2021新高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第一章第4节基本不等式及其应用


第4节　基本不等式及其应用
考试要求　1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

知 识 梳 理
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
[常用结论与微点提醒]
1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
2.ab≤≤.
3.≤≤≤(a>0，b>0).
4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.
5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
诊 断 自 测

1.判断下列结论的正误. (在括号内打“√”或“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　　)
(2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)
(3)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4.(　　)
(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.(　　)
解析　(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；
不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.
(2)函数y＝x＋的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.
(3)函数f(x)＝sin x＋没有最小值.
(4)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2.(教材必修5P102T3改编)已知x>2，则x＋的最小值是(　　)
A.2 B.4 C.2 D.6
解析　∵x>2，∴x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4＋2＝6.
当x－2＝，即x＝4时等号成立.
答案　D
3.(新教材必修第一册P45例1改编)若x1，则函数y＝8x＋的最大值为(　　)
A.－4 B.8 C.4 D.0
解析　由logx>1得00，y>0，且＋＝，∴x＋1＋y＝2(x＋1＋y)＝2≥2＝8，当且仅当＝，即x＝3，y＝4时取等号，∴x＋y≥7，故x＋y的最小值为7.
答案　C
规律方法　常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值.
角度3　消元法求最值
【例1－3】 若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　)
A. B. C. D.
解析　因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝.由即解得00，且x＋y＝18，则的最大值为(　　)
A.9 B.18 C.36 D.81
解析　因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.
答案　A
3.(多选题)下列结论错误的是(　　)
A.当x>0且x≠1，lg x＋≥2
B.0时，＋≥2
D.当00)，∴＋＝(a＋2b)＝×≥×(5＋2)＝(当且仅当a＝b＝时取等号).
答案　B
8.(2020·淮安模拟)已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β的终边上分别有点A(1，a)，B(2，b)，且α＝2β，则＋b的最小值为(　　)
A.1 B. C. D.2
解析　由已知可得tan α＝a，tan β＝，
∵α＝2β，∴tan α＝tan 2β，∴a＝，
即a＝，由a>0，b>0得>0，则00)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________.
解析　法一　由题意可设P(x0>0)，
则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x0＝，即x0＝时取等号.故所求最小值是4.
法二　设P(x0>0)，则曲线在点P处的切线的斜率为k＝1－.令1－＝－1，结合x0>0得x0＝，∴P(，3)，曲线y＝x＋(x>0)上的点P到直线x＋y＝0的最短距离即为此时点P到直线x＋y＝0的距离，故dmin＝＝4.
答案　4
12.(2019·天津卷)设x>0，y>0，x＋2y＝4，则的最小值为________.
解析　＝＝＝2＋.
∵x>0，y>0且x＋2y＝4，
∴4≥2(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)，
∴2xy≤4，∴≥，∴2＋≥2＋＝.
答案　
B级　能力提升
13.正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A.[3，＋∞) B.(－∞，3]
C.(－∞，6] D.[6，＋∞)
解析　因为a>0，b>0，＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即a＝4，b＝12时，等号成立.
由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，
即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，
令f(x)＝x2－4x－2，
则f(x)＝x2－4x－2＝(x－2)2－6，
所以f(x)的最小值为－6，
所以－6≥－m，即m≥6.
答案　D
14.(2020·山东师大附中模拟)已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋的最小值为(　　)
A.2 B.2＋ C.4 D.2＋2
解析　因为△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，
所以(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2，
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2，
当且仅当a＋b＝c，即c＝2－2时，等号成立，
所以＋的最小值为2＋2.
答案　D
15.若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________.
解析　∵a，b∈R，ab>0，
∴≥＝4ab＋≥2＝4，
当且仅当即时取得等号.
答案　4
16.已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________.
解析　对任意x∈N*，f(x)≥3，
即 ≥3恒成立，即a≥－＋3.
设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(x)＝x＋≥4，
当x＝2时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝，
∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝.∴－＋3≤－，
∴a≥－，故a的取值范围是.
答案　
C级　创新猜想
17.(新定义题)规定：“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数).若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________.
解析　由题意得1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，解得＝1或＝－2(舍去)，所以k＝1，故k的值为1.
又f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，
当且仅当＝，即x＝1时取等号，
故函数f(x)的最小值为3.
答案　1　3
18.(多填题)(2020·金陵中学模拟)已知a，b∈R，且a＞b＞0，a＋b＝1，则a2＋2b2的最小值为________，＋的最小值为________.
解析　因为a＋b＝1，所以a＝1－b.又因为a＞b＞0，所以0＜b＜.所以a2＋2b2＝(1－b)2＋2b2＝3b2－2b＋1＝3＋，当b＝时，a2＋2b2取得最小值.因为＋＝＋，1－2b＞0，所以＋＝(1－2b＋2b)＝5＋＋≥5＋4＝9，当且仅当b＝时，等号成立.故＋的最小值为9.
答案　　9