2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第七章第六讲　空间向量及其运算


第六讲　空间向量及其运算

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　空间向量的有关概念
1．空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量，其大小叫做向量的__长度__或__模__．
(2)相等向量：方向__相同__且模__相等__的向量．
(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线__平行__或__重合__，则这些向量叫做__共线向量__或__平行向量__．
(4)共面向量：平行于同一__平面__的向量叫做共面向量．
2．空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一确定的λ∈R，使a＝λb．
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)已知两个非零向量a，b，在空间任取一点，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作　a，b　，其范围是　0≤a，b≤π　，若a，b＝，则称a与b__互相垂直__，记作a⊥b．
向量a，b的数量积a·b＝　|a||b|cos〈a，b〉　．
(2)空间向量数量积的运算律
结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
交换律：a·b＝b·a；
分配律：a·(b＋c)＝　a·b＋a·c　．
知识点二　空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示
坐标表示
数量积
a·b
__a1b1＋a2b2＋a3b3__
共线
a＝λb(b≠0)
__a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3__
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0__
模
|a|
　　
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝　　


1．向量三点共线定理
在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
2．向量四点共面定理
在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．

题组一　走出误区
1．(多选题)下列结论中正确的是(　AC　)
A．空间中任意两个非零向量a，b共面
B．对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c
C．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0
D．若a·b