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    2020年高考数学一轮复习教案:第7章 第2节 空间几何体的表面积与体积(含解析)

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    2020年高考数学一轮复习教案:第7章 第2节 空间几何体的表面积与体积(含解析)

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    第二节 空间几何体的表面积与体积[考纲传真] 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.1多面体的表()面积因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和,表面积是侧面积与底面面积之和.2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧rlS圆锥侧πrlS圆台侧π(r1r2)l3.柱、锥、台和球的表面积和体积    名称几何体   表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S2SVSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积SSVSh台体(棱台和圆台)S表面积SSSV(SS)hSR2VπR31正四面体的表面积与体积棱长为a的正四面体,其表面积为a2,体积为a3.2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a,球的半径为R若球为正方体的外接球,则2Ra若球为正方体的内切球,则2Ra若球与正方体的各棱相切,则2Ra.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为abc,外接球的半径为R,则2R.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31,棱长为a的正四面体,其内切球半径Ra,外接球半径Ra.[基础自测]1(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积. (  )(2)球的体积之比等于半径比的平方. (  )(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差. (  )(4)已知球O的半径为R,其内接正方体的边长为a,则Ra. (  )[答案] (1)× (2)× (3) (4)2(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为(  )A1 cm   B2 cm   C3 cm   D. cmB [Sπr2πrlπr2πr·2rr212πr24r2(cm)]3.圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则球的体积与圆柱的体积比VV(  )A12         B23   C34   D13B [设球的半径为R..]4(教材改编)某几何体的三视图如图所示:则该几何体的体积为(  )A6         B3   C2   D3B [由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,其底面为侧视图,该侧视图是底边为2,高为的三角形,正视图的长为三棱柱的高,故h3,所以几何体的体积VS·h×33.]5.如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________147 [设长方体的相邻三条棱长分别为abc,它截出棱锥的体积为V1××a×b×cabc,剩下的几何体的体积V2abcabcabc,所以V1V2147.]空间几何体的表面积 【例1】 (1)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是(  )A48π      B48πC48   D48(2)(2018·全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(  )A12π          B12πC8π   D10π(1)A (2)B [(1)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球,正四棱柱的底面是正方形(边长为2),高为5,半球的半径是1,那么该几何体的表面积为S2×2×22×4×5π×12×1248π,故选A.(2)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,所以圆柱的高为2,底面圆的直径为2,所以该圆柱的表面积为2×π×()2××212π.][规律方法] 空间几何体表面积的求法1表面积是各个面的面积之和,求多面体的表面积,只需将它们沿着棱剪开展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.求旋转体的表面积,可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系.2求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体,先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差,求出几何体的表面积. (1)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是(  )A1          B12C2   D2(2)(2016·全国卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(  )A1836B5418C90D81(1)C (2)B [(1)由题意知题中的几何图形就是如图所示的四面体,其中ABADCBCDBD2,且平面ABD平面CBD.所以ABDCBD都是等腰直角三角形,而ABCCAD都是边长是的等边三角形.所以表面积是×××2×()2×22,故选C.(2)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱,其中有两个侧面为矩形,另两个侧面为平行四边形,则表面积为(3×33×63×3)×25418.故选B.] 空间几何体的体积 考法1 公式法求体积【例2】 (1)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)(  )A.1      B.3C.1   D.3(2)(2018·江苏高考)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________(1)A (2) [(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1,高为3的半个圆锥和三棱锥S ­ABC组成的,如图,三棱锥的高为3,底面ABC中,AB2OC1ABOC.故其体积V××π×12×3××2×1×31.故选A.(2)正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体,其中正八面体的所有棱长都是,则该正八面体的体积为×()2×1×2.]考法2 割补法求体积【例3】 (1)(2017·全国卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为(  )A90π          B63πC42π   D36π(2)如图所示,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且ADEBCF均为正三角形,EFABEF2,则该多面体的体积为(  )A.   B.C.   D.(1)B (2)A [(1)法一(割补法)如图所示,由几何体的三视图,可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得.将圆柱补全,并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分.