2021版人教版高三物理一轮复习基础梳理：第三章　小专题三传送带模型中的动力学问题

小专题三　传送带模型中的动力学问题

因物体与传送带间的动摩擦因数、斜面倾角、传送带速度、传送方向、滑块初速度的大小和方向的不同,传送带问题往往存在多种可能,因此对传送带问题作出准确的动力学过程分析,是解决此类问题的关键。

下面介绍两种常见的传送带模型:

1.水平传送带模型

2.倾斜传送带模型

[典例1] 水平传送带被广泛地应用于机场和车站,如图所示为一水平传送带装置示意图。紧绷的传送带AB始终保持恒定的速率v=1 m/s运行。一质量为m=4 kg的行李无初速度地放在A处,传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动,随后行李又以与传送带相等的速率做匀速直线运动。设行李与传送带之间的动摩擦因数μ=0.1,A,B间的距离L=2 m,g取10 m/s2。

(1)求行李刚开始运动时所受滑动摩擦力的大小与加速度的大小;

(2)求行李做匀加速直线运动的时间;

(3)如果提高传送带的运行速率,行李就能被较快地传送到B处,求行李从A处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率。

解析:

(1)行李刚开始运动时,受力如图所示,

滑动摩擦力

Ff=μmg=4 N

由牛顿第二定律得Ff=ma

解得a=1 m/s2。

(2)行李达到与传送带相同速率后匀速运动,

则v=at

解得t==1 s。

(3)行李始终匀加速运动的运行时间最短,且加速度仍为a= 1 m/s2,当行李到达右端时,有=2aL

解得vmin==2 m/s

故传送带的最小运行速率为2 m/s

行李运行的最短时间tmin==2 s。

答案:(1)4 N　1 m/s2　(2)1 s　(3)2 s　2 m/s

变式1:如图所示,水平匀速转动的传送带左右两端相距L=3.5 m,物块A以水平速度v0=4 m/s滑上传送带左端,物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.1,设A到达传送带右端时的瞬时速度为v,g取10 m/s2,下列说法正确的是(　D　)

A.若传送带速度等于2 m/s,物块可能先减速运动,后匀速运动

B.若传送带速度等于3.5 m/s,v一定等于3 m/s

C.若v等于3 m/s,传送带一定沿逆时针方向转动

D.若v等于3 m/s,传送带可能沿顺时针方向转动

解析:物块匀减速直线运动的加速度大小a=μg=1 m/s2,根据v2-=2aL得物块到达传送带右端时v=3 m/s,知传送带的速度等于2 m/s时,则物块一直做匀减速直线运动;当传送带速度等于3.5 m/s时,若传送带顺时针方向转动,物块就先做匀减速直线运动,再做匀速直线运动,到达右端的速度大小为3.5 m/s;若v=3 m/s,传送带可能做逆时针转动,也可能做顺时针运动,逆时针转动时速度多大都可以,顺时针转动时,传送带速度需小于等于3 m/s。

[典例2] 如图所示,倾角为37°,长为l=16 m的传送带,转动速度为v=10 m/s,动摩擦因数μ=0.5,在传送带顶端A处无初速度地释放一个质量为m=0.5 kg的物体。已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g=10 m/s2。求:

(1)传送带顺时针转动时,物体从顶端A滑到底端B的时间;

(2)传送带逆时针转动时,物体从顶端A滑到底端B的时间。

解析:(1)传送带顺时针转动时,物体相对传送带向下运动,则物体所受滑动摩擦力沿斜面向上,相对传送带向下匀加速运动,根据牛顿第二定律有

mgsin 37°-μmgcos 37°=ma

则a=gsin 37°-μgcos 37°=2 m/s2

根据l=at2得t=4 s。

(2)传送带逆时针转动,当物体下滑速度小于传送带转动速度时,物体相对传送带向上运动,则物体所受滑动摩擦力沿传送带向下,设物体的加速度大小为a1,由牛顿第二定律得

mgsin 37°+μmgcos 37°=ma1

则有a1==10 m/s2

设当物体运动速度等于传送带转动速度时经历的时间为t1,位移为x1,

则有t1== s=1 s,

x1=a1=5 m<l=16 m

当物体运动速度等于传送带速度瞬间,有mgsin 37°>μmgcos 37°,则下一时刻物体相对传送带向下运动,受到传送带向上的滑动摩擦力——摩擦力发生突变。设当物体下滑速度大于传送带转动速度时物体的加速度为a2,则

a2==2 m/s2

x2=l-x1=11 m

又因为x2=vt2+a2,则有10t2+=11

解得t2=1 s(t2=-11 s舍去)

所以t总=t1+t2=2 s。

答案:(1)4 s　(2)2 s

变式2:如图所示,以速度v0逆时针匀速转动的足够长的传送带与水平面的夹角为θ。现将一个质量为m的小木块轻轻地放在传送带的上端,小木块与传送带间的动摩擦因数为μ,则图中能够正确地描述小木块的速度随时间变化关系的图线可能是(　C　)

