2020版高考数学（文）新创新一轮复习通用版讲义：第十二章第一节　合情推理与演绎推理

第十二章推理与证明、算法、复数
第一节　合情推理与演绎推理
[考纲要求]
1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用．
2．了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异．
3．掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．　　　
突破点一　合情推理


类型
定义
特点
归纳推理
根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理
由部分到整体、由个别到一般
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
由特殊到特殊

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　)
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　　)
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
二、填空题
1．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是an＝________.
解析：a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.
答案：n2
2．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
答案：1∶8
3．(2018·咸阳二模)观察下列式子：＜2，＋＜，＋＋＜8，＋＋＋＜，…，根据以上规律，第n(n∈N*)个不等式是________________________________________________________________________．
解析：根据所给不等式可得第n个不等式是＋＋…＋＜(n∈N*)．
答案：＋＋…＋＜



考法一　归纳推理　
[例1]　(1)(2019·郑州模拟)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，依次类推，凸十三边形的对角线条数为(　　)
A．42　　　　　　　　　 　B．65
C．143 D．169
(2)(2019·兰州实战性考试)观察下列式子：1,1＋2＋1，1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*，则1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.
[解析]　(1)根据题设条件可以通过列表归纳分析得到：
凸多边形
四
五
六
七
八
对角线条数
2
2＋3
2＋3＋4
2＋3＋4＋5
2＋3＋4＋5＋6
所以凸n边形有2＋3＋4＋…＋(n－2)＝条对角线，所以凸十三边形的对角线条数为＝65，故选B.
(2)由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.
[答案]　(1)B　(2)n2

[方法技巧]
归纳推理问题的常见类型及解题策略
常见类型
解题策略
与数字有关的等式的推理
观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解
与式子有关的推理
观察每个式子的特点，找到规律后可解
与图形变化有关的推理
合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性

考法二　类比推理　
1．类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法，常用技巧如下：
类比定义
在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解
类比性质
从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键
类比方法
有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移
2.平面中常见的元素与空间中元素的类比：
平面
点
线
圆
三角形
角
面积
周长
…
空间
线
面
球
三棱锥
二面角
体积
表面积
…
[例2]　(1)(2019·宜春中学期中)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P­ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2019·沙市中学月考)“求方程x＋x＝1的解”有如下解题思路：设f(x)＝x＋x，则f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，所以原方程有唯一解x＝2.类比上述解题思路，不等式x6－(x＋2)＞(x＋2)3－x2的解集是________________．
[解析]　(1)从平面图形类比到空间图形，从二维类比到三维，可得到如下结论：正四面体的内切球与外接球半径之比为，所以正四面体的内切球的体积V1与外接球的体积V2之比＝3＝，故选B.
(2)不等式x6－(x＋2)＞(x＋2)3－x2变形为x6＋x2＞(x＋2)3＋(x＋2)，
令u＝x2，v＝x＋2，
则x6＋x2＞(x＋2)3＋(x＋2)转化为u3＋u＞v3＋v.
设f(x)＝x3＋x，知f(x)在R上为增函数，
∴由f(u)＞f(v)，得u＞v.
不等式x6＋x2＞(x＋2)3＋(x＋2)可化为x2＞x＋2，
解得x＜－1或x＞2.
∴所求解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
[答案]　(1)B　(2)(－∞，－1)∪(2，＋∞)
[方法技巧]
类比推理的步骤和关键
(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．　　

1.如图，一个树形图依据下列规律不断生长，1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，则第11行的实心圆点的个数是(　　)

A．21 B．34
C．55 D．89
解析：选C　根据1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点知，第1行的实心圆点的个数是0；第2行的实心圆点的个数是1；第3行的实心圆点的个数是1＝0＋1；第4行的实心圆点的个数是2＝1＋1；第5行的实心圆点的个数是3＝1＋2；第6行的实心圆点的个数是5＝2＋3；第7行的实心圆点的个数是8＝3＋5；第8行的实心圆点的个数是13＝5＋8；第9行的实心圆点的个数是21＝8＋13；第10行的实心圆点的个数是34＝13＋21；第11行的实心圆点的个数是55＝21＋34.故选C.
2.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋中“…”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋＝x求得x＝.类比上述过程，则 ＝(　　)
A．3 B．
C．6 D．2
解析：选A　令 ＝m(m＞0)，
则两边平方得，则3＋2＝m2,
即3＋2m＝m2，解得m＝3或m＝－1(舍去)．
3.某地区发生7.0级地震，为抗震救灾，地震后需搭建简易帐篷，搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要________根钢管．

解析：由题意可知，图①的单顶帐篷要(17＋0×11)根钢管，图②的帐篷要(17＋1×11)根钢管，图③的帐篷要(17＋2×11)根钢管，……所以串7顶这样的帐篷需要17＋6×11＝83(根)钢管．
答案：83
4.“MN是经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦OP⊥MN，则＋＝＋.”类比椭圆的性质，可得“MN是经过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP⊥MN，则____________________．”
解析：因为在椭圆中，＋＝＋，在双曲线中，和变为差，所以类比结果应是－＝－.
答案：－＝－
突破点二　演绎推理


1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
2．模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
(1)大前提——已知的一般原理；
(2)小前提——所研究的特殊情况；
(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
3．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(　　)
(2)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　　)
答案：(1)√　(2)×
二、填空题
1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是矩形；③所以三角形不是平行四边形”中的小前提是________(填序号)．
答案：②
2．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三个去过同一城市．
由此判断乙去过的城市为________．
答案：A

