2021高考物理人教版一轮复习学案作业：第十三章专题强化十五应用气体实验定律解决“三类模型”问题

专题强化十五　应用气体实验定律解决“三类模型”问题
专题解读 1.本专题是气体实验定律在玻璃管液封模型、汽缸活塞类模型、变质量气体模型中的应用，高考在选考模块中通常以计算题的形式命题．
2．学好本专题可以帮助同学们熟练地选取研究对象和状态变化过程，掌握处理“三类模型”问题的基本思路和方法．
3．本专题用到的相关知识和方法有：受力分析、压强的求解方法、气体实验定律等．

1．气体实验定律
(1)玻意耳定律(等温变化)：p1V1＝p2V2或pV＝C(常数)．
(2)查理定律(等容变化)：＝或＝C(常数)．
(3)盖—吕萨克定律(等压变化)：＝或＝C(常数)．
2．解题基本思路

3．玻璃管液封模型
求液柱封闭的气体压强时，一般以液柱为研究对象分析受力、列平衡方程，要注意：
(1)液体因重力产生的压强大小为p＝ρgh(其中h为液面的竖直高度)；
(2)不要漏掉大气压强，同时又要尽可能平衡掉某些大气的压力；
(3)有时可直接应用连通器原理——连通器内静止的液体，同种液体在同一水平面上各处压强相等；
(4)当液体为水银时，可灵活应用压强单位“cmHg”等，使计算过程简捷．

类型1　单独气体问题

例1　(2019·全国卷Ⅲ·33(2))如图1，一粗细均匀的细管开口向上竖直放置，管内有一段高度为2.0 cm的水银柱，水银柱下密封了一定量的理想气体，水银柱上表面到管口的距离为2.0 cm.若将细管倒置，水银柱下表面恰好位于管口处，且无水银滴落，管内气体温度与环境温度相同．已知大气压强为76 cmHg，环境温度为296 K.

图1
(1)求细管的长度；
(2)若在倒置前，缓慢加热管内被密封的气体，直到水银柱的上表面恰好与管口平齐为止，求此时密封气体的温度．
答案　(1)41 cm　(2)312 K
解析　(1)设细管的长度为L，横截面的面积为S，水银柱高度为h；初始时，设水银柱上表面到管口的距离为h1，被密封气体的体积为V，压强为p；细管倒置时，被密封气体的体积为V1，压强为p1.由玻意耳定律有
pV＝p1V1①
由力的平衡条件有
p＝p0＋ρgh②
p1＝p0－ρgh③
式中，ρ、g分别为水银的密度和重力加速度的大小，p0为大气压强．由题意有
V＝S(L－h1－h)④
V1＝S(L－h)⑤
由①②③④⑤式和题给条件得
L＝41 cm⑥
(2)设气体被加热前后的温度分别为T0和T，由盖－吕萨克定律有
＝⑦
由④⑤⑥⑦式和题给数据得T＝312 K.

类型2　关联气体问题

例2　(2018·全国卷Ⅲ·33(2))如图2所示，在两端封闭、粗细均匀的U形细玻璃管内有一段水银柱，水银柱的两端各封闭有一段空气．当U形管两端竖直朝上时，左、右两边空气柱的长度分别为l1＝18.0 cm和l2＝12.0 cm，左边气体的压强为12.0 cmHg.现将U形管缓慢平放在水平桌面上，没有气体从管的一边通过水银逸入另一边．求U形管平放时两边空气柱的长度．(在整个过程中，气体温度不变)

图2
答案　22.5 cm　7.5 cm
解析　设U形管两端竖直朝上时，左、右两边气体的压强分别为p1和p2.U形管水平放置时，两边气体压强相等，
设为p.