解析:小木块放上后先向下加速运动,由于传送带足够长,所以某时刻木块速度等于传送带速度,此时若重力沿传送带向下的分力大于最大静摩擦力,则之后木块继续加速,但加速度变小;若重力沿传送带向下的分力小于或等于最大静摩擦力,则木块将随传送带匀速运动;故选项C正确。

1.(水平传送带)如图所示,一质量为m的小物体以一定的速率v0滑到水平传送带上左端的A点,当传送带始终静止时,已知物体能滑过右端的B点,经过的时间为t0,则下列判断正确的是(　A　)

A.若传送带逆时针方向运行且保持速率不变,则物体也能滑过B点,且用时为t0

B.若传送带逆时针方向运行且保持速率不变,则物体可能先向右做匀减速运动直到速度减为零,然后向左加速,因此不能滑过B点

C.若传送带顺时针方向运行,当其运行速率(保持不变)v=v0时,物体将一直做匀速运动滑过B点,用时为t0

D.若传送带顺时针方向运行,当其运行速率(保持不变)v>v0时,物体一定向右一直做匀加速运动滑过B点,用时一定小于t0

解析:传送带静止时,有m-m=-μmgL,即vB=,物体做减速运动,若传送带逆时针运行,物体仍受向左的摩擦力μmg,同样由上式分析,一定能匀减速至右端,速度为vB,不会为零,用时也一定仍为t0,故选项A正确,B错误;若传送带顺时针方向运行,当其运行速率(保持不变)v=v0时,物体将不受摩擦力的作用,一直做匀速运动滑至B端,因为匀速通过,故用时一定小于t0,故选项C错误;若传送带顺时针方向运行,当其运行速率(保持不变)v>v0时,开始物体受到向右的摩擦力的作用,做加速运动,运动有两种可能:若物体速度加速到v还未到达B端时,则先匀加速后匀速运动,若物体速度一直未加速到v时,则一直做匀加速运动,故选项D错误。

2.(倾斜传送带)如图所示,绷紧的传送带,始终以2 m/s的速度匀速斜向上运行,传送带与水平方向间的夹角θ=30°。现把质量为10 kg的工件轻轻地放在传送带底端P处,由传送带传送至顶端Q处。已知P,Q之间的距离为4 m,工件与传送带间的动摩擦因数为μ=,取g=10 m/s2。

(1)通过计算说明工件在传送带上做什么运动;

(2)求工件从P点运动到Q点所用的时间。

解析:(1)工件受重力、摩擦力、支持力共同作用,摩擦力为动力,由牛顿第二定律得

μmgcos θ-mgsin θ=ma

代入数值得a=2.5 m/s2

则其速度达到传送带速度时发生的位移为

x1== m=0.8 m<4 m

可见工件先匀加速运动0.8 m,然后匀速运动3.2 m。

(2)匀加速时,由x1=t1得t1=0.8 s

匀速上升时t2== s=1.6 s

所以工件从P点运动到Q点所用的时间为

t=t1+t2=2.4 s。

答案:(1)先匀加速运动0.8 m,然后匀速运动3.2 m

(2)2.4 s

3.(水平传送带上不同物体的运动问题)如图甲所示,水平传送带沿顺时针方向匀速运转。从传送带左端P先后由静止轻轻放上三个物体A,B,C,物体A经tA=9.5 s到达传送带另一端Q,物体B经tB=10 s到达传送带另一端Q,若释放物体时刻作为t=0时刻,物体在传送带上运动过程的vt图象如图乙、丙、丁所示,g取10 m/s2,求:

(1)传送带的速度大小v0;

(2)传送带的长度L;

(3)物体A,B,C与传送带间的动摩擦因数,物体C从传送带左端P到右端Q所用的时间tC。

解析:(1)物体A与B均先做匀加速直线运动,然后做匀速直线运动,说明物体的速度最终与传送带的速度相等,所以由题图乙、丙可知传送带的速度大小是4 m/s。

(2)v-t图线与t轴围成图形的“面积”表示物体的位移,所以物体A的位移xA=×(8.5+9.5)×4 m=36 m,

传送带的长度L与A的位移大小相等,也是36 m。

(3)物体A的加速度aA==4 m/s2,

由牛顿第二定律得μAmg=maA,

所以μA==0.4,

同理,物体B的加速度aB==2 m/s2,μB==0.2,

设物体C从传送带左端P到右端Q所用的时间为tC,则

L=tC得tC==24 s,

物体C的加速度aC==0.125 m/s2,

μC==0.012 5。

答案:(1)4 m/s　(2)36 m

(3)0.4　0.2　0.012 5　24 s