2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第九章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系





一、基础知识批注——理解深一点

1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)

相离
相切
相交
图形



量化
方程观点
Δ＜0
Δ＝0
Δ＞0
几何观点
d＞r
d＝r
d＜r

2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)

相离
外切
相交
内切
内含
图形





量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|

二、常用结论汇总——规律多一点
(1)圆的切线方程常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)直线被圆截得的弦长
弦心距d、弦长l的一半l及圆的半径r构成一直角三角形，且有r2＝d2＋2.
三、基础小题强化——功底牢一点

　(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　)
(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．(　　)
(3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　　)
(4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

(二)选一选
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　)
A．相切　　　　　　　　　 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
解析：选B　因为圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝，而0＜＜1，所以直线和圆相交，但不过圆心．
2．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是(　　)
A．相交 B．内切
C．外切 D．内含
解析：选B　两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆心分别为O1(0,1)，O2(0,0)，半径分别为r1＝1，r2＝2.因为|O1O2|＝1＝r2－r1，所以两圆内切．
3．已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝(　　)
A．0 B.
C.或0 D.或0
解析：选D　因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得k＝0或k＝，故选D.

(三)填一填
4．已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为________．
解析：易知该切线的斜率存在，则可设切线方程为y＝kx＋，则d＝＝1，解得k＝±1，即y＝x＋或y＝－x＋.
答案：x－y＋＝0或x＋y－＝0
5．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.
∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝2.
答案：2



考法(一)　直线与圆的位置关系的判断
[典例]　直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　　　 B．相切
C．相离 D．不确定
[解析]　法一：由
消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20>0，
所以直线l与圆相交．
法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