2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第六章第五节数列的综合应用

第五节数列的综合应用
考点一　数列在实际问题与数学文化问题中的应用
[典例]　(1)《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是(　　)
A．72.705尺　　　　　　　 　B．61.395尺
C．61.905尺 D．73.995尺
(2)(2018·北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a元的一年期定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2019年1月1日小明去银行继续存款a元后，他的账户中一共有________元；到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．
[解析]　(1)因为每相邻两节竹节间的长度差为0.03尺，设从地面往上每节竹长分别为a1，a2，a3，…，a30，所以数列{an}是以a1＝0.5为首项，以d1＝0.03为公差的等差数列．又由题意知竹节圈长，每后一圈比前一圈细0.013尺，设从地面往上每节圈长分别为b1，b2，b3，…，b30，则数列{bn}是以b1＝1.3为首项，以d＝－0.013为公差的等差数列．所以一蚂蚁 往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程为S30＝＋＝61.395.故选B.
(2)依题意，2019年1月1日存款a元后，账户中一共有a(1＋p)＋a＝(ap＋2a)(元)．
2022年1月1日可取出钱的总数为
a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)
＝a·
＝[(1＋p)5－(1＋p)]
＝[(1＋p)5－1－p]．
[答案]　(1)B　(2)ap＋2a　[(1＋p)5－1－p]
[解题技法]
1．解决数列与数学文化相交汇问题的关键

2．解答数列应用题需过好“四关”




[题组训练]
1．(2019·贵阳适应性考试)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为(　　)
A.钱 B.钱
C.钱 D．1钱
解析：选D　因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，则a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，解得a＝1，即丙所得为1钱，故选D.
2．(2018·安徽知名示范高中联考)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是(　　)
A．a，b，c成公比为2的等比数列，且a＝
B．a，b，c成公比为2的等比数列，且c＝
C．a，b，c成公比为的等比数列，且a＝
D．a，b，c成公比为的等比数列，且c＝
解析：选D　由题意可得，a，b，c成公比为的等比数列，b＝a，c＝b，故4c＋2c＋c＝50，解得c＝.故选D.
3．(2019·江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t倍．下列选项中，与t值最接近的是(　　)
A．11 B．13
C．15 D．17


解析：选B　设鱼原来的质量为a，饲养n年后鱼的质量为an，q＝200%＝2，则a1＝a(1＋q)，a2＝a1＝a(1＋q)，…，a5＝a(1＋2)×(1＋1)×××＝a≈12.7a，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B.
考点二　等差数列与等比数列的综合计算
[典例]　(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.
[解]　 (1)设{an}的公差为d.
因为a2＋a3＝5ln 2，所以2a1＋3d＝5ln 2.
又a1＝ln 2 ，所以d＝ln 2.所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2.
(2)因为ea1＝eln 2＝2，＝ean－an－1＝eln 2＝2，
所以数列{ean}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以ea1＋ea2＋…＋ean＝＝2n＋1－2.

