2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第六章平面向量、复数6.5

§6.5　复　数
最新考纲
考情考向分析
1.了解复数的定义、复数的模和复数相等的概念．
2.了解复数的加、减运算的几何意义．
3.理解复数代数形式的四则运算.
本节主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义，突出考查运算能力与数形结合思想．一般以选择题、填空题的形式出现，难度为低档.



1．复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．
(2)分类：

满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0

(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.

概念方法微思考
1．复数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？
提示　不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部．
2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？
提示　复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　×　)
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　×　)
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　)
(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　√　)
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　√　)
题组二　教材改编
2．[P106B组T2]设z＝＋2i，则|z|等于(　　)
A．0 B. C．1 D.
答案　C
解析　∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，
∴|z|＝1.故选C.
3．[P112A组T2]在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)
A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i
答案　D
解析　＝＋＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
4．[P116A组T2]若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．－1或1
答案　A
解析　∵z为纯虚数，∴∴x＝－1.
题组三　易错自纠
5．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　∵复数a＋＝a－bi为纯虚数，∴a＝0且－b≠0，即a＝0且b≠0，∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．故选C.
6．若复数z满足iz＝2－2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　B
解析　由题意，∵z＝＝＝－2－2i，
∴＝－2＋2i，则z的共轭复数对应的点在第二象限．故选B.
7．i2 014＋i2 015＋i2 016＋i2 017＋i2 018＋i2 019＋i2 020＝________.
答案　－i
解析　原式＝i2＋i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＝－i.

题型一　复数的概念
1．(2018·丽水、衢州、湖州三地市质检)若复数z满足i·z＝－3＋2i(i为虚数单位)，则复数z的虚部是(　　)
A．－3 B．－3i
C．3 D．3i
答案　C
解析　因为z＝＝2＋3i，所以复数z的虚部是3.故选C.
2．复数的共轭复数是(　　)
A．－＋i B．－－i
C.－i D.＋i
答案　D
解析　由复数＝＝＝－i，
所以共轭复数为＋i，故选D.
3．(2018·杭州质检)设a∈R，若(1＋3i)(1＋ai)∈R(i是虚数单位)，则a等于(　　)
A．3 B．－3
C. D．－
答案　B
解析　由题意得，(1＋3i)(1＋ai)＝1－3a＋(3＋a)i为实数，∴3＋a＝0，∴a＝－3，故选B.
思维升华 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解．

题型二　复数的运算

命题点1　复数的乘法运算
例1 (1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于(　　)
A．－3－i B．－3＋i
C．3－i D．3＋i
答案　D
解析　(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.
(2)i等于(　　)
A．3－2i B．3＋2i
C．－3－2i D．－3＋2i
答案　D
解析　i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.
命题点2　复数的除法运算
例2 (1)(2018·全国Ⅱ)等于(　　)
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i
答案　D
解析　＝＝
＝＝－＋i.
故选D.
(2)(2018·浙江杭州地区四校联考)设z的共轭复数是，若z＋＝4，z2＝±8i，则等于(　　)
A．i B．－i
C．±1 D．±i
答案　D
解析　由z＋＝4可设z＝2＋bi(b∈R)，由z2＝±8i，得b＝±2，所以z·＝8，＝＝＝±i，故选D.
命题点3　复数的综合运算
例3 (1)(2018·绍兴质检)在复平面内，复数－i5的模为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因为－i5＝－i5＝－i－i＝－i，所以该复数的模为＝，故选D.
(2)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②＝－i；③＝1；④α2＋β2＝0，
其中正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，
①αβ＝(1－i)·(1＋i)＝2，故①不正确；
②＝＝＝＝－i，故②正确；
③＝＝1，故③正确；
④α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0，故④正确．故选C.
思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
跟踪训练1 (1)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝＋ai，z·＝4，则a为(　　)
A．1或－1 B．1
C．－1 D．不存在的实数
答案　A
解析　由题意得＝－ai，
故z·＝3＋a2＝4⇒a＝±1，故选A.
(2)(2018·浙江杭州七校联考)已知复数z＝2＋ai(a∈R)，|(－1＋i)z|＝3，则a的值是(　　)
A．± B.
C．± D.
答案　A
解析　方法一　|(－1＋i)z|＝|(－2－a)＋(2－a)i|＝＝＝3，则a＝±，故选A.
方法二　|(－1＋i)z|＝|－1＋i|·|z|＝·＝3，则a＝±，故选A.



