2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第三章第二讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式

第二讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测 知识点一　同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2x＋cos2x＝1.(2)商数关系：＝tan x.知识点二　三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan αtan_α－tan_α－tan_α  1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x＝tan x·cos x，tan2x＋1＝，(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x等．2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·＋α(k∈Z)中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·＋α(k∈Z)中，将α看成锐角时k·＋α(k∈Z)所在的象限．题组一　走出误区1．(多选题)下列结论不正确的是(　ABCD　)A．若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1B．若α∈R，则tan α＝恒成立C．sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角D．若sin (kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝[解析]　对于A，根据同角三角函数的基本关系式知当α，β为同角时才正确．对于B，cos α≠0时才成立．对于C，根据诱导公式知α为任意角．对于D，当k为奇数和偶数时，sin α的值不同．故选A、B、C、D．题组二　走进教材2．(必修4P22B组T3改编)已知tan α＝，则＝(　A　)A．－  B． C．－7  D．7[解析]　＝＝＝－.故选A．3．(必修4P22B组T2改编)化简cos α＋sin α(π<α<)得(　A　)A．sin α＋cos α－2  B．2－sin α－cos αC．sin α－cos α  D．cos α－sin α[解析]　原式＝cos α＋sin α，∵π<α<π，∴cos α<0，sin α<0.∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.4．(必修4P29B组T2改编)若sin (π＋α)＝－，则sin (7π－α)＝，cos (α＋)＝.[解析]　由sin (π＋α)＝－，得sin α＝，则sin (7π－α)＝sin (π－α)＝sin α＝，cos (α＋)＝cos (α＋－2π)＝cos (α－)＝cos (－α)＝sin α＝.题组三　考题再现5．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝(　D　)A．－2－　　　　　　 B．－2＋C．2－  D．2＋[解析]　由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan (180°＋75°)＝tan 75°＝tan (30°＋45°)＝＝2＋，故选D．6．(2015·福建)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　D　)A．  B．－C．  D．－[解析]　因为sin α＝－，且α为第四象限角，所以cos α＝，所以tan α＝－，故选D．7．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　A　)A．－  B．－C．  D．[解析]　将sin α－cos α＝的两边进行平方，得sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝，即sin 2α＝－，故选A． KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究 考点一　同角三角函数的基本关系式——师生共研例1 (1)(2020·厦门质检)若α∈(，π)，sin (π－α)＝，则tan α＝(　C　)A．－　  B． C．－  D．(2)(2020·河南平顶山、许昌两市联考)已知＝5，则cos2α＋sin 2α的值是(　A　)A．  B．－ C．－3  D．3[解析]　(1)因为α∈(，π)，sin α＝，所以cos α＝－，所以tan α＝－.(2)由＝5得＝5，可得tan α＝2，则cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α＝＝＝.故选A．  名师点拨 ☞(1)已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是利用公式sin2α＋cos2α＝1，tan α＝求解，解题时，要注意角所在的象限．并由此确定根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类讨论．(2)遇sin α，cos α的齐次式常“弦化切”，如：＝；sin αcos α＝＝＝；sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝＝.〔变式训练1〕(1)若α是第二象限角，tan α＝－，则sin α＝(　C　)A．  B．－ C．  D．－(2)已知α是第二象限角，化简＝.(3)(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，)，tan α＝2，则cos(α－)＝.[解析]　(1)∵tan α＝－，∴＝－.∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋(－sin α)2＝1，∴sin α＝±.又α为第二象限角，∴sin α＝，故选C．(2)解法一：原式＝＝＝＝＝.解法二：∵1－cos4α－sin4α＝1－(cos2α＋sin2α)2＋2sin2αcos2α＝2sin2αcos2α，∴原式＝＝＝＝.(3)由tan α＝2得sin α＝2cos α.又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝.因为α∈(0，)，所以cos α＝，sin α＝.因为cos (α－)＝cos αcos ＋sin αsin ，所以cos (α－)＝×＋×＝.考点二　诱导公式及其应用——多维探究角度1　利用诱导公式化简三角函数式例2 (1)化简：＝－.(2)化简＝－1.[解析]　(1)原式＝＝＝－.(2)∵cos 10°>sin 10°，∴原式＝＝＝＝＝－1.角度2　“换元法”的应用例3 已知cos (－θ)＝a，则cos (＋θ)＋sin (－θ)的值是0.[解析]　因为cos (＋θ)＝cos [π－(－θ)]＝－cos (－θ)＝－a.sin (－θ)＝sin [＋(－θ)]＝cos (－θ)＝a，所以cos (＋θ)＋sin (－θ)＝0. 名师点拨 ☞(1)诱导公式的两个应用方向与原则：①求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了．②化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题，常见的互余关系有－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等，互补关系有＋α与－α；＋α与－α等．〔变式训练2〕(1)(角度1)已知f(α)＝，则f()＝(　A　)A．  B． C．  D．－(2)(角度2)(2020·唐山模拟)已知α为钝角，sin (＋α)＝，则sin (－α)＝－，cos (α－)＝.(3)(角度2)(2020·安徽模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 215°，cos 215°)，则α＝(　C　)A．215°  B．225° C．235°  D．245°[解析]　(1)f(α)＝＝＝＝cos α，则f()＝cos ＝.(2)sin (－α)＝cos [－(－α)]＝cos (＋α)，因为α为钝角，所以π<＋α<π，所以cos (＋α)<0.所以cos (＋α)＝－＝－.cos (α－)＝sin [＋(α－)]＝sin (＋α)＝.(3)∵角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 215°，cos 215°)，∴cos α＝sin 215°＝cos 235°，sin α＝cos 215°＝sin 235°，∴α＝235°，故选C． MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛·素养提升 sin x＋cos x、sin x－cos x、sin xcos x之间的关系例4 (2020·北京东城模拟)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝－.[解析]　解法一：因为sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，sin θcos θ＝－.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的两根，所以x1＝，x2＝－.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0.所以sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝＝－.解法二：同解法一，得sin θcos θ＝－，所以＝－，弦化切，得 ＝－，解得tan θ＝－或tan θ＝－.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝>0，sin θcos θ＝－<0.∴θ∈(，π)，且sin θ>|cos θ|，∴||＝|tan θ|>1，∴tan θ＝－.解法三：解方程组得或(舍去)故tan θ＝－. 名师点拨 ☞sin x＋cos x、sin x－cos x、sin xcos x之间的关系为(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x，(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x，(sin x＋cos x)2＋(sin x－cos x)2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值． 〔变式训练3〕(1)(2020·山东师大附中模拟)已知－<α<0，sin α＋cos α＝，则的值为(　C　)A．  B． C．  D．(2)若＋＝，则sin αcos α＝(　A　)A．－  B．C．－或1  D．或－1[解析]　(1)解法一：∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，∴sin αcos α＝－，又α∈(－，0)，∴sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝＝＝.∴＝＝，故选C．解法二：由解法一知得∴tan α＝＝－.∴＝＝＝＝，故选C．(2)由＋＝，可得sin α＋cos α＝sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcos α＝3sin2αcos2α，解得sin αcos α＝－或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1，故选A．