2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第九章平面解析几何9.5第1课时

§9.5　椭　圆
最新考纲
考情考向分析
1.掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质.
2.会解决直线与椭圆的位置关系的问题.
椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中.题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.


1.椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a 2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形


性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2

概念方法微思考
1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？
提示　当2a＝|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的.
2.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？
提示　由e＝＝知，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆.
3.点和椭圆的位置关系有几种？如何判断.
提示　点P(x0，y0)和椭圆的位置关系有3种
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.
4.直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断？
提示　直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.
判断方法为联立直线与椭圆的方程，求联立后所得方程的判别式Δ.
(1)直线与椭圆相离⇔Δ<0.
(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0.
(3)直线与椭圆相交⇔Δ>0.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).(　√　)
(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.(　√　)
(3)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆.(　×　)
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等.(　√　)


题组二　教材改编
2.[P49T4]椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于(　　)
A.4 B.8 C.4或8 D.12
答案　C
解析　当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，
10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.
当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.
3.[P80T3(1)]过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　由题意知c2＝5，可设椭圆方程为＋＝1(λ>0)，则＋＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
4.[P49T6]已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________.
答案　或
解析　设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0).由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，
所以P点坐标为或.
题组三　易错自纠
5.(2018·浙江余姚中学质检)已知方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是(　　)
A.m>2或m<－1 B.m>－2
C.－12或－2 答案　D
解析　∵椭圆的焦点在x轴上，
∴m2>2＋m>0，解得m>2或－2 6.椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)
A.－21 B.21
C.－或21 D.或21
答案　C
解析　若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，
由＝，即＝，得k＝－；
若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，
由＝，即＝，解得k＝21.
7.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　∵△AF1B的周长为4，∴4a＝4，
∴a＝，∵离心率为，∴c＝1，∴b＝＝，
∴椭圆C的方程为＋＝1.故选A.

第1课时　椭圆及其性质
题型一　椭圆的定义及应用
1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)

A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
答案　A
解析　由条件知|PM|＝|PF|，
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆.
2.已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)
A.2 B.6 C.4 D.12
答案　C
解析　由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.
3.椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于(　　)
A. B. C. D.4
答案　A
解析　F1(－，0)，∵PF1⊥x轴，
∴P，∴|PF1|＝，∴|PF2|＝4－＝.
4.设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为
(6，4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________.
答案　－5
解析　由椭圆的方程可知F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|.∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|＝＝5，2a＝10，∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为
－5.
思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.

题型二　椭圆的标准方程

命题点1　定义法
例1　(1)(2019·丽水调研)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a＝16，2c＝8，
即a＝8，c＝4，b＝＝4，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)在△ABC中，A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是(　　)
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
答案　A
解析　由|AC|＋|BC|＝18－8＝10>8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线).设其方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝5，c＝4，从而b＝3.由A，B，C不共线知y≠0.故顶点C的轨迹方程是＋＝1(y≠0).
命题点2　待定系数法
例2　(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆的标准方程为__________.
答案　＋＝1
解析　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).
由解得m＝，n＝.
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程为____________.
答案　＋＝1
解析　∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，∴可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，∵P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
∴又a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝，c＝，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.
(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.
跟踪训练1 (1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　依题意设椭圆G的方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，∴2a＝12，∴a＝6，∵椭圆的离心率为，∴e＝＝＝，即＝，解得b2＝9，∴椭圆G的方程为＋＝1，故选A.
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________.
答案　＋＝1
解析　∵所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，
∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在所求椭圆上，
∴＋＝1，即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.

题型三　椭圆的几何性质

命题点1　求离心率的值(或范围)
例3　(1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　方法一　如图，

