2020高考数学一轮复习检测：第1章 第6节　二次函数与幂函数(含解析)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4，2)，若f(m)＝3，则实数m的值为(　　)

A.　　　　　　　 B．±

C．±9  D．9

解析：选D.由f(4)＝4α＝2可得α＝，即f(x)＝x，f(m)＝m＝3，则m＝9.

2．(2018·茂名模拟)已知幂函数f(x)＝xa的图象过点，则函数g(x)＝(2x－1)f(x)在区间上的最小值是(　　)

A．－1  B．0

C．－2  D．

解析：选B.由题设3a＝⇒a＝－1，故g(x)＝(2x－1)x－1＝2－在上单调递增，则当x＝时取最小值g＝2－2＝0.

3．(2018·济南统考)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　)

A．[0，4]  B．

C.  D．

解析：选D.二次函数y＝x2－3x－4的图象的对称轴为直线x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，结合图象易得m∈.

4．(2018·福州模拟)函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则(　　)

A．f(1)≥25  B．f(1)＝25

C．f(1)≤25  D．f(1)＞25

解析：选A.函数f(x)＝4x2－mx＋5的单调递增区间为，由已知可得≤－2，得m≤－16，所以f(1)＝4×12－m×1＋5＝9－m≥25.

5．(2018·赣州模拟)函数y＝ax(a＞0，a≠1)与y＝xb的图象如图，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．ba＞0  B．a＋b＞0

C．ab＞1  D．loga2＞b

解析：选D.由图象可知a＞1，b＜0，故loga2＞0，所以loga2＞b.

6．(2018·郑州模拟)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)

解析：选D.A项，因为a＜0，－＜0，所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＞0，由图象知f(0)＝c＜0，故A项不可能；B项，因为a＜0，－＞0，所以b＞0，又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B项不可能；C项，因为a＞0，－＜0，所以b＞0，又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C项不可能；D项，因为a＞0，－＞0，所以b＜0，又因为abc＞0，所以c＜0，由图象知f(0)＝c＜0.故选D.

7．(2018·衡阳模拟)设二次函数f(x)＝ax2－4ax＋c在区间[0，2]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，0]  B．(－∞，0]∪[2，＋∞)

C．[2，＋∞)  D．[0，4]

解析：选D.二次函数f(x)＝ax2－4ax＋c在区间[0，2]上单调递减，又因为它的对称轴是直线x＝2，所以a＞0，即函数图象的开口向上，所以f(0)＝f(4)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤4.

8．(2018·上海卷)已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．

解析：∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1.

答案：－1

9．(2017·北京卷)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．

解析：x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2＋，x∈[0，1]，所以当x＝0或1时，x2＋y2取最大值1；当x＝时，x2＋y2取最小值.

因此x2＋y2的取值范围为.

答案：

10．(2018·深圳模拟)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意知2ax2＋2x－3＜0在[－1，1]上恒成立．

当x＝0时，－3＜0，符合题意；

当x≠0时，a＜－，

因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，

所以当x＝1时，右边取最小值，所以a＜.

综上，实数a的取值范围是.

答案：

B级　能力提升练

11．(2017·浙江卷)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　　)

A．与a有关，且与b有关

B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关

D．与a无关，但与b有关

解析：选B.设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.

∴M－m＝x－x＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．故选B.

12．(2018·厦门模拟)已知函数f(x)＝tx，g(x)＝(2－t)x2－4x＋1.若对于任意实数x，f(x)与g(x)中至少有一个为正数，则实数t的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2)∪(0，2]　　　 B．(－2，2]

C．(－∞，－2)  D．(0，＋∞)

解析：选A.对于(2－t)x2－4x＋1＝0，Δ＝16－4(2－t)×1＝8＋4t.当t＝0时，f(x)＝0，Δ＞0，g(x)有正有负，不符合题意，故排除B；当t＝2时，f(x)＝2x，g(x)＝－4x＋1，符合题意，故排除C；当t＞2时，f(x)＝tx，g(x)＝(2－t)x2－4x＋1，当x趋近于－∞时，f(x)与g(x)都为负值，不符合题意，故排除D，选A.

13．(2018·临沂质检)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且a＞b＞c，a＋b＋c＝0，集合A＝{m|f(m)＜0}，则(　　)

A．∀m∈A，都有f(m＋3)＞0

B．∀m∈A，都有f(m＋3)＜0

C．∃m0∈A，使得f(m0＋3)＝0

D．∃m0∈A，使得f(m0＋3)＜0

解析：选A.由a＞b＞c，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0，

且f(1)＝0，f(0)＝c＜0，

即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，

当x＞1时，f(x)＞0.

由a＞b，得1＞，

设方程ax2＋bx＋c＝0的另一个根为x1，

则x1＋1＝－＞－1，即x1＞－2，

由f(m)＜0可得－2＜m＜1，

所以1＜m＋3＜4，

由抛物线图象可知，f(m＋3)＞0，选A.

14．(2018·西安二模)已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函数图象上任意不同的两点，给出以下结论：

①x1f(x1)＞x2f(x2)；②x1f(x1)＜x2f(x2)；

③xf(x1)＞xf(x2)；④xf(x1)＜xf(x2)．

其中正确结论的序号是(　　)

A．①③  B．①④

C．②③  D．②④

解析：选C.设函数f(x)＝xα，

依题意有＝2，

所以α＝－，因此f(x)＝x－.

令g(x)＝xf(x)＝x·x－＝x，

则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，而0＜x1＜x2，

所以g(x1)＜g(x2)，即x1f(x1)＜x2f(x2)，故①错误，②正确；

令h(x)＝＝＝x－，

则h(x)在(0，＋∞)上单调递减，而0＜x1＜x2，

所以h(x1)＞h(x2)，

即＞，

于是xf(x1)＞xf(x2)，

故③正确，④错误，故选C.

15．(2018·杭州模拟)已知函数f(x)＝x2－2tx＋1，在区间[2，5]上单调且有最大值为8，则实数t的值为________．

解析：函数f(x)＝x2－2tx＋1图象的对称轴是x＝t，函数在区间[2，5]上单调，故t≤2或t≥5.

若t≤2，则函数f(x)在区间[2，5]上是增函数，

故f(x)max＝f(5)＝25－10t＋1＝8，

解得t＝；

若t≥5，函数f(x)在区间[2，5]上是减函数，

此时f(x)max＝f(2)＝4－4t＋1＝8，

解得t＝－，与t≥5矛盾．

综上所述，t＝.

答案：

16．(2018·河北衡水模拟)已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，对任意的x1∈[－1，2]都存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．

解析：当x0∈[－1，2]时，由f(x)＝x2－2x得f(x0)∈[－1，3]，又对任意的x1∈[－1，2]都存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)，所以当x1∈[－1，2]时，g(x1)∈[－1，3]．当a＞0时，解得a≤.

综上所述，实数a的取值范围是.

答案：

C级　素养加强练

17．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．

(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，

F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；

(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．

解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，

且－＝－1，

解得a＝1，b＝2，

∴f(x)＝(x＋1)2.

∴F(x)＝

∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.

(2)f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，

即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立．

又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.

∴－2≤b≤0.

故b的取值范围是[－2，0]．