2021版人教版高三物理一轮复习基础梳理：第五章　小专题四　直线、平抛、圆周运动与功能关系的综合问题

小专题四　直线、平抛、圆周运动与功能关系的综合问题

功和能的关系一直是高考的热点和重点,涉及这部分内容的考题不但题型全、分量重,而且还经常有压轴题,考查最多的是动能定理和机械能守恒定律,且多数题目是与牛顿运动定律、平抛运动、圆周运动相结合。

1.直线运动+圆周运动

[典例1] 低碳环保绿色出行的理念逐渐深入人心,而纯电动汽车是时下相对较环保的汽车。为宣传“低碳环保”健康生活理念,某志愿者举行玩具电动小汽车的表演。如图所示,质量m=2 kg的小汽车以v0=4 m/s的初速度从水平轨道A处出发,沿平直轨道AC运动,到达C点时关闭发动机,进入半径R=1.8 m的圆轨道,恰能做完整的圆周运动,之后又进入CE水平轨道向右运动,直至停下。已知小汽车与水平轨道间的摩擦阻力恒为重力的0.1倍,AB段运动过程中风力较大,可简化为受0.8 N的水平向左的作用力,过B点后小汽车所受空气作用力均忽略不计。圆轨道可视作光滑轨道。已知AB段长度x1=3 m,BC段长度x2=2 m,CE段足够长。小汽车自身长度可忽略,g取10 m/s2。

(1)要使小汽车完成上述运动,AC段电动机至少提供多少能量?

(2)若CE阶段启用动力回收系统,把机械能转化为电能,回收效率为30%,则该段小汽车还能滑行多远?

解析:(1)小汽车与水平轨道间的摩擦阻力f=0.1mg,

解得f=2 N

设小汽车在D点处的速度为v1,因小汽车恰能做完整的圆周运动,故在D点处有mg=m

从A到D的过程,运用动能定理有

W-f(x1+x2)-Fx1-mg·2R=m-m

解得W=86.4 J。

(2)从D到C的过程,根据动能定理有

mg·2R=m-m

解得v2=3 m/s

若在CE阶段启用动力回收系统,回收效率为30%,即有70%的能量用于克服摩擦力做功,则有

-fx3=0-m×70%

解得x3=31.5 m。

答案:(1)86.4 J　(2)31.5 m

变式1:如图,质量为M的小车静止在光滑水平面上,小车AB段是半径为R的四分之一圆弧光滑轨道,BC段是长为L的水平粗糙轨道,两段轨道相切于B点。一质量为m的滑块在小车上从A点由静止开始沿轨道滑下,重力加速度为g。

(1)若固定小车,求滑块运动过程中对小车的最大压力;

(2)若不固定小车,滑块仍从A点由静止下滑,然后滑入BC轨道,最后从C点滑出小车.已知滑块质量m=,在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍,滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ,求:

①滑块运动过程中,小车的最大速度大小vm;

②滑块从B到C运动过程中,小车的位移大小s。

解析:(1)滑块滑到B点时对小车压力最大,从A到B机械能守恒mgR=m

滑块在B点处,由牛顿第二定律得N-mg=m

解得N=3mg

由牛顿第三定律得N′=3mg;

(2)①滑块下滑到达B点时,小车速度最大.由系统的机械能守恒得mgR=M+m(2vm)2

解得vm=;

②设滑块运动到C点时,小车速度大小为vC,由功能关系得

mgR-μmgL=M+m(2vC)2

设滑块从B到C过程中,小车运动加速度大小为a,由牛顿第二定律得μmg=Ma

由运动学规律得-=-2as

解得s=L。

答案:(1)3mg　(2)①　②L

2.直线运动+圆周运动+平抛运动

[典例2] 跳台滑雪运动员脚穿专用滑雪板,不借助任何外力,从起滑台起滑,在助滑道上获得高速度,于台端飞出,沿抛物线在空中飞行,在着陆坡着陆后,继续滑行至水平停止区静止。如图所示为一简化后的跳台滑雪的雪道示意图。助滑坡由倾角为θ=37°斜面AB和半径为R1=10 m的光滑圆弧BC组成,两者相切于B。AB竖直高度差h1=30 m,竖直跳台CD高度差为h2=5 m,着陆坡DE是倾角为θ=37°的斜坡,长L=130 m,下端与半径为R2=20 m的光滑圆弧EF相切,且EF下端与停止区相切于F。运动员从A点由静止滑下,通过C点,以速度vC=25 m/s水平飞出落到着陆坡上,然后运动员通过技巧使垂直于斜坡速度降为0,以沿斜坡的分速度继续下滑,经过EF到达停止区FG。若运动员连同滑雪装备总质量为80 kg。(不计空气阻力,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g=10 m/s2)求:

(1)运动员在C点对台端的压力大小;

(2)滑板与斜坡AB间的动摩擦因数;

(3)运动员落点距离D多远;

(4)运动员在停止区靠改变滑板方向增加制动力,若运动员想在60 m之内停下,制动力至少是总重力的几倍?(设两斜坡粗糙程度相同,计算结果保留两位有效数字)