在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，
∴|PF1|＝＝，|PF2|＝2c·tan 30°＝.
∵|PF1|＋|PF2|＝2a，
即＋＝2a，可得c＝a.
∴e＝＝.
方法二　(特殊值法)：
在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，
∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2，|F1F2|＝.
∴e＝＝＝.
(2)椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，|OP|＝a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设P(x，y)，则|OP|2＝x2＋y2＝，
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2，
又∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，
∴|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2＝4c2，
则|PF1|2＋|PF2|2＋8c2＝4a2，
∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＋8c2＝4a2，
整理得x2＋y2＋5c2＝2a2，
即＋5c2＝2a2，整理得＝，
∴椭圆的离心率e＝＝.
(3)(2018·杭州调研)已知椭圆＋＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是__________.
答案　
解析　因为|PT|＝(b>c)，
而|PF2|的最小值为a－c，
所以|PT|的最小值为.
依题意，有≥(a－c)，
所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，
所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，
所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0.①
又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，所以2e2<1.②
联立①②，得≤e<.
命题点2　求参数的值(或范围)
例4　(2017·全国Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，]∪[4，＋∞)
答案　A
解析　方法一　设椭圆焦点在x轴上，
则0 过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x，0).
故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)＝＝.
又tan∠AMB＝tan 120°＝－，
且由＋＝1，可得x2＝3－，
则＝＝－.
解得|y|＝.
又0<|y|≤，即0<≤，
结合0 对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.
则m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).
故选A.
方法二　当0 要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得0 当m>3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞).
故选A.
思维升华 (1)求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
①直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解.
②由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解.
③由椭圆的定义求离心率，e＝＝，而2a是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和，2c是焦距，从而与焦点三角形联系起来.
④构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e，一般步骤如下：
(ⅰ)建立方程：根据已知条件得到齐次方程Aa2＋Bac＋Cc2＝0；
(ⅱ)化简：两边同时除以a2，化简齐次方程，得到关于e的一元二次方程A＋Be＋Ce2＝0；
(ⅲ)求解：解一元二次方程，得e的值；
(ⅳ)验算取舍：根据椭圆离心率的取值范围e∈(0，1)确定离心率e的值.
若得到齐次不等式，可以类似求出离心率e的取值范围.
(2)椭圆几何性质的应用技巧
①与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.
②椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0 跟踪训练2　(1)已知椭圆＋＝1(0 答案　
解析　由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，
所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质可知＝3.
所以b2＝3，即b＝.
(2)(2018·温州高考适应性测试)椭圆＋＝1(a>b>0)中，F为右焦点，B为上顶点，O为坐标原点，直线y＝x交椭圆于第一象限内的点C，若S△BFO＝S△BFC，则椭圆的离心率等于(　　)
A. B.
C. D.－1
答案　A
解析　联立直线y＝x与椭圆＋＝1，得在第一象限的交点为C，又因为S△BFO＝S△BFC，所以直线BF与直线y＝x的交点为线段OC的中点，即线段OC的中点在直线BF：＋＝1上，则＋＝1，化简得椭圆的离心率e＝＝，故选A.
(3)(2018·温州高考适应性测试)正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由椭圆的对称性可知，正方形的四个顶点为直线y＝±x与椭圆的交点，即，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以c<，化简得a4－3a2c2＋c4>0，所以e4－3e2＋1>0，又0 解得e2<，即0

1.(2018·浙江省金华东阳中学期中)如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)
A.a>3 B.a<－2
C.a>3或a<－2 D.a>3或－6 答案　D
解析　∵椭圆的焦点在x轴上，
∴a2>a＋6>0，解得a>3或－6 2.(2018·绍兴质检)已知椭圆Γ：＋＝1(m>－2)上的动弦EF过Γ的一个焦点(动弦不在x轴上)，若Γ的另一个焦点与动弦EF所构成的三角形的周长为20，则椭圆Γ的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由椭圆的定义，得4a＝20，解得a＝5.又c2＝a2－b2＝m＋6－(m＋2)＝4，所以c＝2，所以椭圆的离心率e＝＝，故选C.
3.(2018·浙江省高考模拟试卷)已知椭圆的方程为＋＝1，矩形ABCD的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在矩形的内部，则矩形的长与宽的比值的取值范围为(　　)
A.(1，2) B.(1，3)
C.(，＋∞) D.(1，)
答案　C
解析　根据椭圆与矩形的对称性知，矩形的相邻两边分别平行于x轴，y轴，且椭圆与矩形都以原点O为对称中心，

如图是矩形的边过焦点时的情形，由椭圆方程＋＝1，知当x＝2时，y＝±，故A，此时，矩形的长与宽的比值为，由于焦点在矩形的内部，所以矩形的长与宽的比值大于，故选C.
4.设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足·＝9，则|PF1|·|PF2|的值为(　　)
A.8 B.10 C.12 D.15
答案　D
解析　由椭圆方程＋＝1，可得c2＝4，所以|F1F2|＝2c＝4，而＝－，所以||＝|－|，两边同时平方，得||2＝||2－2·＋||2，所以||2＋||2＝||2＋2·＝16＋18＝34，根据椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝64，所以34＋2|PF1|·|PF2|＝64，
所以|PF1|·|PF2|＝15.故选D.
5.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：

①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；④c1a2>a1c2.
其中正确式子的序号是(　　)
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
答案　D
解析　观察图形可知a1＋c1>a2＋c2，即①式不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0知，<，即<，从而c1a2>a1c2，>，即④式正确，③式不正确.故选D.
6.(2018·浙江省金华十校期末)椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是[2b2，3b2]，椭圆M的离心率为e，e－的最小值是(　　)
A.－ B.－
C.－ D.－
答案　A
解析　由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|·|PF2|≤2＝a2，
∴2b2≤a2≤3b2，
即2a2－2c2≤a2≤3a2－3c2，
∴≤≤，即≤e≤.
令f(e)＝e－，则f(e)在上是增函数，
∴当e＝时，e－取得最小值－＝－.
7.(2018·浙江七彩阳光联盟联考)已知椭圆的方程为＋＝1，过椭圆中心的直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为________，△ABF2的面积的最大值为________.
答案　10　2
解析　设F1是椭圆的左焦点.如图，连接AF1.

