人教版2020年九年级上册期中考试复习训练卷 解析版

人教版2020年九年级上册期中考试复习训练卷
一．选择题
1．方程4x2＝81的一次项系数为（　　）
A．4 B．0 C．81 D．﹣81
2．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．以原点为中心，把点A（4，5）逆时针旋转90°，得点B，则点B坐标是（　　）
A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（﹣5，﹣4） D．（5，﹣4）
4．抛物线y＝（x+1）2﹣1的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，1）
5．一元二次方程x2﹣7＝0的根的情况是（　　）
A．有两相等实根 B．有两不等实根
C．无实根 D．无法判断
6．如图，小明坐在秋千上，秋千旋转了76°，小明的位置也从A点运动到了A′点，则∠OAA′的度数为（　　）

A．28° B．52° C．74° D．76°
7．某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%将至1.98%，设平均每次降息的百分比是x，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．2.25%（1﹣x2）＝1.98% B．2.25%﹣2.25%×2x＝1.98%
C．2.25%（1﹣x）2＝1.98% D．2.25%（1﹣x﹣x2）＝1.98%
8．二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2
D．抛物线的对称轴是直线x＝﹣
9．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣h）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值h，则h的值为（　　）
A．﹣1或3 B．2 C．2或3 D．﹣1
10．如图，矩形ABCD中，AB＝3BC＝6cm，动点E和动点F以1cm/s的速度从点A出发，分别沿折线ADC和折线ABC运动到点C停止；同时，动点G和动点H也以1cm/s的速度从点C出发，分别沿折线CBA和折线CDA运动到点A停止．若点E，F，G，H同时出发了ts，记封闭图形EFGH的面积为Scm2，则S关于t的函数图象大致为（　　）

A．B． D．
二．填空题
11．已知点A（a，5）与点B（﹣3，b）关于原点对称，则a+b的值是　 　．
12．将抛物线y＝2x2的图象向上平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式为　 　．
13．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B＝40°，∠CAE＝60°，则∠DAC的度数为　 　．

14．正方形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，旋转角至少为　 　度．
15．已知x1、x2是方程x2+x﹣2017＝0的两个实数根，则x12+2x1+x2的值为　 　．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+2c＞0．其中正确的结论是　 　．

三．解答题（共8小题）
17．解方程：2x2+3x﹣1＝0．




18．已知抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），且过点（﹣1，8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当y＜3时，求x的取值范围．




19．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，将△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．
（1）画出旋转后的△A1B1C1；
（2）分别写出A1，B1，C1的坐标．


20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．





21．如图是抛物线形的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽6m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）如果水面上升1m，则水面宽度减少多少米？





22．如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F．
（1）求证：△BCF≌△BA1D．
（2）当∠C＝α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．



23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，
（1）AP＝　 　，BP＝　 　，BQ＝　 　；
（2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？
（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？






24．在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，△CDE为等边三角形，CD＝2，连接AD，M为AD中点．
（1）如图1，当B，C，E三点共线时，请画出△EDM关于点M的中心对称图形，并证明BM⊥ME；
（2）如图2，当A，C，E三点共线时，求BM的长；
（3）如图3，取BE中点N，连MN，将△CDE绕点C旋转，直接写出旋转过程中线段MN的取值范围是　 　．



25. 如图，抛物线y＝ax2+2ax﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C′，且OA＝OC，连接AC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P是直线AC下方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值及此时点P的坐标．
（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
































参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：方程4x2＝81的一般形式是4x2﹣81＝0，它的一次项系数是0，
故选：B．
2．解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
3．解：观察图象可知B（﹣5，4），