[典例]　数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
[证明]　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
故＝2·，(小前提)
故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义)
(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1
＝4an(n≥2)．(小前提)
又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)
[方法技巧]
演绎推理的推理过程中的2个注意点
(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．
(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．　　
[针对训练]
1．“因为指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)是增函数(大前提)，又y＝x是指数函数(小前提)，所以函数y＝x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于(　　)
A．大前提错误导致结论错
B．小前提错误导致结论错
C．推理形式错误导致结论错
D．大前提和小前提错误导致结论错
解析：选A　当a＞1时，y＝ax为增函数；当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，故大前提错误．
2．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)＞af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．
证明：设x1，x2∈R，取x1＜x2，
则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，
∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]＞0，
即[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0，
∵x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)＞0，f(x2)＞f(x1)．
∴y＝f(x)为R上的单调增函数.
[课时跟踪检测]
1．(2019·广东珠海一中、惠州一中联考)因为四边形ABCD为矩形，所以四边形ABCD的对角线相等，补充以上推理的大前提为(　　)
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
解析：选B　用三段论的形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，因为由四边形ABCD为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，所以大前提一定是矩形的对角线相等．故选B.
2．(2019·武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是(　　)
A．甲　　　　　　　　　　 　B．乙
C．丙 D．丁
解析：选B　由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．
3．(2019·南昌调研)已知13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，则n＝(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选C　∵13＋23＝32＝(1＋2)2，
13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2，
13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，
……
∴13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝.
∵13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，
∴＝3 025，∴n2(n＋1)2＝(2×55)2，
∴n(n＋1)＝110，解得n＝10.
4．(2019·武汉外国语学校月考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名，比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选D　如果1号或2号选手得第一名，则乙、丙、丁对，如果3号选手得第一名，则只有丁对，如果4号或5号选手得第一名，则甲、乙都对，如果6号选手得第一名，则乙、丙都对．因此只有丁猜对，故选D.
5．(2019·辽宁实验中学等五校期末)如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝K，则H1＋2H2＋3H3＋4H4等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　类比，得H1＋2H2＋3H3＋4H4＝，证明如下：连接Q与三棱锥的四个顶点，将原三棱锥分成四个小三棱锥，其体积和为V，即V1＋V2＋V3＋V4＝V，即(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)＝V.又由＝＝＝＝K，得S1＝K，S2＝2K，S3＝3K，S4＝4K，则(H1＋2H2＋3H3＋4H4)＝V，即H1＋2H2＋3H3＋4H4＝，故选C.
6．(2019·大连模拟)“一支医疗救援队里的医生和护士，包括我在内，总共是13名．下面讲到的人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化．在这些医务人员中：①护士不少于医生；②男医生多于女护士；③女护士多于男护士；④至少有一位女医生．”由此推测这位说话人的性别和职务是(　　)
A．男护士 B．女护士
C．男医生 D．女医生
解析：选A　设女护士人数为a，男护士人数为b，女医生人数为c，男医生人数为d，则所以d＞a＞b＞c≥1.a＋b＋c＋d＝13，经检验得仅有a＝4，b＝3，c＝1，d＝5符合条件．因为无论是否把这位说话人计算在内，都满足条件，所以这位说话人是男护士．
7．(2019·成都七中期中)如图，第n个图形是由正(n＋2)边形“扩展”而来的，n∈N*，则在第n个图形中共有____________个顶点．(用n表示)

解析：第n个图形是在第(n＋2)边形的基础上每条边加上n＋2个顶点，因此顶点个数为(n＋2)＋(n＋2)(n＋2)＝(n＋2)(n＋3)．
答案：(n＋2)(n＋3)
8．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：
[ ]＋[ ]＋[ ]＝3，
[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝10，
[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝21，
……
按照此规律第n个等式的等号右边的结果为________．
解析：因为[ ]＋[ ]＋[ ]＝1×3，[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝2×5，[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝3×7，……，以此类推，第n个等式的等号右边的结果为n(2n＋1)，即2n2＋n.
答案：2n2＋n
9．(2019·石家庄模拟)观察下列式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，根据上述规律，第n个不等式可能为________________________________________________________________________．
解析：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，根据上述规律，第n个不等式的左端是n＋1项的和1＋＋＋…＋，右端分母依次是2,3,4，…，n＋1，分子依次是3,5,7，…，2n＋1，故第n个不等式为1＋＋＋…＋＜.
答案：1＋＋＋…＋＜
10．(2019·长春质检)有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．
解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日，5月8日，9月4日，9月6日，9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日，8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师生日为8月4日．
答案：8月4日
11．(2019·台州中学期中)如图，正方形ABCD的边长为1，分别作边AB，BC，CD，DA上的三等分点A1，B1，C1，D1，得正方形A1B1C1D1，再分别取边A1B1，B1C1，C1D1，D1A1上的三等分点A2，B2，C2，D2，得正方形A2B2C2D2，如此继续下去，得正方形A3B3C3D3，…，则正方形AnBnCnDn的面积为________．
解析：设正方形A1B1C1D1的面积为S1，∵AB＝1，∴A1B＝，BB1＝，∴A1B1＝，＝2＝，∴相邻的两正方形的面积比为，所有正方形面积构成等比数列，公比为，首项为1，∴正方形AnBnCnDn的面积为n.
答案：n
12．观察下列等式：
1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；
1＋3＋6＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)；
1＋4＋10＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)·(n＋3)；
……
可以推测，1＋5＋15＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝________________________________.
解析：根据式子中的规律可知，等式右侧为·n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·(n＋4)．
答案：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)
13．给出下面的数表序列：
表1　　　表2　　　　表3
1　　 　1　3　　 1　3　5 ….
4 4　8
12
其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…,2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．
解：表4为
1　3　5　7
4 8 12
　 12 20
32
它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos2 15°－sin15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
法一：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋ cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
法二：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝－cos 2α＋＋ (cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.