋(a1－d1)·(b1－d2)，
因为{Bn}为等差数列，所以由等差数列的通项公式的特征可知d1d2＝0.
15．(2019·绍兴期中)已知数列{an}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列(其中d1，d2为整数)，且对任意n∈N*，都有an
解析 因为a1＝1，a2＝2，所以a3＝1＋d1，a4＝2＋d2，a5＝1＋2d1，对任意n∈N*，都有an
解 由题意得2＝，
所以a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
所以a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1
＝2n－2(n≥2，n∈N*)，
两式相减得an＝(n≥2，n∈N*)．
当n＝1时，a1＝2，符合上式，
所以an＝(n∈N*)．
又由题意得3＝，
所以b1＋3b2＋…＋3n－1bn＝3n，
所以b1＋3b2＋…＋3n－2bn－1＝3n－3(n≥2，n∈N*)，
两式相减得bn＝32－n(n≥2，n∈N*)．
当n＝1时，b1＝3，符合上式，
所以bn＝32－n(n∈N*)．
所以cn＝(2－k)n＋2k－1.
因为对任意的正整数n都有Sn≤S6，
所以解得≤k≤.
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