故选：B．
4．解：∵抛物线y＝（x+1）2﹣1，
∴抛物线y＝（x+1）2﹣1的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．
故选：A．
5．解：x2﹣7＝0，
x2＝7．
x＝±，
所以原方程有两不等实根．
故选：B．
6．解：根据题意知OA＝OA′，
∵∠AOA′＝76°，
∴∠OAA′＝＝52°，
故选：B．
7．解：经过一次降息，是2.25%（1﹣x）；
经过两次降息，是2.25%（1﹣x）2．
则有方程2.25%（1﹣x）2＝1.98%．
故选：C．
8．解：将点（﹣4，0）、（﹣1，0）、（0，4）代入到二次函数y＝ax2+bx+c中，
得：，解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2+5x+4．
A、a＝1＞0，抛物线开口向上，A不正确；
B、﹣＝﹣，当x≥﹣时，y随x的增大而增大，B不正确；
C、y＝x2+5x+4＝﹣，二次函数的最小值是﹣，C不正确；
D、﹣＝﹣，抛物线的对称轴是直线x＝﹣，D正确．
故选：D．
9．解：∵y＝﹣（x﹣h）2+3中a＝﹣1＜0，
∴当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小；
①若1≤h≤2，
则当x＝3时，函数取得最小值h，
即﹣（3﹣h）2+3＝h，
解得：h＝3（舍弃）或2；
若2≤h≤3，
则当x＝1时，函数取得最小值h，
即﹣（1﹣h）2+3＝h，
h＝2 或﹣1（舍弃）；
②若h＜1，则在1≤x≤3范围内，x＝3时，函数取得最小值h，
即﹣（3﹣h）2+3＝h，
解得：h＝2＞1（舍去）h＝3＞1（舍去）；
③若h＞3，则在1≤x≤3范围内，x＝1时，函数取得最小值h，
即﹣（1﹣h）2+3＝h，
h＝2（舍弃），h＝﹣1（舍弃）；
故选：B．
10．解：①当0≤t≤2时，如题干图所示，
EA＝FA＝HC＝GC＝t，
则S△AEF＝S△CGH＝×CH×CG＝t2，S△EDH＝S△BFG＝×BF×BG＝（2﹣t）（6﹣t），
则S＝S矩形ABCD﹣（S△AEF+S△CGH+S△EDH+S△BFG）＝12﹣[t2+（2﹣t）（6﹣t）]＝﹣2t2+8t，
函数对应的图象为开口向下的抛物线；
②当2＜t≤4，如下图：

则EH＝6﹣（t﹣2）﹣t＝8﹣2t＝GF，而EH∥FG，
故封闭图形EFGH为平行四边形，
则S＝EH×AD＝2×（8﹣2t）＝16﹣4t，
对应的图象为一次函数；
③当4＜t≤6时，
同理可得：S＝4x﹣16，
④当6＜t≤8时，
同理可得：S＝﹣2x2+24x﹣64，
函数对应的图象为开口向下的抛物线；
故选：D．
二．填空题
11．解：∵点A（a，5）与点B（﹣3，b）关于原点对称，
∴a＝3，b＝﹣5，
则a+b＝3﹣5＝﹣2．
故答案为：﹣2．
12．解：∵抛物线y＝2x2的图象向上平移1个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为y＝2x2+1．
故答案为：y＝2x2+1．
13．解：由旋转的性质得∠D＝∠B＝40°，AE＝AC，
∵∠CAE＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠ACE＝∠E＝60°，
∵∠ACE是△ACD的外角，
∴∠DAC＝∠ACE﹣∠D＝60°﹣40°＝20°．
故答案为：20°

14．解：∵正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形，
∴顶点处的周角被分成四个相等的角，360°÷4＝90°，
∴这个正方形绕着它的中心旋转90°的整数倍后，就能与它自身重合，
因此，这个角度至少是90度．
故答案为：90．
15．解：∵方程x2+x﹣2017＝0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣1，x12+x1﹣2017＝0
∴x12+x1＝2017
x12+2x1+x2＝（x12+x1）+（x1+x2）＝2017+（﹣1）＝2016
故答案为：2016．
16．解：抛物线过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
∴x＝﹣＝2，与x轴的另一个交点为（5，0），
即，4a+b＝0，故①正确；
当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即，9a+c＜3b，因此②不正确；
当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，因此③不正确；
抛物线与x轴的两个交点为（﹣1，0），（5，0），又a＜0，因此当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5，故④正确；
当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，
当x＝4时，y＝16a+4b+c＞0，
∴25a+7b+2c＞0，
又∵a＜0，
∴8a+7b+c＞0，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①④⑤，
故答案为：①④⑤．
三．解答题（共8小题）
17．解：这里a＝2，b＝3，c＝﹣1，
∵△＝9+8＝17，
∴x＝．
18．解：设该抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2﹣1，
∵该抛物线过点（﹣1，8），
∴a（﹣1﹣2）2﹣1＝8，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1；
（2）令y＝3，则（x﹣2）2﹣1＝3，
解得x＝4或x＝0，
∵a＝1，
∴抛物线开口向上，
∴当y＜3时，求x的取值范围是0＜x＜4．
19．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）A1（﹣5，﹣3），B1，（﹣1，﹣2），C1（﹣3，﹣1）．

20．（1）证明：∵△＝（2k+1）2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的解为x＝，即x1＝k，x2＝k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB＝k，AC＝k+1，且AB＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k＝5；
当AB＝k，AC＝k+1，且AC＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1＝5，解得k＝4，
综合上述，k的值为5或4．
21．解：（1）从图象看，抛物线的顶点为（3，3），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）2+3，
抛物线过原点，故当x＝0时，y＝a（0﹣3）2+3＝0，
解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x；

