2021新高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第一章第2节常用逻辑用语


第2节　常用逻辑用语
考试要求　1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对存在性命题进行否定.

知 识 梳 理
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p⇒q且q⇒ p
p是q的充分不必要条件
p⇒ q且q⇒p
p是q的必要不充分条件
p⇔q
p是q的充要条件
p⇒q且q⇒ p
p是q的既不充分又不必要条件
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示对“任意x”.
(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”.
3.全称命题和存在性命题(命题p的否定记为綈p，读作“非p”)
名称
全称命题
存在性命题
定义
含有全称量词的命题
含有存在量词的命题
简记
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，p(x)
否定
∃x∈M，綈p(x)
∀x∈M，綈p(x)
[常用结论与微点提醒]
1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒ A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒B)两者的不同.
2.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.
3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
诊 断 自 测

1.判断下列结论的正误. (在括号内打“√”或“×”)
(1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.(　　)
(2)“长方形的对角线相等”是存在性命题.(　　)
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(　　)
(4)若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件.(　　)
解析　(2)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.
答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

2.(新教材必修第一册P34复习参考题T5改编)设a，b∈R且ab≠0，则ab>1是a>的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　若“ab>1”，当a＝－2，b＝－1时，不能得到“a>”，
若“a>”，例如当a＝1，b＝－1时，不能得到“ab>1”，
故“ab>1”是“a>”的既不充分也不必要条件.
答案　D
3.(教材选修2-1P18T4改编)命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是________________________.
答案　有些表面积相等的三棱锥体积不相等


4.(2020·无锡模拟)已知命题p：∃x0∈R，x＋4x0＋60
C.∀x∈R，x2＋4x＋6>0 D.∃x∈R，x2＋4x＋6≥0
解析　依据存在性命题的否定是全称命题，由此知答案A是正确的.
答案　A
5.(2020·青岛二中检测)直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
解析　直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于4，不满足a＋b≤4，必要性不成立，故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.
(2)当m>1时，f[f(－1)]＝f＝f(2)＝22m＋1>4，
当f[f(－1)]>4时，
f[f(－1)]＝f＝f(2)＝22m＋1>4＝22，
∴2m＋1>2，解得m>.
故“m>1”是“f[f(－1)]>4”的充分不必要条件.
答案　(1)A　(2)A
规律方法　充要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
【训练1】 (1)(2019·天津卷)设x∈R，则“x2－5x