2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第九章第九讲　离散型随机变量的均值与方差、正态分布


第九讲　离散型随机变量的均值与方差、正态分布
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点一　离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n.
(1)均值：称E(X)＝__x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn__为随机变量X的均值或数学期望．
(2)方差：称D(X)＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的__标准差__.
知识点二　均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝__aE(X)＋b__.
(2)D(aX＋b)＝__a2D(X)__.
*(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
知识点三　两点分布与二项分布的期望与方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝__p__，D(X)＝__p(1－p)__.
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝__np__，D(X)＝__np(1－p)__.
知识点四　正态分布
(1)正态曲线：函数f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称函数f(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线，期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作__X～N(μ，σ2)__.
(2)正态曲线的性质：①曲线位于x轴__上方__，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线__x＝μ__对称；③曲线在__x＝μ__处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越__集中__；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越__分散__.

(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝__0.682_6__；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝__0.954_4__；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝__0.997_4__.
重要结论
计算均值与方差的基本方法
(1)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差和标准差，可直接用定义或公式求；
(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用均值及方差的性质求；
(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接利用它们的均值、方差公式来求．
双基自测
题组一　走出误区
1．(多选题)下列结论中正确的是(　ABC　)
A．随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定
B．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小
C．正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差
D．若X～N(0,1)，则P(x