2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第九章第三讲　二项式定理


第三讲　二项式定理
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点一　二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋)．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k＝0,1,2，…，n)叫做__二项式系数__，式中的__Can－kbk__叫做二项展开式的__通项__，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第__k＋1__项：Tk＋1＝__Can－kbk__.
知识点二　二项展开式形式上的特点
(1)项数为__n＋1__.
(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为__n__.
(3)字母a按__降幂__排列，从第一项开始，次数由n逐项减小1直到零；字母b按__升幂__排列，从第一项起，次数由零逐项增加1直到n.
知识点三　二项式系数的性质
(1)0≤k≤n时，C与C的关系是__C＝C__.
(2)二项式系数先增后减，中间项最大．
当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大．
(3)各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝__2n__，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝__2n－1__.
重要结论
1．二项式定理中，通项公式Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项．
2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk＋1＝Can－kbk中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关．
(2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关．当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．
双基自测
题组一　走出误区
1．(多选题)下列结论错误的是(　AD　)
A．Can－kbk是二项展开式的第k项
B．(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关
C．(x－1)n的展开式二项式系数和为2n
D．在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项
题组二　走进教材
2．(P31例2(2))若(x＋)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　B　)
A．10 B．20
C．30 D．120
[解析]　二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·()k＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C＝20.
3．(P41B组T5)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　B　)
A．9 B．8
C．7 D．6
[解析]　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.
题组三　考题再现
4．(2019·天津)(2x－)8的展开式中的常数项为__28__.
[解析]　二项展开式的通项公式为Tk＋1＝C(2x)8－k·(－)k＝(－1)kC28－k2－3kx8－4k＝(－1)kC28－4kx8－4k，令8－4k＝0，得k＝2，即T3＝(－1)2×C×20＝C＝28，故常数项为28.
5．(2017·全国卷Ⅰ)(1＋)(1＋x)6展开式中x2的系数为(　C　)
A．15 B．20
C．30 D．35
[解析]　(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Cxr，所以(1＋)(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30，故选C．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　二次展开式的通项公式的应用——多维探究
角度1　求二项展开式中的特定项或特定项的系数
例1 (1)(2018·课标卷Ⅲ)(x2＋)5的展开式中x4的系数为(　C　)
A．10 B．20
C．40 D．80
(2)(2019·课标Ⅲ，4)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　A　)
A．12 B．16
C．20 D．24
(3)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　C　)
A．10 B．20
C．30 D．60
[解析]　(1)Tr＋1＝C(x2)5－r()r＝C2rx10－3r，
当10－3r＝4时，解得r＝2，
则x4的系数为C×22＝40，选C．
(2)(1＋x)4的二项展开式的通项为
Tk＋1＝Cxk(k＝0,1,2,3,4)，
故(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为C＋2C＝12.故选A．
(3)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.故选C．
另解：由乘法法则知5个因式中两个选y项，两个选x2项，一个选x项乘即可，∴x5y2的系数为CC＝30.
角度2　二项展开式中的含参问题
例2 (1)(2019·湖北模拟)若二项式(2x＋)7的展开式中的系数是84，则实数a＝(　C　)
A．2 B．
C．1 D．
(2)(2019·山东枣庄二模)若(x2－a)(x＋)10的展开式中x6的系数为30，则a等于(　D　)
A． B．
C．1 D．2
(3)(2019·河北衡水中学模拟)已知二项式(2x－)n的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是25，则x3的系数为__240__.
[解析]　(1)Tr＋1＝C·(2x)7－r·()r＝27－rCar·.令2r－7＝3，则r＝5.由22·Ca5＝84得a＝1，故选C．
(2)由题意得C－aC＝30，解得a＝2，选D．
(3)由题意得：CC＝25，解得n＝6.所以Tr＋1＝C(2x)n－r(－)r＝C26－r(－1)rx6－r, 令6－r＝3，解得：r＝2.所以x3的系数为C26－2(－1)2＝240.
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求二项展开式中的特定项或其系数，一般是化为通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r，代回通项公式即可．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(2018·浙江，14)二项式(＋)8的展开式的常数项是__7__.
(2)(角度2)(2019·福州模拟)设n为正整数，(x－)n的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为(　B　)
A．－112 B．112
C．－60 D．60
(3)(角度1)(2019·重庆模拟)(x－y)(x＋y)5的展开式中x2y4的系数为(　B　)
A．－10 B．－5
C．5 D．10
[解析]　(1)Tr＋1＝C()8－r· ()r＝Cx，由8－4r＝0得r＝2，故常数项为T3＝C＝7.
(2)依题意得，n＝8，所以展开式的通项Tr＋1＝Cx8－r(－)r＝Cx8－4r(－2)r，令8－4r＝0，解得r＝2，所以展开式中的常数项为 T3＝C(－2)2＝112.
(3)(x＋y)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·x5－r·yr，令5－r＝1，得r＝4，令5－r＝2，得r＝3，
∴(x－y)(x＋y)5的展开式中x2y4的系数为C×1＋(－1)×C＝－5.故选B．
考点二　二项式系数的性质与各项系数的和——师生共研
例3 (1)(2019·河北衡水中学五调)已知(2x2－)n(n∈N)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是(　A　)
A．－84 B．84
C．－24 D．24
(2)(2019·河北邯郸模拟)在(x＋)n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3的系数为(　C　)
A．15 B．45
C．135 D．405
(3)(2020·辽宁省朝阳市质量检测)设(1＋x2)(2－x)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5＋a6(x－1)6，则a0＋a2＋a4＋a6＝__8__.
