2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第七章　数列与数学归纳法7.3

§7.3　等比数列及其前n项和
最新考纲
考情考向分析
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式及其应用．
2.了解等比数列与指数函数的关系．
3.会用数列的等比关系解决实际问题.
以考查等比数列的通项、前n项和及性质为主，等比数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度为中低档.



1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：
Sn＝.
3．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.
(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
概念方法微思考
1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？
提示　仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数．
2．任意两个实数都有等比中项吗？
提示　不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项．
3．“b2＝ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？
提示　必要不充分条件．因为b2＝ac时不一定有a，b，c成等比数列，比如a＝0，b＝0，c＝1.但a，b，c成等比数列一定有b2＝ac.

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　×　)
(2)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　×　)
(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　×　)
(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　×　)
(5)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　×　)
题组二　教材改编
2．[P51例3]已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝______.
答案　
解析　由题意知q3＝＝，∴q＝.
3．[P54T3]公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
答案　C
解析　由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10.



题组三　易错自纠
4．若1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________．
答案　－
解析　∵1，a1，a2，4成等差数列，
∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.
又∵1，b1，b2，b3，4成等比数列，设其公比为q，
则b＝1×4＝4，且b2＝1×q2>0，∴b2＝2，
∴＝＝－.
5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.
答案　－11
解析　设等比数列{an}的公比为q，
∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.
∴q3＋8＝0，∴q＝－2，
∴＝·
＝＝＝－11.
6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB＝210 MB)
答案　39
解析　由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，
则2n＝8×210＝213，∴n＝13.
即病毒共复制了13次．
∴所需时间为13×3＝39(秒)．

题型一　等比数列基本量的运算
1．(2018·台州质量评估)已知正项等比数列{an}中，若a1a3＝2，a2a4＝4，则a5等于(　　)
A．±4 B．4 C．±8 D．8
答案　B
解析　由于等比数列各项为正，则由题意得解得所以a5＝a1q4＝4，故选B.
2．(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.
解　(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*)．
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
思维升华 (1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．
(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意对q＝1和q≠1的分类讨论．
题型二　等比数列的判定与证明
例1 (2018·丽水、衢州、湖州三地市质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝an＋1－3n－1，n∈N*.
(1)证明：数列{an＋3}是等比数列；
(2)对k∈N*，设f(n)＝求使不等式[f(2)－f(m)]cos(mπ)≤0成立的正整数m的取值范围．
(1)证明　当n≥2时，由Sn＝an＋1－3n－1，得Sn－1＝an－3(n－1)－1，
由Sn－Sn－1得，an＋1＝2an＋3，n≥2，所以＝2，n≥2，又S1＝a2－3－1，a1＝1，所以a2＝5，＝2，
因此{an＋3}是以a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列．
(2)解　由(1)知an＋3＝4×2n－1＝2n＋1，Sn＝an＋1－3n－1＝2n＋2－3n－4，
因为f(n)＝
当m为偶数时，cos(mπ)＝1，f(2)＝3，f(m)＝m＋1，
因为原不等式可化为3－(m＋1)≤0，即m≥2，且m＝2k(k≥1，k∈N*)．
当m为奇数时，cos(mπ)＝－1，f(2)＝3，f(m)＝2m＋1－1，
原不等式可化为3≥2m＋1－1，当m＝1时符合条件．
综上可得，正整数m的取值范围是m＝2k(k≥1，k∈N*)或m＝1.
思维升华 判定一个数列为等比数列的常见方法
(1)定义法：若＝q(q是非零常数)，则数列{an}是等比数列．
(2)等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N*，an≠0)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若an＝Aqn(A，q为非零常数)，则数列{an}是等比数列．
跟踪训练1 (2018·浙江省六校协作体期末联考)已知数列{an}的首项a1＝t>0，an＋1＝，n＝1,2，….
(1)若t＝，求证是等比数列，并求出{an}的通项公式；
(2)若an＋1>an对一切n∈N*都成立，求t的取值范围．
解　(1)由题意知an>0，＝＝＋，
－1＝，又－1＝，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以－1＝n－1，an＝.
(2)由(1)知－1＝，
－1＝n－1，
由a1>0，an＋1＝，知an>0，
故由an＋1>an得0，
则0