此时原左、右两边气柱长度分别变为l1′和l2′.由力的平衡条件有p1＝p2＋ρg(l1－l2)①
式中ρ为水银密度，g为重力加速度大小．
由玻意耳定律有
p1l1＝pl1′②
p2l2＝pl2′③
两边气柱长度的变化量大小相等
l1′－l1＝l2－l2′④
由①②③④式和题给条件得
l1′＝22.5 cm
l2′＝7.5 cm.
变式1　(2019·湖北天门、仙桃等八市第二次联考)横截面积处处相同的U形玻璃管竖直放置，左端封闭，右端开口．初始时，右端管内用h1＝4 cm的水银柱封闭一段长为L1＝9 cm的空气柱A，左端管内用水银封闭有长为L2＝14 cm的空气柱B，这段水银柱左右两液面高度差为h2＝8 cm，如图3甲所示．
已知大气压强p0＝76.0 cmHg，环境温度不变．

图3
(1)求初始时空气柱B的压强(以cmHg为单位)；
(2)若将玻璃管缓慢旋转180°，使U形管竖直倒置(水银未混合未溢出)，如图乙所示．当管中水银静止时，求左右两水银柱液面高度差h3.
答案　(1)72 cmHg　(2)12 cm
解析　(1)初始时，空气柱A的压强为pA＝p0＋ρgh1
而pB＋ρgh2＝pA
联立解得空气柱B的压强为pB＝72 cmHg；
(2)U形管倒置后，空气柱A的压强为pA′＝p0－ρgh1
空气柱B的压强为pB′＝pA′＋ρgh3
空气柱B的长度L2′＝L2－
由玻意耳定律可得pBL2＝pB′L2′
联立解得h3＝12 cm.

1．一般思路
(1)确定研究对象，一般地说，研究对象分两类：一类是热学研究对象(一定质量的理想气体)；另一类是力学研究对象(汽缸、活塞或某系统)．
(2)分析物理过程，对热学研究对象分析清楚初、末状态及状态变化过程，依据气体实验定律列出方程；对力学研究对象要正确地进行受力分析，依据力学规律列出方程．
(3)挖掘题目的隐含条件，如几何关系等，列出辅助方程．
(4)多个方程联立求解．对求解的结果注意检验它们的合理性．
2．常见类型
(1)气体系统处于平衡状态，需综合应用气体实验定律和物体的平衡条件解题．
(2)气体系统处于力学非平衡状态，需要综合应用气体实验定律和牛顿运动定律解题．
(3)两个或多个汽缸封闭着几部分气体，并且汽缸之间相互关联的问题，解答时应分别研究各部分气体，找出它们各自遵循的规律，并写出相应的方程，还要写出各部分气体之间压强或体积的关系式，最后联立求解．

类型1　单独气体问题

例3　(2018·全国卷Ⅱ·33(2))如图4，一竖直放置的汽缸上端开口，汽缸壁内有卡口a和b，a、b间距为h，a距缸底的高度为H；活塞只能在a、b间移动，其下方密封有一定质量的理想气体．已知活塞质量为m，面积为S，厚度可忽略；活塞和汽缸壁均绝热，不计它们之间的摩擦．开始时活塞处于静止状态，上、下方气体压强均为p0，温度均为T0.现用电热丝缓慢加热汽缸中的气体，直至活塞刚好到达b处．求此时汽缸内气体的温度以及在此过程中气体对外所做的功．(重力加速度大小为g)

图4
答案　T0　(p0S＋mg)h
解析　开始时活塞位于a处，加热后，汽缸中的气体先经历等容过程，直至活塞开始运动．设此时汽缸中气体的温度为T1，压强为p1，根据查理定律有
＝①
根据力的平衡条件有
p1S＝p0S＋mg②
联立①②式可得
T1＝T0③
此后，汽缸中的气体经历等压过程，直至活塞刚好到达b处，设此时汽缸中气体的温度为T2；活塞位于a处和b处时气体的体积分别为V1和V2.根据盖—吕萨克定律有
＝④
式中
V1＝SH⑤
V2＝S(H＋h)⑥
联立③④⑤⑥式解得
T2＝T0⑦
从开始加热到活塞到达b处的过程中，汽缸中的气体对外做的功为
W＝(p0S＋mg)h.

