2021新高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第四章第3节两角和与差的三角函数、二倍角公式


第3节　两角和与差的三角函数、二倍角公式
考试要求　1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义；
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).

知 识 梳 理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.
cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcos__α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
3.函数f(x)＝Asin x＋Bcos x(A2＋B2≠0)，可以化为f(x)＝sin(x＋θ)(其中cos θ＝，sin θ＝)或f(x)＝cos(x－θ)(其中tan θ＝).
[常用结论与微点提醒]
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.cos2α＝，sin2α＝.
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
诊 断 自 测

1.判断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－
tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(　　)
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
解析　(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z).
答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

2.(新教材必修第一册P217T3改编)已知cos α＝－，α∈，则sin等于(　　)
A.－ B.
C.－ D.
解析　∵α∈，且cos α＝－，∴sin α＝－，
∴sin＝－×＋×＝－.
答案　C
3.(教材必修4P115T1改编)已知tan＝2，则tan α＝(　　)
A. B.－
C. D.－
解析　tan＝＝2，解得tan α＝.
答案　A

4.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝，则cos 2α＝(　　)
A. B. C.－ D.－
解析　由题意得cos 2α＝1－2sin2α
＝1－2×＝1－＝.
答案　B
5.(2020·揭阳一模)若sin＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)
A. B. C.－ D.－
解析　sin＝cos 2α＝，sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝－cos 2α＝－.
答案　D
6.(2019·济南一模)已知角α的终边经过点P(sin 47°，cos 47°)，则sin(α－13°)＝(　　)
A. B. C.－ D.－
解析　由三角函数定义，sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°，
则sin(α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13°
＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13°
＝cos(47°＋13°)＝cos 60°＝.
答案　A

考点一　三角函数式的化简
【例1】 (1)化简：＝________.
解析　原式＝
＝
＝＝＝cos 2x.
答案　cos 2x
(2)化简：－2cos(α＋β).
解　原式＝
＝
＝
＝
＝＝.
规律方法　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
【训练1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.
(2)化简：·＝________.
解析　(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cos (β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).
(2)原式＝tan(90°－2α)·
＝··
＝··＝.
答案　(1)sin(α＋γ)　(2)
考点二　三角函数式的求值　多维探究
角度1　给值求值
【例2－1】 (1)已知x∈，tan x＝，则＝________.
(2)(2020·康杰中学联考)已知α－β＝，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为(　　)
A.＋ B.－
C.＋ D.－
解析　(1)由题意得，4sin x＝3cos x，
又sin2x＋cos2x＝1，且x∈，
解得cos x＝，sin x＝，
又＝
＝＝
＝2sin x＝2×＝.
(2)由tan α－tan β＝3，得－＝3，
即＝3.
∴sin(α－β)＝3cos αcos β.
又知α－β＝，∴cos αcos β＝.
而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，
∴sin αsin β＝－.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝－.
答案　(1)　(2)D
规律方法　给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
角度2　给角求值
【例2－2】 (1)＋＝(　　)
A.－4 B.4 C.－2 D.2
(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________.
解析　(1)＋＝－
＝＝
＝＝＝4.
(2)原式＝·
sin 80°＝·
cos 10°＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]
＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.
答案　(1)B　(2)
规律方法　给角(非特殊角)求值的三个基本思路：(1)化非特殊角为特殊角；
(2)化为正负相消的项，消去后求值；(3)化简分子、分母使之出现公约式，约分后求值.
角度3　给值求角
【例2－3】 (1)已知coscos＝－，α∈，则α＝________.
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________.
解析　(1)coscos＝sincos
＝sin＝－，即sin＝－，
又α∈，则－2α∈，
所以－2α＝－，得α＝.
(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝>0，
又α∈(0，π)，∴0