解析:(1)运动员经C点时由牛顿第二定律得

FC-mg=m

解得FC=5 800 N

根据牛顿第三定律,运动员在C点对台端的压力大小为5 800 N。

(2)从A点到C点,由动能定理得

mgh1-μmgcos θ+mgR1(1-cos θ)=m

解得μ=。

(3)设运动员离开C点后开始做平抛运动到P点,

D,P间距离为sP,则有xP=vCt,yP=gt2

=tan θ,=cos θ

解得sP=125 m,t=4 s。

(4)从落点P到最终停下,P点沿斜坡速度

vP=vCcos θ+gtsin θ=44 m/s

mg(L-sP)sin θ-μmg(L-sP)cos θ+ mgR2(1-cos θ)-fd=0-m

解得f=1 383 N,即≈1.7。

答案:(1)5 800 N　(2)　(3)125 m　(4)1.7倍

变式2:(2018·浙江6月学考)小明用如图所示轨道探究滑块的运动规律。长L1=1 m的斜轨道倾角为α,斜轨道底端平滑连接长L2=0.1 m的水平轨道,水平轨道左端与半径R=0.2 m的光滑半圆形轨道底端B平滑连接。将质量m=0.05 kg的滑块(可不计大小)从斜轨道顶端释放,滑块与斜轨道及水平轨道间的动摩擦因数均为μ=0.3。已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。

(1)当α=37°时,无初速释放滑块,求滑块到达B点时对半圆轨道压力FN的大小;

(2)当α=37°时,为保证滑块能到达半圆轨道顶端A,应至少以多大速度v1释放滑块?

(3)为保证滑块离开半圆轨道顶端A后恰好能垂直撞击斜轨道,求α的范围。

解析:(1)从斜轨道顶端滑到B点根据动能定理有

mgL1sin α-μmgL1cos α-μmgL2=mv2①

在B点:FN-mg=m②

联立①②并代入数据得FN=2.15 N,

由牛顿第三定律得FN′大小为2.15 N。

(2)若滑块恰能到达半圆轨道顶端A,到达A点速度记为v2,则在A点由牛顿第二定律有

mg=m

解得v2== m/s,

从斜轨道顶端到圆轨道最高点根据动能定理有

mgL1sin α-μmgL1cos α-μmgL2-2mgR

=m-m

代入数据求得:v1= m/s。

(3)由图1有:tan α=,

由图2可得:gt2+(v2t-L2)tan α=2R,

由(2)知v2需满足条件:v2≥ m/s,

由以上三式整理可得α值满足:tan3 α+2tan α-1=0,

(tan α+1)(tan2 α+tan α-1)≥0

解之可得α的最小值满足:tan α=,

综合分析可知:arctan≤α<。

答案:(1)2.15 N　(2) m/s

(3)arctan≤α<

1.(直线运动+圆周运动)如图所示,在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道,半径OA水平、OB竖直,一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落,小球沿轨道到达最高点B时对轨道压力为,已知AP=2R,重力加速度为g,则小球从P到B的运动过程中(　B　)

A.重力做功2mgR       B.合力做功mgR

C.克服摩擦力做功mgR D.机械能减少2mgR

解析:小球能通过B点,在B点速度v满足mg+mg=m,解得v=,从P到B过程,重力做功等于重力势能减小量为mgR,动能增加量为mv2=mgR,合力做功等于动能增加量mgR,机械能减少量为mgR-mgR=mgR,克服摩擦力做功等于机械能的减少量mgR,故只有选项B正确。

2.(直线运动+平抛运动)如图所示,质量为0.1 kg的小物块在粗糙水平桌面上滑行4 m 后以3.0 m/s的速度飞离桌面,最终落在水平地面上,已知物块与桌面间的动摩擦因数为0.5,桌面高0.45 m,若不计空气阻力,取g=10 m/s2,则(　D　)

A.小物块的初速度是5 m/s

B.小物块的水平射程为1.2 m

C.小物块在桌面上克服摩擦力做8 J的功

D.小物块落地时的动能为0.9 J

解析:小物块在桌面上克服摩擦力做功Wf=μmgL=2 J,C错误;在水平桌面上滑行,由动能定理得-Wf=mv2-m,解得v0=7 m/s,A错误;小物块飞离桌面后做平抛运动,有x=vt,h=gt2,解得x=0.9 m,B错误;设小物块落地时动能为Ek,由动能定理得mgh=Ek-mv2,解得Ek=0.9 J,D正确。

3.(圆周运动+平抛运动)某一水上乐园的游乐项目如图甲所示,两条高速滑道,游客可以仰卧下滑,下滑起伏共有三层。图乙为其轨道侧视图,质量为60 kg的游客从A处静止下滑,经BCDEF,最终停在G处。已知各段圆弧对应的半径均为14 m,对应的圆心角均为60°,GF段轨道水平,设游客滑到F点时速度为20 m/s,求:(g取10 m/s2)

(1)游客刚滑到圆弧末端F点时,对滑道的压力大小;

(2)在AF段上滑动过程中游客克服阻力做的功Wf;

(3)假设游客乘坐在一光滑小船(视为质点)内在该轨道无水时自A处由静止释放,且不计空气阻力,求出小船第一次脱离轨道的位置,并通过计算说明小船第一次落在哪段轨道。

解析:(1)对游客在F点由牛顿第二定律有FN-mg=m,解得FN= N≈2 314 N,根据牛顿第三定律可得,游客对滑道的压力大小为2 314 N。

(2)游客从A点到F点由动能定理有

5mgR(1-cos 60°)-Wf=mv2,

解得Wf=9 000 J。

(3)从A点到B点根据动能定理有

mgR(1-cos 60°)=m,

解得vB=,

与轨道无作用力,在B点脱离轨道做平抛运动;

设游客从B点水平飞出,落在由ABCDEF构成的连线斜面上(如图),斜面倾角为30°,

则H=gt2,x=vBt,=tan 30°,

解得x= m,

2Rsin 60°>x>Rsin 60°,

故第一次落在圆弧CD上。

答案:见解析