2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第十二章第三节合情推理与演绎推理
展开
第三节合情推理与演绎推理
一、基础知识批注——理解深一点
1．合情推理
(1)归纳推理
①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．
②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理
①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．
②特点：由特殊到特殊的推理．
类比推理的注意点
在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．
(3)合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
合情推理的关注点
(1)合情推理是合乎情理的推理．
(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向．
2．演绎推理
(1)演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． ↓
演绎推理：常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．
(2)合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．
三、基础小题强化——功底牢一点
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( )
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
(二)选一选
1．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )
A．an＝3n－1 B．an＝4n－3
C．an＝n2 D．an＝3n－1
解析：选C a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.
2．“因为指数函数y＝ax(a>0且a≠1)是增函数(大前提)，又y＝x是指数函数(小前提)，所以函数y＝x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )
A．大前提错误导致结论错
B．小前提错误导致结论错
C．推理形式错误导致结论错
D．大前提和小前提错误导致结论错
解析：选A 当a>1时，y＝ax为增函数；当00，
(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，
∵x10，f(x2)>f(x1)．
∴y＝f(x)为R上的单调增函数．
[典例] (2019·安徽示范高中联考)某参观团根据下列要求从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了( )
A．B，D两镇 B．A，B两镇
C．C，D两镇 D．A，C两镇
[解析] 假设去A镇，则也必须去B镇，但去B镇则不能去C镇，不去C镇则也不能去D镇，不去D镇则也不能去E镇，D，E镇都不去则不符合条件．故若去A镇则无法按要求完成参观．
同理，假设不去A镇去B镇，同样无法完成参观．要按照要求完成参观，一定不能去B镇，而不去B镇的前提是不去A镇．
故A，B两镇都不能去，则一定不能去E镇，所以能去的地方只有C，D两镇．故选C.
[答案] C
[解题技法] 逻辑推理问题求解的2种途径
求解此类推理性试题，要根据所涉及的人与物进行判断，通常有两种途径：
(1)根据条件直接进行推理判断；
(2)假设一种情况成立或不成立，然后以此为出发点，联系条件，判断是否与题设条件相符合．
[题组训练]
1．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．甲：“我不会证明．”乙：“丙会证明．”丙：“丁会证明．”丁：“我不会证明．”根据以上条件，可以判断会证明此题的人是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选A 四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，故选A.
2．(2019·大连模拟)甲、乙、丙、丁、戊和己6人围坐在一张正六边形的小桌前，每边各坐一人．已知：①甲与乙正面相对；②丙与丁不相邻，也不正面相对．若己与乙不相邻，则以下选项正确的是( )
A．若甲与戊相邻，则丁与己正面相对
B．甲与丁相邻
C．戊与己相邻
D．若丙与戊不相邻，则丙与己相邻
解析：选D 由题意可得到甲、乙位置的示意图如图(1)，因此，丙和丁的座位只可能是1和2,3和4,4和3,2和1，由己和乙不相邻可知，己只能在1或2，故丙和丁只能在3和4,4和3，示意图如图(2)和图(3)，由此可排除B、C两项．对于A项，若甲与戊相邻，则己与丁可能正面相对，也可能不正面相对，排除A.对于D项，若丙与戊不相邻，则戊只能在丙的对面，则己与丙相邻，正确．故选D.
图(1) 图(2) 图(3)
1．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是( )
①2 020能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③2 020是偶数．
A．①②③ B．②①③
C．②③① D．③②①
解析：选C 根据题意并按照演绎推理的三段论可知，大前提：一切偶数都能被2整除．小前提：2 020是偶数．结论：2 020能被2整除．所以正确的排列顺序是②③①.故选C.
2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
A．设数列{an}的前n项和为Sn.由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：Sn＝n2
B．由f(x)＝xcos x满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝xcos x为奇函数
C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆＋＝1(a＞b＞0)的面积S＝πab
D．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n
解析：选A 选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，其前n项和等于Sn＝＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．
3．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4，2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第
( )
A．22项 B．23项
C．24项 D．25项
解析：选C 由题意可知，两数的和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，所以为该列算式的第24项．故选C.
4．(2018·南宁摸底联考)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )
A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民
B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人
C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民
D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人
解析：选C 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.
5．若等差数列{an}的前n项之和为Sn，则一定有S2n－1＝(2n－1)an成立．若等比数列{bn}的前n项之积为Tn，类比等差数列的性质，则有( )
A．T2n－1＝(2n－1)＋bn B．T2n－1＝(2n－1)bn
C．T2n－1＝(2n－1)bn D．T2n－1＝b
解析：选D 在等差数列{an}中，a1＋a2n－1＝2an，
a2＋a2n－2＝2an, …，故有S2n－1＝(2n－1)an，
在等比数列{bn}中，b1b2n－1＝b，b2·b2n－2＝b，…，
故有T2n－1＝b1b2…b2n－1＝b.
6．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为( )
A．f(n)＝2n－1 B．f(n)＝2n2
C．f(n)＝2n2－2n D．f(n)＝2n2－2n＋1
解析：选D 因为f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.
7．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色：先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最近的4个连续偶数10,12,14,16；再染16后面最近的5个连续奇数17,19,21,23，25，…，按此规则一直染下去，得到一个红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 019个数是( )
A．3 971 B．3 972
C．3 973 D．3 974
解析：选D 按照染色步骤对数字进行分组．由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数，…，根据等差数列的前n项和公式，可知前n组共有个数．由于2 016＝＜2 019＜＝2 080，因此，第2 019个数是第64组的第3个数，由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，…，所以第n组最后一个数是n2，因此第63组最后一个数为632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972，第3个数为3 974，故选D.
8．观察下列等式：
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第n个等式为________．
解析：观察所给等式可知，每行最左侧的数分别为1,2,3，…，则第n行最左侧的数为n；每个等式左侧的数的个数分别为1,3,5，…，则第n个等式左侧的数的个数为2n－1，而第n个等式右侧为(2n－1)2，所以第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
9．(2018·上饶二模)二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度V＝12πr3，则其四维测度W＝________.
解析：∵二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l，三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S，∴四维空间中“特级球”的三维测度V＝12πr3，猜想其四维测度W满足W′＝V＝12πr3，∴W＝3πr4.
答案：3πr4
10．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ>0，{an}的通项公式是________________．
解析：a1＝2，a2＝2λ＋λ2＋(2－λ)·2＝λ2＋22，
a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)·22＝2λ3＋23，
a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)·23＝3λ4＋24.
由此猜想出数列{an}的通项公式为an＝(n－1)λn＋2n.
答案：an＝(n－1)λn＋2n
11．(2019·吉林实验中学测试)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率e等于________．
解析：类比“黄金椭圆”，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，
所以＝(c，b)，＝(－a，b)．
易知⊥，所以·＝b2－ac＝0，
所以c2－a2－ac＝0，即e2－e－1＝0，
又e＞1，所以e＝.
答案：
12．已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长，分别交对边于A′，B′，C′，则＋＋＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：
＋＋＝＋＋＝＝1.
请运用类比思想，对于空间中的四面体ABCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．
解：在四面体ABCD中，任取一点O，连接AO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于E，F，G，H点．
则＋＋＋＝1.
证明：在四面体OBCD与ABCD中，
＝＝＝.
同理有＝，＝，＝.
∴＋＋＋
＝＝＝1.