类型2　关联气体问题

例4　(2019·全国卷Ⅱ·33(2))如图5，一容器由横截面积分别为2S和S的两个汽缸连通而成，容器平放在水平地面上，汽缸内壁光滑．整个容器被通过刚性杆连接的两活塞分隔成三部分，分别充有氢气、空气和氮气．平衡时，氮气的压强和体积分别为p0和V0，氢气的体积为2V0，空气的压强为p.现缓慢地将中部的空气全部抽出，抽气过程中氢气和氮气的温度保持不变，活塞没有到达两汽缸的连接处，求：
(1)抽气前氢气的压强；
(2)抽气后氢气的压强和体积．

图5
答案　(1)(p0＋p)　(2)p0＋p　
解析　(1)设抽气前氢气的压强为p10，根据力的平衡条件得(p10－p)·2S＝(p0－p)·S①
得p10＝(p0＋p)；②
(2)设抽气后氢气的压强和体积分别为p1和V1，氮气的压强和体积分别为p2和V2，根据力的平衡条件有p2·S＝p1·2S③
抽气过程中氢气和氮气的温度保持不变，
则由玻意耳定律得p1V1＝p10·2V0④
p2V2＝p0V0⑤
由于两活塞用刚性杆连接，故
V1－2V0＝2(V0－V2)⑥
联立②③④⑤⑥式解得
p1＝p0＋p
V1＝.
变式2　(2019·福建龙岩市3月质量检查)如图6所示，在固定的汽缸A和B中分别用活塞封闭一定质量的理想气体，活塞面积之比为SA∶SB＝1∶2，两活塞与穿过B汽缸底部的刚性细杆相连，活塞与汽缸、细杆与汽缸间摩擦不计且不漏气．初始时，A、B中气体的体积皆为V0，A中气体压强pA＝1.5p0，p0是汽缸外的大气压强(保持不变)．现对A中气体缓慢加热，并保持B中气体的温度不变，当A中气体的压强增大到pA′＝2p0时，求B中气体的体积VB.

图6
答案　1.5V0
解析　对活塞受力分析，由平衡条件得
pASA＋pBSB＝p0(SA＋SB)
pA′SA＋pB′SB＝p0(SA＋SB)
已知SB＝2SA，pA＝1.5p0
可得pB＝p0，pB′＝p0
对B中的气体，由玻意耳定律得：pBV0＝pB′VB
解得：VB＝1.5V0.
例5　(2018·全国卷Ⅰ·33(2))如图7，容积为V的汽缸由导热材料制成，面积为S的活塞将汽缸分成容积相等的上下两部分，汽缸上部通过细管与装有某种液体的容器相连，细管上有一阀门K.开始时，K关闭，汽缸内上下两部分气体的压强均为p0.现将K打开，容器内的液体缓慢地流入汽缸，当流入的液体体积为时，将K关闭，活塞平衡时其下方气体的体积减小了.不计活塞的质量和体积，外界温度保持不变，重力加速度大小为g.求流入汽缸内液体的质量．

图7
答案　
解析　设活塞再次平衡后，活塞上方气体的体积为V1，压强为p1，下方气体的体积为V2，压强为p2.在活塞下移的过程中，活塞上、下方气体的温度均保持不变，由玻意耳定律得
p0·＝p1V1
p0·＝p2V2
由已知条件得
V1＝＋－＝V
V2＝－＝
设流入汽缸内液体的质量为m，由力的平衡条件得
p2S＝p1S＋mg
联立以上各式得
m＝.
变式3　(2019·河南郑州市第二次质量检测)如图8所示，一个内壁光滑的汽缸竖直放置，其侧壁绝热，内有两个厚度不计的密闭活塞，将缸内理想气体分成Ⅰ、Ⅱ两部分．活塞A导热且质量不计，活塞B绝热，质量为m＝10 kg.初状态整个装置静止不动且处于平衡状态，Ⅰ、Ⅱ两部分气体的高度均为l0＝12 cm，温度为T0＝300 K．现保持环境温度、外界大气压强不变，通过汽缸的导热底面给Ⅱ气体加热至T＝600 K，同时在活塞A上逐渐添加细砂，保持活塞B的位置始终不变，最终活塞A下降的高度为h(未知)时，两部分气体重新处于平衡．已知外界大气压强p0＝1×105 Pa，活塞横截面积S＝1.0×10－3 m2，g＝10 m/s2.试求：
(1)最终气体平衡时，Ⅱ气体的压强；
(2)活塞A下降的高度h.