（2）当水面上升1m时，令y＝1，则y＝﹣x2+2x＝1，解得：x＝3，
故此时水面宽为3+﹣（3﹣）＝2（米），
则水面宽度减少6﹣2米．
22．（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠C，
∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，
∴A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，
在△BCF与△BA1D中，
，
∴△BCF≌△BA1D；
（2）解：四边形A1BCE是菱形，
∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，
∴∠A1＝∠A，
∵∠ADE＝∠A1DB，
∴∠AED＝∠A1BD＝α，
∴∠DEC＝180°﹣α，
∵∠C＝α，
∴∠A1＝α，
∴∠A1BC＝360°﹣∠A1﹣∠C﹣∠A1EC＝180°﹣α，
∴∠A1＝∠C，∠A1BC＝∠A1EC，
∴四边形A1BCE是平行四边形，
∵A1B＝BC，
∴四边形A1BCE是菱形．
23．解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
所以BP＝（12﹣2t）cm，
故答案为：2tcm，（12﹣2t）cm，4tcm；
（2）△PBQ的面积S＝
＝（12﹣2t）×4t
＝﹣4t2+24t＝32，
解得：t＝2或4，
即当t＝2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；
（3）S＝﹣4t2+24t
＝﹣4（t﹣3）2+36，
所以当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．
24．解：（1）证明：如图1，
延长BA，EM交于点F，即：△FAM即为所求，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE＝DE，∠CED＝60°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABC+∠CED＝180°，
∵B，C，E三点共线，
∴AB∥DE，
∴∠FAM＝∠MDE，∠MED＝∠F，
∵点M是AD中点，
∴AM＝DM，
∴△AMF≌△DME，
∴AF＝DE＝CE，FM＝ME，
∵AB＝BC，
∴BF＝BE，
∴BM⊥ME；
（2）证明：如图2，延长EM到点F，使MF＝ME，连接BF，AF，BE，
∵AM＝DM，∠FMA＝∠DME，
∴△AMF≌△DMF，
∴AF＝DE＝CE，∠FAD＝∠ADE，
在四边形BADE中，∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA＝360°，
∵∠ABC＝120°，∠CED＝60°，
∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE＝180°，
∵∠CBE+∠CEB+∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠BAD+∠ADE，
∴∠BCE＝∠BAF，
∵AB＝AC，
∴△AFB≌△CEB，
∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠ABC＝120°，∠BEF＝30°，
∴∠BME＝90°，BE＝2BM．
在△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝120°，∴∠BAC＝30°，
过点B作BG⊥AC于G，
∴BG＝，CG＝AG＝3，
∴EG＝CG+CE＝3+2＝5
在Rt△BCE中，根据勾股定理得，BE＝2，
∴BM＝；
（3）如图3，延长EM到点F，使MF＝ME，连接BF，AF，BM，
∵AM＝DM，∠FMA＝∠DME，
∴△AMF≌△DME，
∴AF＝DE＝CE，∠FAD＝∠ADE，
在四边形BADE中，∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA＝360°，
∵∠ABC＝120°，∠CED＝60°，
∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE＝180°，
∵∠CBE+∠CEB+∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠BAD+∠ADE，
∴∠BCE＝∠BAF，
∵AB＝CB，
∴△AFB≌△CEB，
∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠ABC＝120°，∠BEF＝30°，
∴∠BME＝90°，
∵点N是BE的中点，
∴MN＝BE，
即：BE＝2MN，
在△BCE中，BC＝2，CE＝CD＝2，
∴2﹣2＜BE＜2+2，
∴2﹣2＜2MN＜2+2，
即：﹣1≤MN≤+1，
故答案为：﹣1≤MN≤+1．

25.解：（1）由函数的表达式知，c＝﹣3，故OC＝3＝OA，则点A（﹣3，0），
将点A的坐标代入抛物线表达式得：9a﹣6a﹣3＝0，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；

（2）对于y＝x2+2x﹣3，令y＝0，即y＝x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，故点B（1，0），函数的对称轴为直线x＝﹣1，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y＝﹣x﹣3，
过点P作PH∥y轴交AC于点H，

设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3）
则△ACP面积＝S△PHA+S△PHC＝×PH×OA＝（﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3）＝﹣（x2+3x），
∵＜0，故△ACP面积有最大值，当x＝﹣时，△ACP面积的最大值为，
此时点P（﹣，﹣）；

（3）对于y＝x2+2x﹣3，函数的对称轴为x＝﹣1，
令y＝0，即y＝x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，
故点C（﹣3，0），
设点F（m，n），即n＝m2+2m﹣3①，点E（﹣1，t），
①当AB是边时，
点A向右平移4个单位得到点B，同样点F（E）向右平移4个单位得到点E（F），
即m±4＝﹣1②，
联立①②并解得或，
故点F的坐标为（﹣5，12）或（3，12）；
②当AB是对角线时，
由中点公式得：（1﹣3）＝（m﹣1）③，
联立①③并解得，
故点F的坐标为（﹣1，﹣4）；
综上，点F的坐标为（﹣5，12）或（3，12）或（﹣1，﹣4）．