2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第四章第三节三角函数的图象与性质

第三节三角函数的图象与性质
一、基础知识批注——理解深一点
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1).

函数y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
单
调
性
在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在(k∈Z)上是递增函数
周
期
性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是
对
称
性
对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(k∈Z)
对称中心是
(k∈Z)

三角函数性质的注意点
(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x无单调递减区间；y＝tan x在整个定义域内不单调．
(2)要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的形式，避免出现增减区间的混淆.


二、常用结论汇总——规律多一点

1．对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．

2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ (k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋ (k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
三、基础小题强化——功底牢一点

(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．(　　)
(2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴．(　　)
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　)
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)
(5)y＝sin|x|是偶函数．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　
(二)选一选
1．函数y＝tan 2x的定义域是(　　)
A. 　B.
C. D.
解析：选D　由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
所以y＝tan 2x的定义域是.
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
解析：选B　∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.
3．函数f(x)＝cos的单调递增区间为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由2kπ－π≤x＋≤2kπ(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ－(k∈Z)，又x∈[0，π]，所以令k＝1，f(x)的单调递增区间为.
(三)填一填
4．函数y＝3＋2sin的最大值为________，此时x＝________.
解析：函数y＝3＋2sin的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
答案：5　＋2kπ(k∈Z)
5．函数y＝sin的图象对称中心为________．
解析：令x－＝kπ，k∈Z，得函数图象的对称中心为，k∈Z.
答案：，k∈Z



第一课时　三角函数的单调性



[典例]　(2017·浙江高考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
[解]　(1)由题意，f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2＝－2sin，
故f＝－2sin＝－2sin ＝2.
(2)由(1)知f(x)＝－2sin.
则f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质，
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．

[解题技法]　求三角函数单调区间的2种方法
代换法
就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间
图象法
函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间

[题组训练]
1．函数y＝|tan x|在上的单调递减区间为________．
解析：

作出y＝|tan x|的示意图如图，观察图象可知，y＝|tan x|在上的单调递减区间为和.
答案：，
2．函数g(x)＝－cos的单调递增区间为________．
解析：g(x)＝－cos＝－cos，
欲求函数g(x)的单调递增区间，
只需求函数y＝cos的单调递减区间．
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
因为x∈，
所以函数g(x)的单调递增区间为，.
答案：，
3．(2019·金华适应性考试)已知函数f(x)＝cos 2x－2sin2(x－α)，其中0