2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第七章第一节不等式的性质

第一节不等式的性质





一、基础知识批注——理解深一点

1．两个实数比较大小的依据
(1)a－b＞0⇔a＞b.
(2)a－b＝0⇔a＝b.
(3)a－b＜0⇔a＜b.
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒ac；　　同向不等式可
相加，不能相减．
(3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc;  cb>0，c>d>0⇒ac>bd；　
(5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒> (n∈N，n≥2)．

二、常用结论汇总——规律多一点

1．倒数性质
(1)a>b，ab>0⇒0⇒>.
2．分数性质
若a>b>0，m>0，则
(1)真分数性质：(b－m>0)；
(2)假分数性质：>；0)．

三、基础小题强化——功底牢一点


(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则a>b.(　　)
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　)
(4)a>b>0，c>d⇒>.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

(二)选一选
1．若a
C．|a|>|b| D．a2>b2
解析：选A　取a＝－2，b＝－1，则>不成立．
2．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
3．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　)
A．M ＞N B．M ≥N
C．M＜N D．M≤N
解析：选A　因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M ＞N，故选A.
(三)填一填
4．若ab＜0，且a>b，则与的大小关系是________．
答案：＞
5．若－0　　　　　　　　 B．sin x－sin y>0
C.x－y0
(2)若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
[解析]　(1)因为－＝＜0，所以A错误；因为当x＝π，y＝时，sin x－sin y＜0，所以B错误；因为函数y＝ x在(0，＋∞)上单调递减，所以x＜y，即x－y＜0，所以C正确；因为当x＝1，y＝时，ln x＋ln y＜0，所以D错误．
(2)易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.
[答案]　(1)C　(2)＜
[解题技法]　比较大小的方法
(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
[题组训练]
1．已知a1，a2∈(0,1)，若M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．MN
C．M＝N D．不确定
解析：选B　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)．
∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，
∴a1－10.
∴M ＞N.
2．已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，则与的大小关系为
________．
解析：当q＝1时，＝3，＝5，所以＜.
当q＞0且q≠1时，
－＝－
＝＝＜0，
所以＜.
综上可知＜.
答案：＜


考法(一)　判断不等式是否成立
[典例]　(1)对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：
①若ac2>bc2，则a>b；
②若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；
③若a>b，c>d，则ac>bd；
④若a>b，则>.
其中正确的有(　　)
A．1个　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
(2)(2018·山西陵川一中期中)若ac>d时，不等式不成立．
④错误，令a＝－1，b＝－2，满足－1>－2，但bd，故选A.
[答案]　(1)B　(2)A

[解题技法]　判断不等式是否成立的方法
(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．
(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．
考法(二)　求代数式的取值范围
[典例]　已知－1