题型三　复数的几何意义
例4 (1)(2018·浙江六校协作体联考)已知是z的共轭复数，若复数z＝＋2，则在复平面内对应的点是(　　)
A．(2,1) B．(2，－1)
C．(－2,1) D．(－2，－1)
答案　A
解析　方法一　由z＝＋2＝＋2＝＋2＝2－i，得＝2＋i，所以在复平面内对应的点为(2,1)，故选A.
方法二　由z＝＋2＝＋2＝＋2＝2－i，得＝2＋i，所以在复平面内对应的点为(2,1)，故选A.
(2)(2018·浙江重点中学考试)已知复数z满足(2－i)z＝3＋ai(i是虚数单位)．若复数z在复平面内对应的点在直线y＝2x－4上，则实数a的值为________．
答案　－
解析　方法一　因为(2－i)z＝3＋ai，所以z＝＝，其在复平面内对应的点为，所以＝－4，解得a＝－.
方法二　因为复数z在复平面内对应的点在直线y＝2x－4上，不妨设z＝t＋(2t－4)i(t∈R)，则(2－i)[t＋(2t－4)i]＝2t＋2t－4＋(3t－8)i＝3＋ai，所以解得a＝－.
思维升华 复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．
跟踪训练2 (1)已知复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数对应的点在(　　)
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
答案　A
解析　∵z＝＝＝＋i，
∴＝－i，则z的共轭复数对应的点在第四象限．故选A.


(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝x＋y，则x＋y的值是________．
答案　5
解析　由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，
∵＝x＋y，
∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，
∴解得故x＋y＝5.


1．(2018·湖州模拟)已知i为虚数单位，则复数z＝的虚部为(　　)
A．－1 B．－i C．1 D．i
答案　C
解析　由题意知，z＝＝3＋i，故复数z的虚部为1.
2．(2018·浙江高考研究联盟联考)复数的模是(　　)
A．4 B．5 C．7 D．25
答案　B
解析　＝|4－3i|＝＝5.
3．(2018·浙江金华名校统练)设复数z满足＝2i，则z等于(　　)
A．－－i B．－＋i
C.＋i D.－i
答案　A
解析　由＝2i，得1－z＝2i＋(2i)z，所以z＝＝＝－－i，故选A.
4．(2018·温州测试)若复数z1，z2在复平面内关于虚轴对称，且z1＝1＋i(i为虚数单位)，则等于(　　)
A．－i B．i C．－2i D．2i
答案　A
解析　依题意得，z2＝－1＋i，所以＝＝＝＝－i.故选A.
5．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则a等于(　　)
A. B．－ C．2 D．－2
答案　B
解析　由题意知＝＝
＝＋i，又由为纯虚数，
所以－2a－1＝0且a－2≠0，解得a＝－，故选B.
6．(2018·浙江七彩阳光联盟联考)已知i是虚数单位，若复数z满足＝1－i，则z·等于(　　)
A．4 B．5 C．6 D．8
答案　B
解析　由＝1－i，得z＝－1＝1＋2i，所以＝1－2i，则z·＝(1＋2i)(1－2i)＝5，故选B.
7．已知复数z满足z2＝12＋16i，则z的模为(　　)
A．20 B．12 C．2 D．2
答案　C
解析　设z＝a＋bi，a，b∈R，
则由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i，
则解得或
即|z|＝＝＝2.故选C.
8．已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数m的值为________．
答案　3或6
解析　∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1∉M，
∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，
∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，
解得m＝6或m＝3，经检验符合题意．

9．(2019·嘉兴测试)若复数z＝4＋3i，其中i是虚数单位，则|z|＝________，z2＝________.
答案　5　7＋24i
解析　|z|＝|4＋3i|＝＝5，z2＝(4＋3i)2＝7＋24i.
10．若复数z满足(3＋i)z＝2－i(i为虚数单位)，则z＝________；|z|＝________.
答案　－i　
解析　由题意可知z＝＝·＝＝－i，所以|z|＝＝.
11．(2018·浙江十校联盟考试)复数z＝(i为虚数单位)的虚部为________，其共轭复数在复平面内对应的点位于第________象限．
答案　1　四
解析　因为z＝＝＝1＋i，所以z的虚部为1，＝1－i，故复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限．
12．(2018·浙江重点中学考前热身联考)若a为实数，＝3＋i，且z＝1＋i，则a＝______，|z|＝______.
答案　－11　
解析　由题意得17＋ai＝(4－5i)(3＋i)＝17－11i，所以a＝－11.故z＝1－i，|z|＝＝.
13．(2018·台州模拟)已知复数z的共轭复数满足(－i)·(1－i)＝1＋3i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于第________象限，|z|＝________.
答案　三　
解析　由(－i)(1－i)＝1＋3i，得＝i＋＝i＋＝－1＋3i，所以z＝－1－3i，所以z在复平面内对应的点为(－1，－3)，位于第三象限，|z|＝＝.
14．(2017·浙江)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.
答案　5　2
解析　(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.
由(a＋bi)2＝3＋4i.得
解得a2＝4，b2＝1.
所以a2＋b2＝5，ab＝2.
15．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位．
(1)求复数z；
(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．
解　(1)因为z＝bi(b∈R)，
所以＝＝
＝＝＋i.
又因为是实数，所以＝0，
所以b＝－2，即z＝－2i.
(2)因为z＝－2i，m∈R，
所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2
＝(m2－4)－4mi，
又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，
所以解得m