图8
答案　(1)4×105 Pa　(2)8 cm
解析　(1)初状态时，设气体Ⅰ的压强为p1，因活塞A质量不计，则
p1＝p0＝1.0×105 Pa
初状态时，设气体Ⅱ的压强为p2，以活塞B为研究对象，由平衡条件知
p2S＝p1S＋mg
得p2＝2×105 Pa
活塞B位置始终不变，则气体Ⅱ体积不变
对气体Ⅱ由查理定律有＝
解得p2′＝4×105 Pa.
(2)末状态时，以活塞B为研究对象，由平衡条件知
p2′S＝p1′S＋mg
得p1′＝3×105 Pa
对气体Ⅰ，由玻意耳定律有p1V1＝p1′V1′
又V1＝Sl0，V1′＝S(l0－h)
联立解得h＝8 cm.


1．打气问题：
选择原有气体和即将充入的气体作为研究对象，就可把充气过程中气体质量变化问题转化为定质量气体的状态变化问题．
2．抽气问题：
将每次抽气过程中抽出的气体和剩余气体作为研究对象，质量不变，故抽气过程可以看成是等温膨胀过程．
3．灌气问题：
把大容器中的剩余气体和多个小容器中的气体整体作为研究对象，可将变质量问题转化为定质量问题．
4．漏气问题：
选容器内剩余气体和漏出气体整体作为研究对象，便可使问题变成一定质量气体的状态变化，可用理想气体的状态方程求解．
例6　(2019·全国卷Ⅰ·33(2))热等静压设备广泛应用于材料加工中．该设备工作时，先在室温下把惰性气体用压缩机压入到一个预抽真空的炉腔中，然后炉腔升温，利用高温高气压环境对放入炉腔中的材料加工处理，改善其性能．一台热等静压设备的炉腔中某次放入固体材料后剩余的容积为0.13 m3，炉腔抽真空后，在室温下用压缩机将10瓶氩气压入到炉腔中．已知每瓶氩气的容积为3.2×10－2 m3，使用前瓶中气体压强为1.5×107 Pa，使用后瓶中剩余气体压强为2.0×106 Pa；室温温度为27 ℃.氩气可视为理想气体．
(1)求压入氩气后炉腔中气体在室温下的压强；
(2)将压入氩气后的炉腔加热到1 227 ℃，求此时炉腔中气体的压强．
答案　(1)3.2×107 Pa　(2)1.6×108 Pa
解析　(1)设初始时每瓶气体的体积为V0，压强为p0；使用后瓶中剩余气体的压强为p1.假设体积为V0、压强为p0的气体压强变为p1时，其体积膨胀为V1.由玻意耳定律得：p0V0＝p1V1①
被压入炉腔的气体在室温和p1条件下的体积为：V1′＝V1－V0②
设10瓶气体压入完成后炉腔中气体在室温下的压强为p2，体积为V2，
由玻意耳定律：p2V2＝10p1V1′③
联立①②③式并代入题给数据得：p2＝3.2×107 Pa④
(2)设加热前炉腔的温度为T0，加热后炉腔的温度为T1，气体压强为p3，由查理定律得：＝⑤
联立④⑤式并代入题给数据得：p3＝1.6×108 Pa.
变式6　(2019·四川成都市第二次诊断)如图9所示为一个带有阀门K、容积为2 dm3的容器(容积不可改变)．先打开阀门让其与大气连通，再用打气筒向里面打气，打气筒活塞每次可以打进1×105 Pa、200 cm3的空气，忽略打气和用气时气体的温度变化．(设外界大气的压强p0＝1×105 Pa)
(1)若要使气体压强增大到5.0×105 Pa，应打多少次气？
(2)若上述容器中装的是5.0×105 Pa的氧气，现用它给容积为0.7 dm3的真空瓶充气，使瓶中的气压最终达到符合标准的2.0×105 Pa，则可充满多少瓶？

图9
答案　(1)40次　(2)4瓶
解析　(1)设需要打气n次，因每次打入的气体相同，故可视n次打入的气体一次性打入，
则气体的初状态：p1＝1.0×105 Pa，V1＝V0＋nΔV
末状态：p2＝5.0×105 Pa，V2＝V0
其中：V0＝2 dm3，ΔV＝0.2 dm3
由玻意耳定律：p1V1＝p2V2
代入数据解得：n＝40.
(2)设气压为p3＝2.0×105 Pa时氧气的体积为V3
由玻意耳定律有：p2V2＝p3V3
代入数据解得：V3＝5 dm3
真空瓶的容积为V瓶＝0.7 dm3
因：＝4
故可充满4瓶．

