2021届高考物理人教版一轮创新教学案：第8讲　物体的动态平衡与临界极值问题


第8讲　物体的动态平衡与临界极值问题

能力命题点一　动态平衡问题


共点力的动态平衡问题是高考的重点、热点，主要考查动态平衡条件的应用，可以单独命题，也可与其他相关知识综合考查。物体从一个受力平衡状态到另一个平衡状态，一般题目中会出现“缓缓”“缓慢”“慢慢”等关键词，体现了“动”中有“静”，“静”中有“动”的思想。

(多选)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A的圆半径为球B的半径的3倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态。设墙壁对B的压力为F1，A对B的支持力为F2，则若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F1、F2的变化情况分别是(　　)

A．F1减小 B．F1增大
C．F2增大 D．F2减小
解析　解法一：解析法
以球B为研究对象，受力分析如图甲所示，根据合成法，可得出F1＝Gtanθ，F2＝，当A向右移动少许后，θ减小，则F1减小，F2减小，A、D正确。

解法二：图解法
先根据平衡条件和平行四边形定则画出如图乙所示的矢量三角形，在θ角减小的过程中，从图中可直观地看出，F1、F2都会减小，A、D正确。
答案　AD

解决动态平衡问题常见的方法
(1)解析法
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的一般函数表达式，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
(2)图解法
此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另外一个力方向不变的问题。一般按照以下流程解题。

(3)相似三角形法
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
(4)正弦定理法
三个力平衡时可以将三个力的图示组成一个闭合的三角形，如果知道一个恒力，以及其他力的对角的变化情况，可以根据正弦定理判断其他力的大小变化情况。

1.如图所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设球对墙面的压力大小为FN1，球对木板的压力大小为FN2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中(　　)

A．FN1始终减小，FN2始终增大
B．FN1始终减小，FN2始终减小
C．FN1先增大后减小，FN2始终减小
D．FN1先增大后减小，FN2先减小后增大
答案　B
解析　解法一：解析法
如图甲所示，因为FN1＝FN1′＝，FN2＝FN2′＝，随θ逐渐增大到90°，tanθ、sinθ都增大，FN1、FN2都逐渐减小，B正确。

解法二：图解法
如图乙所示，把mg按它的两个效果进行分解。在木板缓慢转动时，FN1的方向不变，mg、FN1、FN2构成一个闭合的矢量三角形，重力大小恒定，FN2始终垂直于木板，随木板的转动而转动，由图可知，在木板转动时，FN2变小，FN1也变小，B正确。
2.(2019·云南省大姚一中第二次模拟)(多选)如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆，A端用铰链固定，滑轮在A点正上方(滑轮大小及摩擦均可不计)，B端吊一重物。现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉，在AB杆达到竖直前(　　)

A．绳子拉力不变 B．绳子拉力减小
C．AB杆受力增大 D．AB杆受力不变
答案　BD
解析　以B点为研究对象，分析受力情况：重物的拉力FT1(等于重物的重力G)、轻杆的支持力FN和绳子的拉力FT2，作出受力图如图所示，由平衡条件得，FN和FT2的合力与FT1大小相等、方向相反，根据力的矢量三角形和△AOB相似可得：＝＝，又F＝FT2，解得：FN＝·G，F＝·G，∠BAO缓慢减小的过程中，AB、AO保持不变，BO减小，则FN保持不变，F减小，故B、D正确。

3．(2017·全国卷Ⅰ)(多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为αα>。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　)

A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
答案　AD
解析　设重物的质量为m，绳OM中的张力为TOM，绳MN中的张力为TMN。开始时，TOM＝mg，TMN＝0。由于缓慢拉起，则重物一直处于平衡状态，两绳张力的合力与重物的重力mg等大、反向。如图所示，已知角α不变，在绳MN缓慢拉起的过程中，角β逐渐增大，则角(α－β)逐渐减小，但角θ不变，在三角形中，利用正弦定理得：＝，(α－β)由钝角变为锐角，则TOM先增大后减小，选项D正确；同理知＝，在β由0变为的过程中，TMN一直增大，选项A正确。


能力命题点二　物体受力平衡中的临界与极值问题


1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般是指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3．解题思路
解决共点力平衡中的临界、极值问题的“四字诀”


如图所示，质量为m的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑，对物体施加一大小为F的水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角α0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：

(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)这一临界角α0的大小。
解析　(1)物体恰沿斜面匀速下滑时，由平衡条件有
FN1＝mgcos30°
mgsin30°＝μFN1
解得μ＝tan30°＝。
(2)设斜面倾角为α，当物体在力F作用下处于静止状态时，对物体受力分析如图所示，

由平衡条件有
Fcosα＝mgsinα＋Ff
FN2＝mgcosα＋Fsinα
静摩擦力Ff≤μFN2
解得F(cosα－μsinα)≤mgsinα＋μmgcosα
要使“不论水平恒力F多大”，上式都成立
则有cosα－μsinα≤0，所以tanα≥＝＝tan60°
即α0＝60°。
答案　(1)　(2)60°

解决极值问题和临界问题的方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。
(2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
(3)物理分析法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则或三角形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。

1．如图所示，在固定斜面上的一物块受到一外力F的作用，F平行于斜面向上。若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2(F2>0)。由此可求出(　　)

A．物块的质量
B．斜面的倾角
C．物块与斜面间的最大静摩擦力
D．物块对斜面的正压力
答案　C
解析　物块在斜面上处于静止状态，对物块进行受力分析，当F＝F1时物块即将向上滑动，由平衡条件可得F1＝mgsinθ＋Ff；当F＝F2时物块即将向下滑动，由平衡条件可得F2＝mgsinθ－Ff；由两式解得Ff＝，故能求出物块与斜面间的最大静摩擦力，但不能求出物块的质量、斜面的倾角和物块对斜面的正压力，故C正确。
2．如图所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，用光滑挡板AO将球挡住，使球处于静止状态，若挡板与斜面间的夹角为β，则(　　)

A．当β＝30°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mgsinα
B．当β＝60°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mgcosα
C．当β＝60°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mgsinα
D．当β＝90°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mgsinα
答案　D
解析　以球为研究对象，球所受重力产生的效果有两个：对斜面产生压力FN1、对挡板产生压力FN2，根据重力产生的效果将重力分解，如图所示。当挡板与斜面的夹角β由图示位置变化时，FN1大小改变但方向不变，始终与斜面垂直，FN2的大小和方向均改变，由图可看出当挡板AO与斜面垂直，即β＝90°时，挡板AO所受压力最小，最小压力FN2min＝mgsinα，D正确。


课时作业


1.(多选)如图所示，一条细线一端与地板上的物体B相连，另一端绕过质量不计的定滑轮与小球A相连，定滑轮用另一条细线悬挂在天花板上的O′点，细线与竖直方向所成角度为α，开始时系统静止，则(　　)

A．如果将物体B在地板上向右移动一点，α角将增大
B．无论物体B在地板上左移还是右移，只要距离足够小，α角将不变
C．增大小球A的质量，α角一定减小
D．悬挂定滑轮的细线的弹力不可能等于小球A的重力
答案　AD
解析　对小球A进行受力分析，受重力和拉力，根据平衡条件，有T＝mg，如果将物体B在地板上向右移动稍许，则∠AOB增大，对滑轮分析，受三个拉力，受力分析如图所示，∠AOB＝2α，故α角将增大，A正确，B错误；增大小球A的质量，物体B可能仍保持不动，系统平衡，拉力的方向不变，故α角可能不变，C错误；由于∠AOB＝2α