2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第七章第三节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

一、基础知识批注——理解深一点
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
直线同侧同号，两侧异号.
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分

2．线性规划相关概念
(1)约束条件：由变量x，y组成的一次不等式．
(2)线性约束条件：由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组．
(3)目标函数：欲求最大值或最小值的函数．线性目标函数：关于x，y的一次解析式．
(4)可行解：满足线性约束条件的解．可行域：所有可行解组成的集合．
如果目标函数存在一个最优解，那么最优解通常在可行域的顶点处取得；如果目标函数存在多个最优解，那么最优解一般在可行域的边界上取得.

(5)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
(6)线性规划问题：在线性约束条件下求线
性目标函数的最大值或最小值问题．




二、常用结论汇总——规律多一点
1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域
(1)线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
(2)点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．
2．最优解和可行解的关系
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．
三、基础小题强化——功底牢一点


(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　　)
(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．(　　)
(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(　　)
(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

(二)选一选
1．不等式组表示的平面区域是(　　)

解析：选C　x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方部分，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方部分．故不等式组表示的平面区域为选项C所示阴影部分．
2．不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　平面区域如图中阴影部分所示．
解可得A(1,1)，
易得B(0,4)，C，|BC|＝4－＝.
∴S△ABC＝××1＝.
3．(2018·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为(　　)
A．6 B．19
C．21 D．45
解析：选C　作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z＝3x＋5y得y＝－x＋.
设直线l0为y＝－x，平移直线l0，当直线y＝－x＋过点P时，z取得最大值．
联立解得
即P(2,3)，所以zmax＝3×2＋5×3＝21.

(三)填一填
4．若点(m,1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面区域内，则m的取值范围是________．
解析：∵点(m,1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面区域内，∴2m＋3－5>0，即m>1.
答案：(1，＋∞)
5．若实数x，y满足约束条件则x－2y的最大值为________．

解析：画出可行域如图中阴影部分所示，令z＝x－2y，可知z＝x－2y在点A(1,1)处取得最大值－1.

答案：－1

考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域
[典例]　(1)已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．－1
C．0 D．－2
(2)不等式组表示的平面区域的面积为________．
[解析]　(1)作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，
要使阴影部分为直角三角形，
当k＝0时，此三角形的面积为×3×3＝≠1，所以不成立，
所以k>0，则必有BC⊥AB，
因为x＋y－4＝0的斜率为－1，
所以直线kx－y＝0的斜率为1，即k＝1，故选A.
(2) 不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即所求．求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.
[答案]　(1)A　(2)1

[解题技法]
1．求平面区域面积的方法
(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；
(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和．
2．根据平面区域确定参数的方法
在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．
[题组训练]
1．若M为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过M中的那部分区域的面积为(　　)
A．1　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
解析：选D　在直角坐标系中作出区域M如图中阴影部分所示，当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过M中的那部分区域为图中的四边形AODE，所以其面积S＝ S△AOC－S△DEC＝×2×2－×1×＝，故选D.

2．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是
(　　)
A. B．(0,1]
C. D．(0,1]∪
解析：选D　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由得A，
由得B(1,0)．
若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中a的取值范围是0


考法(一)　求线性目标函数的最值
[典例]　(2018·全国卷Ⅲ)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________．
[解析]　作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．

由z＝x＋y得y＝－3x＋3z，作出直线y＝－3x，并平移该直线，当直线y＝－3x＋3z过点A(2,3)时，目标函数z＝x＋y取得最大值，zmax＝2＋×3＝3.
[答案]　3

[解题技法]　求线性目标函数最值的一般步骤

[口诀归纳]
线性规划三类题，截距斜率和距离；
目标函数看特征，约束条件来界定；
目标函数要建准，整点问题要验证.