1．(2017·全国卷Ⅲ·33(2))一种测量稀薄气体压强的仪器如图1(a)所示，玻璃泡M的上端和下端分别连通两竖直玻璃细管K1和K2.K1长为l，顶端封闭，K2上端与待测气体连通；M下端经橡皮软管与充有水银的容器R连通．开始测量时，M与K2相通；逐渐提升R，直到K2中水银面与K1顶端等高，此时水银已进入K1，且K1中水银面比顶端低h，如图(b)所示．设测量过程中温度、与K2相通的待测气体的压强均保持不变．已知K1和K2的内径均为d，M的容积为V0，水银的密度为ρ，重力加速度大小为g.求：

图1
(1)待测气体的压强；
(2)该仪器能够测量的最大压强．
答案　(1)　(2)
解析　(1)水银面上升至M的下端使玻璃泡中气体恰好被封住，设此时被封闭的气体的体积为V，压强等于待测气体的压强p；提升R，直到K2中水银面与K1顶端等高时，K1中水银面比顶端低h，设此时封闭气体的压强为p1，体积为V1，则
V＝V0＋πd2l①
V1＝πd2h②
由力学平衡条件得
p1＝p＋ρgh③
整个过程为等温过程，由玻意耳定律得
pV＝p1V1④
联立①②③④式得
p＝⑤
(2)由题意知
h≤l⑥
联立⑤⑥式有
p≤
则该仪器能够测量的最大压强为
pmax＝.
2.(2019·福建三明市5月质量检查)如图2，容积为V的密闭导热氮气瓶，通过单向阀门K(气体只能进入容器，不能流出容器)与一充气装置相连接．开始时氮气瓶存放在冷库内，瓶内气体的压强为0.9p0、温度与冷库内温度相同，现将氮气瓶移至冷库外，稳定后瓶内气体压强变为p0，再用充气装置向瓶内缓慢充入氮气共45次．已知每次充入的气体压强为p0、体积为、温度为27 ℃.设冷库外的环境温度保持27 ℃不变．求：
(1)冷库内的温度；
(2)充气结束后，瓶内气体压强．

图2
答案　(1)270 K(或－3 ℃)　(2)4p0
解析　(1)因氮气瓶导热，瓶内气体温度与所处环境温度相同，设存于冷库中时，瓶内气体压强为p1，温度为T1，移至冷库外后，瓶内气体压强为p0，温度为T2＝300 K
由查理定律，有：＝
代入数据得：T1＝270 K，
即冷库内的温度为270 K或－3 ℃.
(2)打气前，瓶内气体及所打入的气体压强均为p0，总体积：V2＝V＋45×＝4V
充气结束后，气体压强为p3，体积为V3＝V
气体温度不变，由玻意耳定律，有：p0V2＝p3V3
解得：p3＝4p0.
3．(2019·山东烟台市下学期高考诊断)如图3所示，一水平放置的固定汽缸，由横截面积不同的两个足够长的圆筒连接而成，活塞A、B可以在圆筒内无摩擦地左右滑动，它们的横截面积分别为SA＝30 cm2、SB＝15 cm2，A、B之间用一根长为L＝3 m的细杆连接．A、B之间封闭着一定质量的理想气体，活塞A的左方和活塞B的右方都是空气，大气压强始终保持不变，为p0＝1.0×105 Pa.活塞B的中心连一根不可伸长的细线，细线的另一端固定在墙上，当汽缸内气体温度为T1＝540 K时，活塞B与两圆筒连接处相距l＝1 m，此时细线中的张力为F＝30 N.