由椭圆的对称性，结合椭圆的定义知|AF2|＋|BF2|＝2a＝6，所以要使△ABF2的周长最小，必有|AB|＝2b＝4，所以△ABF2的周长的最小值为10.＝＝×2c×|yA|＝|yA|≤2，所以△ABF2面积的最大值为2.
8.设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为__________.
答案　＋＝1
解析　∵△F2AB是面积为4的等边三角形，∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，可求得|F1A|＝|F1B|＝.
又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，∴＝×2c.①
又＝×2c×＝4，②
a2＝b2＋c2，③
由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
9.已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与椭圆C2：＋＝1(a>b>0)相交于A，B，C，D四点，若椭圆C1的一个焦点为F(－，0)，且四边形ABCD的面积为，则椭圆C1的离心率e为________.
答案　
解析　联立
两式相减得＝，又a≠b，
所以x2＝y2＝，
故四边形ABCD为正方形，＝，(*)
又由题意知a2＝b2＋2，将其代入(*)式整理得3b4－2b2－8＝0，所以b2＝2，则a2＝4，
所以椭圆C的离心率e＝.
10.已知A，B，F分别是椭圆x2＋＝1(00，则椭圆的离心率的取值范围为______________.
答案　
解析　如图所示，线段FA的垂直平分线为x＝，线段AB的中点为.

因为kAB＝－b，所以线段AB的垂直平分线的斜率k＝，
所以线段AB的垂直平分线方程为y－＝.
把x＝＝p代入上述方程可得y＝＝q.
因为p＋q>0，所以＋>0，
化为b>.
又0 即－1<－b2<－，
所以0<1－b2<，
所以e＝＝c＝∈.
11.已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点.求点M的轨迹C的方程.
解　由题意得F1(－1，0)，F2(1，0)，圆F1的半径为4，
且|MF2|＝|MP|，从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F1F2|，
所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为，
所以点M的轨迹方程为＋＝1.
12.已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.
解　椭圆方程可化为＋＝1，m>0.
∵m－＝>0，∴m>，
∴a2＝m，b2＝，c＝＝ .
由e＝，得 ＝，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，B1，B2.

13.(2018·浙江省台州适应性考试)已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，且满足|OP|＝|OF|，|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　如图，设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，椭圆C的右焦点为M，

连接PM，则|FM|＝2|OF|＝10，由|OP|＝|OF|＝|OM|知，FP⊥PM，又|PF|＝6，所以|PM|＝＝8，所以2a＝|PF|＋|PM|＝14，所以a＝7，又c＝5，所以b2＝a2－c2＝49－25＝24，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
14.(2018·浙江省镇海中学模拟)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足·＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.[－1，1)
答案　A
解析　如图，作出椭圆的左焦点F′，分别连接AB，AF′，BF′，

由椭圆的对称性可知，四边形AFBF′为平行四边形.由·＝0，知FA⊥FB，所以四边形AFBF′为矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c.设|AF′|＝m，|AF|＝n，
则由椭圆的定义知m＋n＝2a，①
在Rt△AF′F中，m2＋n2＝4c2.②
由①②，得mn＝2(a2－c2)，则＋＝.
令＝t，得t＋＝.
由|FB|≤|FA|≤2|FB|，得＝t∈[1，2]，
所以t＋＝∈，即2≤≤，
解得≤e≤，故选A.



15.(2018·嘉兴测试)椭圆＋＝1(a>b>0)，直线l1：y＝－x，直线l2：y＝x，P为椭圆上任意一点，过P作PM∥l1且与l2交于点M，作PN∥l2且与l1交于点N，若|PM|2＋|PN|2为定值，则椭圆的离心率为________.
答案　
解析　设P(x0，y0)，则直线PM的方程为y＝－x＋＋y0，直线PN的方程为y＝x－＋y0，分别与直
线l2，l1的方程联立可得M，N，从而|PM|2＋|PN|2＝x＋y.又点P(x0，y0)在椭圆上，所以b2x＋a2y＝a2b2.又|PM|2＋|PN|2为定值，所以＝＝，从而e2＝＝，从而e＝.
16.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P使＝，求该椭圆的离心率的取值范围.
解　由＝，得＝.
又由正弦定理得＝，
所以＝，即|PF1|＝|PF2|.
又由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝，|PF1|＝，
因为PF2是△PF1F2的一边，
所以有2c－<<2c＋，
即c2＋2ac－a2>0，所以e2＋2e－1>0(0 解得椭圆离心率的取值范围为(－1，1).