考法(二)　求非线性目标函数的最值
[典例]　(2019·广州高中综合测试)若x，y满足约束条件则z＝x2＋2x＋y2的最小值为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．－ D．－
[解析]　作出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1的几何意义是平面区域内的点到定点(－1,0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1,0)的距离的最小值为，故z＝x2＋2x＋y2的最小值为zmin＝－1＝－，选D.
[答案]　D
[解题技法]　常见的2种非线性目标函数及其意义
(1)点到点的距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方；
(2)斜率型：形如z＝，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率．

考法(三)　线性规划中的参数问题
[典例]　(2019·湖北八校联考)已知x，y满足约束条件且z＝x＋3y的最小值为2，则常数k＝________.
[解析]　作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
由z＝x＋3y得y＝－x＋，结合图形可知当直线y＝－x＋过点A时，z最小，
联立方程，得得A(2，－2－k)，
此时zmin＝2＋3(－2－k)＝2，解得k＝－2.
[答案]　－2

[解题技法]　求解线性规划中含参问题的基本方法
(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围．
(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．

[题组训练]
1．若实数x，y满足不等式组目标函数z＝kx－y的最大值为12，最小值为0，则实数k＝(　　)
A．2 B．1
C．－2 D．3
解析：选D　作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝kx－y可化为y＝kx－z，若k≤0，则z的最小值不可能为0，若k＞0，当直线y＝kx－z过点A(1,3)时，z取最小值0，得k＝3，此时直线y＝kx－z过点B(4,0)时，z取得最大值12，符合题意，故k＝3.
2．(2019·石家庄质检)设变量x，y满足约束条件则的最大值为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，而表示区域内的动点(x，y)与定点P(0，－1)连线的斜率的取值范围，由图可知，当直线过点A(1，2)时，斜率最大，为＝3.
答案：3

[典例]　(2019·合肥一检)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时．A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为(　　)
A．320千元　　　　　　　　 B．360千元
C．400千元 D．440千元
[解析]　设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润为z千元，则z＝2x＋y，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线经过直线2x＋3y＝480与直线6x＋y＝960的交点(150,60)时，z取得最大值，为360.
[答案]　B
[解题技法]　解线性规划应用问题的一般步骤
审题
仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系
设元
设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数
作图
准确作出可行域，平移找点(最优解)
求解
代入目标函数求解(最大值或最小值)
检验
根据结果，检验反馈

[题组训练]
1．某玩具生产厂计划每天生产舰艇模型、坦克模型、战斗机模型这三种玩具共100个，生产一个舰艇模型需要5分钟，生产一个坦克模型需要7分钟，生产一个战斗机模型需要4分钟．已知总生产时间不超过10小时，若生产一个舰艇模型可获利润8元，生产一个坦克模型可获利润9元，生产一个战斗机模型可获利润6元．该玩具生产厂合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大利润是________元．
解析：设该玩具生产厂每天生产x个舰艇模型，y个坦克模型，可获利润为W，则其每天生产(100－x－y)个战斗机模型，所以由题意可得，约束条件为整理，得目标函数为W＝8x＋9y＋6(100－x－y)＝2x＋3y＋600.作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分．初始直线l0：2x＋3y＝0，由图可知，当平移初始直线经过点A时，W有最大值．联立得方程组解得则最优解为A(50,50)，所以Wmax＝2×50＋3×50＋600＝850.因此每天生产舰艇模型50个，坦克模型50个，战斗机模型0个时利润最大，为850元．
答案：850
2．某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1 500元，生产一张桌子的利润为2 000元．该厂每个月木工最多完成8 000个工作时，漆工最多完成1 300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．
解析：设该厂每个月生产x把椅子，y张桌子，利润为z元，则得约束条件z＝1 500x＋2 000y.
作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线3x＋4y＝0，平移该直线，可知当该直线经过点P时，z取得最大值．由得即P(200，900)，所以zmax＝1 500×200＋2 000×900＝2 100 000.故每个月所获得的最大利润为2 100 000元．
答案：2 100 000

1．(2018·陕西部分学校摸底检测)若实数x，y满足则2x＋y的最小值为　(　　)
A．－　　　　　　　　 B．0
C．1 D.
解析：选A　作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z＝2x＋y，作出直线y＝－2x，平移该直线，当直线经过点A时，z＝2x＋y取得最小值，最小值为－，故选A.
2．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是(　　)