由图可知,该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的,所以该几何体的体积Vπ×32×4π×32×6×63π.故选B.法二(估值法)由题意,知V圆柱V几何体V圆柱.V圆柱π×32×1090π45πV几何体90π.观察选项可知只有63π符合.故选B.(2)法一:如图所示,分别过ABEF的垂线,垂足分别为GH,连接DGCH,则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱,因为三棱锥高为,直三棱柱高为1AGAD的中点M,则MG所以SAGD×1×所以V×12×××.法二:如图所示,取EF的中点P,则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥,易知三棱锥P­AED和三棱锥P­BCF都是棱长为1的正四面体,四棱锥P­ABCD为棱长为1的正四棱锥.所以V×12×2×××.]考法3 等积法求体积【例4】 如图所示,已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1底面ABC,则三棱锥B1­ABC1的体积为(  )A.   B.C.   D.A [三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积,三棱锥A­B1BC1的高为,底面积为,故其体积为××.][规律方法] 求空间几何体的体积的常用方法1公式法:对于规则几何体的体积问题,可以直接利用公式进行求解.2割补法:把不规则的图形分割成规则的图形,然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算其体积.3等体积法:一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时,我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决有关锥体的体积,特别是三棱锥的体积. (1)(2019·洛阳模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )A2    B1   C.    D.(2)(2018·天津高考)如图,已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1­BB1D1D的体积为________(1)C (2) [(1)几何体如图,由三视图得底面为对角线为2的正方形,高为1,所以体积为××2×1×2×1,故选C.(2)法一:连接A1C1B1D1于点E(图略),则A1EB1D1A1EBB1,则A1E平面BB1D1D,所以A1E为四棱锥A1­BB1D1D的高,且A1E,矩形BB1D1D的长和宽分别为1,故VA1­BB1D1D×1××.法二:连接BD1(图略),则四棱锥A1­BB1D1D分成两个三棱锥B­A1DD1B­A1B1D1VA1­BB1D1DVB­A1DD1VB­A1B1D1××1×1×1××1×1×1.] 球与空间几何体的切、接问题 考法1 外接球【例5】 (1)(2017·全国卷)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(  )Aπ    B.    C.    D.(2)(2018·全国卷)ABCD是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D­ABC体积的最大值为(  )A12         B18   C24   D54(1)B (2)B [(1)设圆柱的底面半径为r,球的半径为R,且R1,由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,rR及圆柱的高的一半构成直角三角形.r.圆柱的体积为Vπr2hπ×1.故选B.(2)如图,EAC中点,MABC的重心,O为球心,连接BEOMODBO.因为SABCAB29,所以AB6BMBE2.易知OM平面ABC,所以在RtOBM中,OM2,所以当DOM三点共线且DMODOM时,三棱锥D­ABC的体积取得最大值,且最大值VmaxSABC×(4OM)×9×618.故选B.]考法2 内切球【例6】 (1)(2017·江苏高考)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是________(2)已知棱长为a的正四面体,则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为________(1) (2) [(1)设球O的半径为RO与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切,圆柱O1O2的高为2R,底面半径为R..(2)正四面体的表面积为S14××a2a2,其内切球半径r为正四面体高的,即r×aa,因此内切球表面积为S2r2,则.][规律方法] 空间几何体与球接、切问题的求解方法1求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.2若球面上四点PABC构成的三条线段PAPBPC两两互相垂直,且PAaPBbPCc,一般把有关元素补形成为一个球内接长方体,利用4R2a2b2c2求解. (1)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨、加工成球,则能得到的最大球的半径等于(  )A1    B2    C3    D4(2)正四棱锥P­ABCD的侧棱和底面边长都等于2,则它的外接球的表面积是(  )A16π         B12π   C   D(1)B (2)A [(1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱,底面为直角三角形,高为12,如图所示,其中AC6BC8ACB90°,则AB10.要使该石材加工成的球的半径最大,只需球与直三棱柱的三个侧面都相切,则半径r等于直角三角形ABC的内切圆半径,即r2,故能得到的最大球的半径为2,故选B.(2)设正四棱锥的外接球半径为R,顶点P在底面上的射影为O(图略),因为OAAC2,所以PO2.OAOBOCOD2,由此可知R2,于是SR216π.]1(2016·全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(  )A20π       B24πC28π   D32πC [由三视图可知,该几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的组合体,上面是一个圆锥,圆锥的高是2,底面半径是2,因此其母线长为4,下面圆柱的高是4,底面半径是2,因此该几何体的表面积是Sπ×22×2×4π×2×428π,故选C.]2(2015·全国卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?其意思为:在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(  )A14          B22C36   D66B [设米堆的底面半径为r尺,则r8,所以r,所以米堆的体积为V×π·r2·5×2×5(立方尺).故堆放的米约有÷1.6222().故选B.]3(2018·全国卷)在长方体ABCD­A1B1C1D1中,ABBC2AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为(  )A8          B6C8   D8C [连接BC1AC1AC.因为AB平面BB1C1C,所以AC1B30°ABBC1,所以ABC1为直角三角形.又AB2,所以BC12.B1C12,所以BB12,故该长方体的体积V2×2×28.]4(2017·全国卷)长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为________14π [长方体的顶点都在球O的球面上,长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径.设球的半径为R2R.O的表面积为SR2×14π.] 

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