2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第六章第一讲　不等关系与不等式


第六章　不等式
第一讲　不等关系与不等式
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　实数的大小与运算性质的关系
(1)a>b⇔__a－b>0__；
(2)a＝b⇔__a－b＝0__；
(3)a 知识点二　比较大小的常用方法
(1)作差法
一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差．
(2)作商法
一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论(注意所比较的两个数的符号)．
知识点三　不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b (2)传递性：a>b，b>c⇒__a>c__；
(3)同向可加性：a>b⇔a＋c__>__b＋c；a>b，c>d⇒a＋c__>__b＋d；
(4)同向同正可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac__<__bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(5)可乘方性：a>b>0⇒an__>__bn(n∈N，n≥2)；
(6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．

1．a>b，ab>0⇒<.
2．a<0 3．a>b>0,0.
4．若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0)．

题组一　走出误区
1．(多选题)下列命题正确的是(　BD　)
A．若>1，则a>b
B．a>b>0，c>d>0⇒>
C．一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变
D．ab>0，a>b⇔<
题组二　走进教材
2．(必修5P74T3改编)若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的(　A　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件
[解析]　－>0⇒>⇒a>b≥0⇒a2>b2，
但由a2－b2>0－>0.
3．(必修5P74T3改编)设b A．a－c C．a＋c>b＋d　　 D．a＋d>b＋c
[解析]　由同向不等式具有可加性可知C正确．
题组三　考题再现
4．(2016·北京)已知x，y∈R，且x>y>0，则(　C　)
A．－>0　　 B．sin x－sin y>0
C．()x－()y<0　　 D．ln x＋ln y>0
[解析]　∵x，y∈R，且x>y>0，则<，
sin x与sin y的大小关系不确定，()x<()y，即()x－()y<0，ln x＋ln y与0的大小关系不确定，故选C．
5．(2019·全国)若a>b，则(　C　)
A．ln(a－b)>0　　 B．3a<3b
C．a3－b3>0　　 D．|a|>|b|