解析：选C　(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔或结合图形可知选C.
3．(2019·郑州模拟)已知直线y＝k(x＋1)与不等式组表示的平面区域有公共点，则k的取值范围为(　　)
A．[0，＋∞) B.
C. D.
解析：选C　作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示(不包括直线y＝0)，直线y＝k(x＋1)过定点(－1,0)，由解得过点(－1,0)与(1,3)的直线的斜率是，根据题意可知0 4．(2018·安阳名校期末联考)已知变量x，y满足约束条件 则的取值范围是(　　)
A. B.
C．(－∞，3]∪[6，＋∞) D．(3,6]
解析：选A　作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
易知可行域的三个顶点的坐标分别为A(1,3)，B(1,6)，C，表示可行域内的点(x，y)与原点连线的斜率，观察图象可知，当(x，y)＝(1,6)时，取得最大值，最大值为6，当(x，y)＝时，取得最小值，最小值为，故的取值范围是，故选A.
5．(2019·湘东五校联考)已知实数x，y满足且z＝x＋y的最大值为6，则(x＋5)2＋y2的最小值为(　　)
A．5 B．3
C. D.
解析：选A　作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直线y＝－x，由图形可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z的纵截距最大，此时z最大，最大值为6，即x＋y＝6.由得A(3,3)，∵直线y＝k过点A，∴k＝3.又(x＋5)2＋y2的几何意义是可行域内的点与B(－5,0)的距离的平方，数形结合可知，(－5,0)到直线x＋2y＝0的距离最小，可得(x＋5)2＋y2的最小值为2＝5.故选A.
6．已知z＝2x＋y，其中实数x，y满足且z的最大值是最小值的2倍，则a的值是(　　)
A. B.
C．4 D.
解析：选D　作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．
联立方程组解得A(a，a)．
联立方程组解得B(1,1)．
化目标函数z＝2x＋y为y＝－2x＋z.
由图可知，当直线y＝－2x＋z过点B时，z取得最大值，此时zmax＝2×1＋1＝3；
当直线y＝－2x＋z过点A时，z取得最小值，此时zmin＝2a＋a＝3a.
由6a＝3，得a＝.
7．(2019·西安模拟)若x，y满足约束条件则z＝的最小值为(　　)
A．－2 B．－
C．－ D.
解析：选C　作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝表示区域内的点与点P(－3,2)连线的斜率．由图知当区域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，则有＝2，解得k＝－或k＝0(舍去)，所以zmin＝－，故选C.
8．(2019·重庆六校联考)已知x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1



解析：选D　作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．令z＝0，画出直线y＝ax.a＝0显然不满足题意．当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则需使直线y＝ax与x＋y－2＝0平行，此时a＝－1；当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则需使直线y＝ax与2x－y＋2＝0平行，此时a＝2.综上，a＝－1或2.
9．不等式组所表示的平面区域的面积为________．
解析：如图，平面区域为直角梯形，易得A(0,2)，B(2,2)，C(2,7)，D(0，5)，所以AD＝3，AB＝2，BC＝5.故所求区域的面积为S＝×(3＋5)×2＝8.
答案：8
10．(2018·北京高考)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________．
解析：由条件得即作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．
设z＝2y－x，即y＝x＋z，
作直线l0：y＝x并向上平移，显然当l0过点A(1,2)时，z取得最小值，zmin＝2×2－1＝3.
答案：3
11．(2018·南阳模拟)已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为点A(－1,1)，点M(x，y)，所以·＝y－x，令y－x＝m，平移直线y－x＝m，由图可知，当直线经过点D(1,1)时，m取得最小值，且最小值为0，当直线经过点C(0,2)时，m取得最大值，且最大值为2，所以y－x的取值范围是[0,2]，故·的取值范围是[0,2]．
答案：[0,2]
12．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解析：设生产A产品x件，B产品y件，
由已知可得约束条件为即
目标函数为z＝2 100x＋900y，
由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．

作直线2 100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0，当直线经过点M时，z取得最大值，
联立解得M(60,100)．
则zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
答案：216 000
13．变量x，y满足
(1)设z1＝4x－3y，求z1的最大值；
(2)设z2＝，求z2的最小值；
(3)设z3＝x2＋y2，求z3的取值范围．
解：作出可行域如图中阴影部分所示，易得A，B(1,1)，
联立解得C(5,2)，
(1)z1＝4x－3y⇔y＝x－，易知平移直线y＝x至过点C时，z1最大，且最大值为4×5－3×2＝14.
(2)z2＝表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC斜率最小，故z2的最小值为.
(3)z3＝x2＋y2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB2