2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第七章第三讲　空间点、直线、平面之间的位置关系

第三讲　空间点、直线、平面之间的位置关系

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理·双基自测

知识点一　平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的__两点__在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

公理2：过__不共线__的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们__有且只有一条__过该点的公共直线．

知识点二　空间点、直线、平面之间的位置关系

知识点三　异面直线所成角、平行公理及等角定理

(1)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的__锐角或直角__叫作异面直线a与b所成的角．

②范围：(0，]．

(2)平行公理

平行于同一条直线的两条直线__平行__．

(3)等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__相等或互补__．

异面直线的判定定理

过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．

用符号可表示为：

若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直线(如图)．

题组一　走出误区

1．(多选题)下列结论正确的是(　AC　)

A．如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a

B．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合

C．经过两条相交直线，有且只有一个平面

D．两两相交的三条直线共面

题组二　走进教材

2．(必修2P52B组T1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　C　)

A．30°  B．45°

C．60°  D．90°

[解析]　解法一：因为CD∥AB，所以∠BAE(或其补角)即为异面直线AE与CD所成的角．设正方体的棱长为2，则BE＝.因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BE.在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝，故选C．

解法二：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.故选C．

3．(必修2P45例2)如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA上的点，

 (1)若＝且＝，则E、F、G、H是否共面．__共面__．

(2)若E、F、G、H分别为棱AB、BC、CD、DA的中点，①当AC，BD满足条件__AC＝BD__时，四边形EFGH为菱形；②当AC，BD满足条件__AC＝BD且AC⊥BD__时，四边形EFGH为正方形．

题组三　考题再现

4．(2019·蚌埠质检)若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　B　)

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

5．(2019·福建漳州质检)已知在正四面体A－BCD中，M为AB的中点，则直线CM与AD所成角的余弦值为(　C　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　

如图，设正四面体A－BCD的棱长为2，取BD的中点N，连接MN，CN，则CN＝CM＝，MN＝1，∵M是AB的中点，∴MN∥AD，∴∠CMN是CM与AD所成的角，又cos∠CMN＝＝.故选C．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一　平面基本性质的应用——自主练透

例1　如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2．

(1)求证：E，F，G，H四点共面；

(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．

[证明]　(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，

∴EF∥BD．

在△BCD中，＝＝，

∴GH∥BD，∴EF∥GH．

∴E，F，G，H四点共面．

(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，

∴P∈平面ABC．同理P∈平面ADC．

∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．

又平面ABC∩平面ADC＝AC，

∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．

名师点拨 ☞

1．证明空间点共线问题的方法

(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．

(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．

2．点、线共面的常用判定方法

(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．

(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．

3．证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

〔变式训练1〕

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：

(1)E，C，D1，F四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点．

[解析]　(1)如图，连接EF，CD1，A1B．

因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B．

又A1B∥CD1，所以EF∥CD1，

所以E，C，D1，F四点共面．

(2)因为EF∥CD1，EF<CD1，

所以CE与D1F必相交，

设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD．

同理P∈平面ADD1A1．

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，

所以P∈直线DA．

所以CE，D1F，DA三线共点．

考点二　空间两条直线的位置关系——师生共研

例2　(1)(2019·广东模拟)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　D　)

A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为__③④__(注：把你认为正确的结论序号都填上)．

[解析]　(1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．

(2)因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故①错；取DD1中点E，连接AE，则BN∥AE，但AE与AM相交，故②错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④．

名师点拨 ☞

异面直线的判定方法

(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．

(2)判定定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

〔变式训练2〕

(1)(2019·江西景德镇模拟)将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是(　C　)

A．相交且垂直  B．相交但不垂直

C．异面且垂直  D．异面但不垂直

(2)(多选题)(2019·湘潭调研改编)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是(　BD　)

[解析]　(2)图A中，直线GH∥MN；

图B中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图C中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；

图D中，G、M、N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，故选B、D．

考点三　求异面直线所成的角——师生共研

例3　(1)(2019·陕西省高三质检)已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点．若MN＝BC＝4，PA＝4，则异面直线PA与MN所成角的大小是(　A　)

A．30°  B．45°

C．60°  D．90°

(2)(2019·黑龙江师大附中期中)直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，则直线A1B与AC1所成角的大小为(　B　)

A．30°  B．60°

C．90°  D．120°

[解析]　

(1)如图取AC的中点H，连MH，NH，由题意知NH∥PA，

∴∠MNH即为MN与PA所成角，

又MN＝4，MH＝2，NH＝2，

∴MN2＝MH2＋NH2，

∴∠NHM＝90°，又MH＝MN，

∴∠MNH＝30°，故选A．

(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，连结A1C，A1C∩AC1＝O，则O为A1C的中点，取BC的中点H，连接OH，则OH∥A1B，∴∠AOH或其补角即为直线A1B与AC1所成的角．

设AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，

易得AO＝AH＝OH＝，

∴三角形AOH是正三角形，∴∠AOH＝60°，即异面直线所成角为60°.故选B．

名师点拨 ☞

用平移法求异面直线所成的角的步骤

(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．

(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角．

(3)三求：解三角形，求出所作的角．

注：①为便于作出异面直线所成角，可用补形法，如将三棱柱补成四棱柱；②注意余弦定理的应用．

〔变式训练3〕

(1)(2019·湖北荆州联考)已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点．若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数为(　D　)

A．90°  B．45°

C．60°  D．30°

(2)(2017·课标全国Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　C　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　(1)如图，设G为AD的中点，接GF，GE，

则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中位线．

由此可得，GF∥AB且GF＝AB＝1，

GE∥CD，且GE＝CD＝2，

∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角．

又∵EF⊥AB，GF∥AB，∵EF⊥GF．

因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2，

sin∠GEF＝＝，可得∠GEF＝30°，

∴EF与CD所成角的度数为30°.故选D．

(2)将直三棱柱ABC－A1B1C1补成直角四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图，连AD1，B1D1，显然BC1∥AD1，∠B1AD1即为异面直线AB1与BC1所成的角，由题意知，AB＝5，AD＝2，B1D＝3，∴cos∠B1AD1＝＝＝.故选C．

另解：连A1B交AB1于M，取AC1的中点N，连MN、B1N，则BC1∥MN，∴∠NMB1即为异面直线AB1与BC1所成的角，解△MNB1即可．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

名师讲坛·素养提升

立体几何中的折叠问题

例4　(1)(2019·湖南湘东六校联考)下图是一正四面体的侧面展开图，G为BF的中点，则在原正四面体中，直线EG与直线BC所成角的余弦值为(　C　)

A．  B．

C．  D．

(2)(2019·安徽省合肥质检)如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，沿BD将△ABD翻折，得到三棱锥A－BCD，则当三棱锥A－BCD，体积最大时，异面直线AD与BC所成角的余弦值为(　D　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　(1)将展开图折起还原成四面体，如图所示，取AF的中点H，连GH，HE，则GH綊BC，且HE＝GE，∴∠HGE即为异面直线EG与BC所成角，不妨设正四面体棱长为2，则GH＝1，GE＝，∴cos∠HGE＝＝，故选C．

(2)由题意可知平面ADB⊥平面BDC，且△ADB、△BDC均为正三角形，取DB的中点O，连OA，OC，易知OA，OB，OC两两垂直，如图建立空间直角坐标系，

则＝(0，，)，

＝(，－，0)，

∴AD与BC所成角θ的余弦值为cos θ＝＝，故选D．

名师点拨 ☞

由展开图准确的还原出几何体直观图是解题关键．

当异面直线所成角不易作出时，可考虑建立空间直角坐标系，用向量法求解．

〔变式训练4〕

(2019·广东江门模拟)正方体的平面展开图如图，AB、CD、EF、GH四条对角线两两一对得到6对对角线，在正方体中，这6对对角线所在直线成60°角的有(　D　)

A．1对  B．2对

C．3对  D．4对

[解析]　根据题意，如图为平面展开图对应的正方体，

其中AB与GH、AB与EF、GH与CD、EF与CD所成的角为60°，

共有4组；故选D．