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　比较代数式的大小——自主练透
例1　(1)若x (2)设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小；
(3)若a>b>0，试比较与－的大小．
[解析]　(1)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x0，x－y<0.∴－2xy(x－y)>0.∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
(2)＝aa－b·bb－a＝()a－b.当a>b>0时，>1，a－b>0，∴()a－b>1，∴aabb>abba；当b>a>0时，0<<1，a－b<0，∴()a－b>1，∴aabb>abba.
(3)∵a>b>0，∴>0，－>0，又()2－(－)2＝a－b－(a＋b－2)＝2－2b，∵a>b>0，∴>，∴>b，∴2－2b>0，即()2>(－)2，∴>－.
[引申]本例(2)的条件下aabb__>__(ab).
名师点拨　☞
比较两个代数式的大小，常用的方法有两种，一种是作差法，解题步骤是：作差—变形—与0比较，变形的方法主要有通分、因式分解、配方等，变形的目的是为了更有利于判断符号．另一种是作商法，解题步骤是作商—变形—与1比较．作商法通常适用于两代数式同号的情形．注意①若>1，b<0，则a 考点二　不等式的性质——师生共研
例2　(1)(多选题)(2020·北京海淀区高三模拟改编)已知x>y，则下列各式中一定成立的是(　CD　)
A．<　　 B．x＋>2
C．2－x<2－y　　 D．2x＋2－y>2
(2)(2020·广东华附、省实、广雅、深中期末联考)设a>1>b>－1，b≠0，则下列不等式中恒成立的是(　C　)
A．<　　 B．>　　
C．a>b2　　 D．a2>2b
(3)(2020·四省八校质检)若logab A．ab　　
C．abca
[解析]　(1)当x＝1，y＝－1时，满足x>y，但>，x＋＝0<2，故A、B都错，对于C，∵x>y，∴－x<－y，∴2－x<2－y，正确；对于D,2x＋2－y≥2>2，D正确，故选C、D．
(2)对于A，当a为正数，b为负数时，>，所以，A错误；对于B，当a＝2，b＝时，B不成立，所以错误；对于C,1>b>－1⇒b2<1，而a>1，所以选项C正确；对于D，取反例：a＝1.1⇒a2＝1.21，b＝0.8⇒2b＝1.6.D错误。
(3)由题意知0c>0，∴ab>ac，且<，从而<，∴A，B错，当a>1时，0 名师点拨　☞
(1)在判断一个关于不等式命题的真假时，先把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并根据性质判断命题的真假，有时还要用到其他知识，如本例中幂函数、对数函数的性质等．
(2)在应用不等式的性质时，不可以强化或弱化不等式成立的条件，如“同向不等式”才可以相加，“同向正数不等式”才可以相乘．
(3)在不等关系的判断中，赋值法是非常有效的方法．
〔变式训练1〕
(1)(多选题)(2020·四川攀枝花统考改编)设a，b，c为实数，且a A．<　　 B．ac2 C．<　　 D．a2>ab>b2
(2)(2020·山东省枣庄市模拟)已知0 A．ab>ac　　 B．>
C．logba
[解析]　(1)对于A显然错误；对于B，当c＝0时，不正确；对于C，－＝＝<0，故正确，对于D，⇒a2>ab>b2，故选C、D．
(2)显然b＋a>0，c＋a>0，
∴>⇔bc＋ab>bc＋ac，
即ab>ac⇔b>c，故选D．
另解：不妨取c＝，a＝b＝，
代入选项A，B，C都错，故选D．
考点三　不等式性质的应用——多维探究
角度1　应用性质判断不等式是否成立
例3　(2018·课标Ⅲ，12)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　B　)
A．a＋b C．a＋b<0 [解析]　本题考查不等式及对数运算．
解法一：∵a＝log0.20.3>log0.21＝0，b＝log20.3 ∵0 ∵＝＝＝log20.2，
∴b－＝log20.3－log20.2＝log2<1，
∴b<1＋⇒ab 解法二：易知0 ∵＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4<1，
即<1，∴a＋b>ab，∴ab 角度2　利用不等式的性质求范围问题
例4　(1)已知－1 (2)(2020·河北衡水中学五调)已知1≤a≤3，－4 [解析]　(1)∵－1 ∴－3<－y<－2，∴－4 由－1 ∴1<3x＋2y<18.
(2)∵－4 ∴1≤a＋|b|<7.
名师点拨　☞
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(多选题)(2020·广东省清远市期末改编)已知<<0，下列结论正确的是(　AB　)
A．a22
C．lg a2>lg(ab)　　 D．2a＋b>2a－b
(2)(角度2)(2020·上海金山中学期中)已知1 (3)(角度2)若1<α<3，－4<β<2，则－β的取值范围是__(－，)__.
[解析]　(1)对于A，a2－b2＝(a－b)(a＋b)<0正确；对于B，＋≥2＝2，又a>b，∴＋>2，正确；对于C，a2－ab＝a(a－b)<0，∴lg a22a－b不正确，故选A、B．
(2)∵2 又∵1 (3)由1<α<3得<<，
由－4<β<2得－2<－β<4，
所以－β的取值范围是(－，)．故填(－，)．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
利用不等式变形求范围
　　例5　设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是__[5,10]__.
[分析]　用f(1)和f(－1)表示f(－2)，也就是把f(－1)，f(1)看作一个整体求f(－2)，或用待定系数法求解．
[解析]　∵y＝f(x)＝ax2＋bx，∴f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.
解法一：(待定系数法)
设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，
又f(－2)＝4a－2b，
所以4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b，
可得解得
所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10.
故5≤f(－2)≤10.
解法二：(运用方程思想)
由
得
所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10.
故5≤f(－2)≤10.
名师点拨　☞
若题目中所给范围的式子比较复杂，一定要把这样的式子当成一个整体，利用待定系数法求解，在解题过程中还要注意不等式链中的隐含条件，如a<α<β 〔变式训练3〕
(1)已知1 (2)(2020·云南模拟)已知x>0，y>0，若－1≤lg≤2，1≤lg(xy)≤4，则lg的取值范围是__[－1,5]__.
[解析]　(1)设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，
则3a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b，
∴解得
∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)．
又∵1 ∴<(a＋b)≤，－≤(a－b)<.
∴－2<3a－2b<10.
(2)由1≤lg(xy)≤4，－1≤lg≤2，
得1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2，
∴≤(lg x＋lg y)≤2，－≤(lg x－lg y)≤3，
则lg＝2lgx－lgy＝(lgx＋lgy)＋(lgx－lgy)，
所以－1≤lg≤5.故填[－1,5]．