图3
(1)求此时汽缸内被封闭气体的压强；
(2)若缓慢改变汽缸内被封闭气体的温度，则温度为多少时活塞A恰好移动到两圆筒连接处？
答案　(1)1.2×105 Pa　(2)270 K
解析　(1)设汽缸内气体压强为p1，由题意知活塞B所受细线拉力F1＝F＝30 N，活塞A、B及细杆整体受力平衡，知p0SA－p1SA＋p1SB－p0SB＋F1＝0，又SA＝2SB
解得：p1＝p0＋
代入数据得p1＝1.2×105 Pa.
(2)设温度为T2时，活塞A恰好到达两圆筒连接处，此时，气体压强p2＝p0
又V1＝SA(L－l)＋SBl
V2＝SBL
由理想气体状态方程得：＝
解得：T2＝270 K.
4．(2019·云南大姚县一中一模)如图4，粗细均匀的U形管竖直放置，右端封闭，左管内有一个重力和摩擦都不计的活塞，管内水银把气体分隔成A、B两部分．当大气压强为p0＝75 cmHg，温度为t0＝27 ℃时，管内水银面在同一高度，两部分气体的长度均为L0＝30 cm.(计算结果均保留三位有效数字)

图4
(1)现向上缓慢拉动活塞，使两管内水银面高度差为h＝10 cm，求活塞上升的高度L；
(2)然后固定活塞，再仅对左管气体加热，使A部分气体温度升高．则当左管内气体温度为多少摄氏度时，方可使右管内水银面回到原来的位置．
答案　(1)16.4 cm　(2)191 ℃
解析　(1)设活塞的横截面积为S，温度不变，对B管气体：
p0L0S＝p2(L0＋0.5h)S
可得：p2≈64.3 cmHg
对A管气体：
p0L0S＝(p2－ph)L1S
解得：L1≈41.4 cm
L＝L1－(L0－0.5h)＝16.4 cm.
(2)为使右管内水银面回到原来位置，A管气体的压强应为p0，长度应为L1＋0.5h；
由理想气体状态方程得：＝
代入数据可得：T＝464 K
所以：t＝191 ℃.
5．(2019·辽宁大连市第二次模拟)某兴趣小组受“蛟龙号”的启发，设计了一个测定水深的深度计．如图5所示，导热性能良好的汽缸Ⅰ、Ⅱ，内径相同，长度均为L，内部分别有轻质薄活塞A、B，活塞密封性良好且可无摩擦地左右滑动．汽缸Ⅰ左端开口，通过A封有压强为p0的气体，汽缸Ⅱ通过B封有压强为3p0的气体．一细管连通两汽缸，初始状态A、B均位于汽缸最左端．该装置放入水下后，通过A向右移动的距离可测定水的深度，已知外界大气压强为p0，p0相当于10 m高的水产生的压强，不计水温变化，被封闭气体视为理想气体．求：

图5
(1)当活塞A向右移动时，水的深度；
(2)该深度计能测量的最大水深．
答案　(1)2.5 m　(2)30 m
解析　(1)A右移时，假设B不动，Ⅰ内气体等温变化，有：p0SL＝p1S(L－)
解得p1＝p0<3p0，假设成立
由p1＝p0＋ph可得：h＝2.5 m.
(2)当活塞A恰好移动到汽缸Ⅰ的最右端时所测水深最大，设此时活塞B右移了x
两部分气体压强相等，设为p2
对Ⅰ内气体应用玻意耳定律可得：p0SL＝p2Sx
对Ⅱ内气体应用玻意耳定律可得：3p0SL＝p2S(L－x)
联立解得：x＝，p2＝4p0
由p2＝p0＋phmax可得：hmax＝30 m.
6．(2019·安徽蚌埠市第二次质检)如图6所示，固定的两个汽缸A、B处于水平方向，一根刚性水平轻杆两端分别与两汽缸的绝热活塞固定，A、B汽缸中均封闭一定量的理想气体．已知A是导热汽缸，B是绝热汽缸，两个活塞的面积SA＝2S、SB＝S，开始时两气柱长度均为L，压强均等于大气压强p0，温度均为T0.忽略两活塞与汽缸壁之间的摩擦，且不漏气．现通过电热丝对汽缸B中的气体缓慢加热，使两活塞向左缓慢移动L的距离后稳定，求此时：

图6
(1)汽缸A中气体的压强；
(2)汽缸B中气体的温度．
答案　(1)2p0　(2)T0
解析　(1)汽缸A中气体发生等温变化，由玻意耳定律可得：p0(L·2S)＝p1(×2S)
解得：p1＝2p0
(2)分析两活塞的受力情况，由平衡知识可得：(p1－p0)2S＝(p2－p0)S
由理想气体状态方程可得：＝
联立解得：T＝T0.