[解析]　(1)由题意知2n＝128，解得n＝7，
∴Tr＋1＝C(2x2)7－r(－)r＝(－1)r27－rCx14－3r，
由14－3r＝－1，得r＝5，
∴含项的系数为(－1)522C＝－84.选A．
(2)由题意＝64，n＝6，Tr＋1＝Cx6－r()r＝3rCx6－，令6－＝3，r＝2,32C＝135，选C．
(3)由题意，令x＝2得
a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，
令x＝0得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝16，
两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝16，
所以a0＋a2＋a4＋a6＝8.故答案为8.
[引申]在本例(3)中，(1)a0＝__2__；
(2)a1＋a3＋a5＝__－8__；
(3)(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝__0__；
(4)a2＝__5__.
[解析]　记f(x)＝(1＋x2)(2－x)4，
则(1)a0＝f(1)＝2.
(2)a1＋a3＋a5＝＝＝－8；
(3)(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝f(2)·f(0)＝0；
(4)令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴a2为(t2＋2t＋2)(1－t)4展开式中t2项的系数，又(1－t)4的通项为C(－t)r，
∴a2＝C＋2×(－1)C＋2C＝5.
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赋值法的应用
(1)形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b、c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
〔变式训练2〕
(1)(2020·黄冈质检)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝(　C　)
A．284 B．356
C．364 D．378
(2)(2020·湖南娄底期末)已知(x3＋)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为(　C　)
A．20 B．30
C．40 D．50
[解析]　(1)令x＝0，则a0＝1；令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36①；令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1②.①，②两式左、右分别相加，得2(a0＋a2＋…＋a12)＝36＋1＝730，所以a0＋a2＋…＋a12＝365，又a0＝1，所以a2＋a4＋…＋a12＝364.
(2)因为(x3＋)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，则2n＝32，解得n＝5，所以二项式为(x3＋)5.因为(x3＋)5展开式各项系数和为243，令x＝1，代入可得(1＋a)5＝243＝35，解得a＝2，所以二项式展开式的通项为Tr＋1＝C(x3)5－r·()r＝2r·Cx15－4r，所以当展开式为x7时，即x15－4r＝x7，解得r＝2，则展开式的系数为22·C＝4×10＝40.故选C．
考点三　二项式定理的应用——多维探究
例4 角度1　整除问题
(1)设a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则a＝(　D　)
A．0 B．1
C．11 D．12
(2)(2019·安徽省安庆一中模拟)9C＋92C＋…＋910C除以11所得的余数为(　A　)
A．0 B．1
C．2 D．－1
角度2　近似计算
(3)1.028的近似值是__1.172__.(精确到小数点后三位)
[解析]　(1)由于51＝52－1，(52－1)2012＝C522012－C522011＋…－C521＋1，
又由于13整除52，所以只需13整除1＋a,0≤a<13，a∈Z，所以a＝12，故选D．
(2)90C＋9C＋92C＋…＋910C－1＝(9＋1)10－1＝1010－1＝(11－1)10－1＝1110－C·119＋C·118－…－C·11＋1－1＝1110－C·119＋C·118－…－C·11，显然所得余数为0，故选A．
(3)1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C·0.02＋C·0.022＋C·0.023≈1.172.
[引申]若将本例(2)中“11”改为“8”，则余数为__7__.
[解析]　由题意原式＝1010－1＝(8＋2)10－1＝810＋C89·2＋…＋C8·29＋210－1＝(810＋C89·2＋…＋C8·29＋8·27－8)＋7.∴余数为7.
名师点拨 ☞
1．整除问题的解题思路
利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断．
2．求近似值的基本方法
利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
〔变式训练3〕
(1)(2019·江西联考)1－90C＋902C－903C＋…＋9010C除以88的余数是(　C　)
A．－1 B．－87
C．1 D．87
(2)0.9986的近似值为__0.989__.(精确到0.001)
[解析]　(1)1－90C＋902C－903C＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝C8810＋C889＋…＋C88＋C＝88k＋1(k为正整数)，所以可知余数为1.
(2)0.9986＝(1－0.002)6＝1－C0.002＋C0.0022－C0.0023＋C0.0024－C0.0025＋C0.0026≈1－C0.002＋C0.0022＝0.988 6≈0.989.

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
二项展开式中系数最大项的问题
例5 已知(x＋)n的展开式中前三项的系数成等差数列．
①求n的值；
②求展开式中系数最大的项．
[解析]　①由题设，得C＋×C＝2××C，
即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，n＝1(舍去)．
②设第r＋1项的系数最大，则
即解得r＝2或r＝3.
所以系数最大的项为T3＝7x5，T4＝7x.
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求展开式中系数最大的项
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得．
〔变式训练4〕
已知(x＋3x2)n的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
[解析]　(1)易知n＝5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．
所以T3＝C(x)3·(3x2)2＝90x6，
T4＝C(x)2·(3x2)3＝270x．
(2)设展开式中第r＋1项的系数最大．
Tr＋1＝C(x)5－r·(3x2)r＝C·3r·x，
故有即
解得≤r≤.因为r∈N，
所以r＝4，即展开式中第5项的系数最大．
T5＝C·x·(3x2)4＝405x．