[解题技法]　等差数列与等比数列综合计算的策略
(1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论．
(2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即{an}为等差数列⇒{aan}(a>0且a≠1)为等比数列；{an}为正项等比数列⇒{logaan}(a>0且a≠1)为等差数列．
[题组训练]
1．已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6＝(　　)
A．95　　　　　　　　　 　B．90
C．85 D．80
解析：选B　由a1，a2，a5成等比数列，得a＝a1·a5.又等差数列{an}的公差为5，所以(a1＋5)2＝a1(a1＋4×5)，解得a1＝.所以S6＝6×＋×5＝90.故选B.
2．已知数列{an}是公差为整数的等差数列，前n项和为Sn，且a1＋a5＋2＝0,2S1,3S2,8S3成等比数列，则数列的前10项和为________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＋a5＋2＝0，所以2a1＋4d＋2＝0，a1＝－1－2d.
因为2S1,3S2,8S3成等比数列，所以16S1S3＝9S，
即16(－1－2d)(－3－3d)＝9(－2－3d)2.
因为d为整数，所以解得d＝－2，则a1＝3，
所以an＝3－2(n－1)＝5－2n.
则＝＝，
所以数列的前10项和为×＋×＋…＋×＝ ×＝－.
答案：－
3．(2019·武汉调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3.
(1)若a3＋b3＝7，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝13，求Sn.
解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.
由a2＋b2＝3，得d＋q＝4，①
由a3＋b3＝7，得2d＋q2＝8，②
联立①②，解得q＝2或q＝0(舍去)，
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
(2)∵T3＝b1(1＋q＋q2)，
∴1＋q＋q2＝13，解得q＝3或q＝－4，
由a2＋b2＝3得d＝4－q，∴d＝1或d＝8.
由Sn＝na1＋n(n－1)d，
得Sn＝n2－n或Sn＝4n2－5n.
考点三　数列与函数、不等式的综合问题
[典例]　设函数f(x)＝＋，正项数列{an}满足a1＝1，an＝f，n∈N*，且n≥2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：＋＋＋…＋1.
因为1＋a2－a4＋λ(a3－a5)＝0，所以1＋λq＝，
所以a6＋λa7＝a6(1＋λq)＝＝＝＝q2＋1＋＝q2－1＋＋2≥2＋2＝4，即a6＋λa7的最小值为4，故选D.
7．某公司去年产值为a，计划在今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为________．
解析：每年的产值构成以a(1＋10%)＝1.1a为首项，1.1为公比的等比数列，所以从今年起到第5年的总产值S5＝＝11(1.15－1)a.
答案：11(1.15－1)a
8．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则a8＝________.
解析：因为S3，S9，S6成等差数列，所以公比q≠1，＝＋，整理得2q6＝1＋q3，所以q3＝－，故a2·＝4，解得a2＝8，故a8＝8×＝2.
答案：2
9．已知等差数列{an}满足an－1＋an＋an＋1＝3n(n≥2)，函数f(x)＝2x，bn＝log4f(an)，则数列{bn}的前n项和为________．
解析：∵等差数列{an}满足an－1＋an＋an＋1＝3n(n≥2)，∴3an＝3n，即an＝n.又∵函数f(x)＝2x，∴f(an)＝2n，∴b1＋b2＋…＋bn＝log4[f(a1)·f(a2)·…·f(an)]＝log4(2×22×…×2n)＝log421＋2＋…＋n＝×(1＋2＋…＋n)＝.
答案：
10．(2018·沈阳质检)在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，则an＝________.
解析：法一：因为an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，所以＝2(n≥2)，所以an＋1－an＝(a2－a1)2n－1＝2n－1(n≥2)，又a2－a1＝1，所以an－an－1＝2n－2，an－1－an－2＝2n－3，…，a2－a1＝1，累加，得an＝2n－1(n∈N*)．
法二：因为an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，所以an＋1－2an＝an－2an－1，得an＋1－2an＝an－2an－1＝an－1－2an－2＝…＝a2－2a1＝0，即an＝2an－1(n≥2)，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n－1(n∈N*)．
答案：2n－1
11．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为.
(1)若S4＝，求a1.
(2)若a1＝2，cn＝an＋nb，且c2，c4，c5成等差数列，求b.
解：(1)∵公比q＝，S4＝，
∴＝，
∴a1＝－，解得a1＝.
(2)∵a1＝2，公比为，∴a2＝3，a4＝，a5＝.
又∵cn＝an＋nb，
∴c2＝a2＋2b＝＋2b，c4＝a4＋4b＝＋4b，c5＝a5＋5b＝＋5b.
∵c2，c4，c5成等差数列，
∴2＝＋2b＋＋5b，解得b＝－.
12．设数列{an}的前n项和为Sn，点，n∈N*均在函数y＝x的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式4Tn