湖南师大附中2021届高三年级上学期第二次月考（数学） 试卷

湖南师大附中2021届高三年级上学期第二次月考数  学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。时量120分钟。满分150分。第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A．      B．C．       D．2．若，则A．    B．    C．    D．3．已知，则A．    B．    C．    D．4．刘徽（约公元225—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为A．    B．    C．    D．5．的展开式的常数项是A．-3            B．-2         C．2          D．36．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹（一根根同样长短和粗细的小棍子）来进行运算．算筹的摆放有纵式、横式两种（如图所示）．当表示一个多位数时，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹应表示为7．对任意实数，给出下列命题：①“”是“”充要条件；②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；③“”是“”的充分条件；④“”是“”的必要条件．其中真命题的个数是A．1        B．2       C．3       D．48．四棱锥的底面是矩形，侧面平面，，，则该四棱锥外接球的体积为A．    B．   C．   D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，考生成绩都分布在内，并作出了如下频数分布统计表，规定考试成绩在内为优秀，则下列说法正确的有 分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]甲校频数348151532乙校频数128910103A．计算得B．估计甲校优秀率为25%，乙校优秀率为40%C．估计甲校和乙校众数均为120D．估计乙校的数学平均成绩比甲校高10．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是A．函数在上单调递增B．函数的图象关于点成中心对称C．函数的图象向右平移个单位后关于直线成轴对称D．若圆半径为，则函数的解析式为11．正方体中，是棱的中点，在侧面上运动，且满足平面．以下命题正确的有A．侧面上存在点，使得B．直线与直线所成角可能为30°C．平面与平面所成锐二面角的正切值为D．设正方体棱长为1，则过点的平面截正方体所得的截面面积最大为12．如图，过点作两条直线和分别交抛物线于和（其中位于轴上方），直线交于点．则下列说法正确的是A．两点的纵坐标之积为-4B．点在定直线上C．点与抛物线上各点的连线中，最短D．无论旋转到什么位置，始终有 第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图所示，在平面直角坐标系中，，则点的坐标为     .14．已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则=       .15．过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若以为直径的圆恰好过其上焦点，则双曲线的离心率为       ．16．已知函数其中e为自然对数的底数．若函数 有3个不同的零点，则实数的取值范围是        ． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知的内角的对边分别为，而且      ．(1)求；(2)求周长的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.    18．（本小题满分12分）如图1，在中，，，为的中点，将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，二面角为直二面角．(1)求证：平面平面；(2)设为的中点，，求二面角的余弦值．        19．（本小题满分12分）已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)求出所有的正整数，使得  20．（本小题满分12分）设函数，其中(1)若，证明：当时，；(2)若在区间内有两个不同的零点，求的取值范围.  21．（本小题满分12分）现有4个人去参加某项娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望  22．（本小题满分12分）已知点是圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当在圆周上运动时，设点的运动轨迹为(1)求点的轨迹的方程；(2)若点在双曲线（顶点除外）上运动，过点的直线与曲线相交于，过点的直线与曲线相交于，试探究是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说明理由．  数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C2．C【解析】因为，所以选C．3．A4．A【解析】将一个单位圆等分成180个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为2°，因为这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积，所以，所以，所以选A.5．D【解析】第一个因式取，第二个因式取得：，第一个因式取2，第二个因式取得：，展开式的常数项是6．C【解析】由算筹的定义，得，所以8771用算筹应表示为，故选C．7．B【解析】①“是”的充要条件；错误，当时不成立；②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；成立；③“是”的充分条件，错误，当时，不成立；④“是”的必要条件，成立，选B．8．B【解析】取的中点，连接中，，设的中心为，球心为，则，设到平面的距离为，则，四棱锥的外接球的体积为 故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．ABD【解析】对于A，甲校抽取人，乙校抽取人，故；故A正确；对于B，估计甲校优秀率为，乙校优秀率为．故B正确；对于D，甲校平均成绩109.5，乙校平均成绩114.6，故D正确．10．BD【解析】由图易得点的横坐标为，所以的周期，所以，又，所以，因此．函数的图象关于点成中心对称，若圆半径为，则，，函数的解析式为，故选BD.11．AC【解析】取中点中点，连接，则易证得，从而平面平面，所以点的运动轨迹为线段取为的中点，因为是等腰三角形，所以，又因为，所以，故A正确；设正方体的棱长为，当点与点或点重合时，直线与直线所成角最大，此时，所以B错误；平面平面，取为的中点，则，，即为平面与平面所成的锐二面角，，所以C正确；截面面积可以为，故D错误，故选AC.12．AB【解析】设点，将直线的方程代入抛物线方程得：．则．故A正确；由题得，直线的方程为，直线的方程为，消去得，将代入上式得，故点在直线上，故B正确；计算可得C错误；因为，但，所以D错误．故选AB. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(4，1)【解析】设点的坐标为，则，即解得14．【解析】函数的导数为，可得曲线 在处的切线的斜率为，由切线与直线平行，可得，解得15．【解析】过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，则，以为直径的圆恰好过其上焦点，可得：，，可得，解得，（舍去）．故答案为：16．【解析】令，则，所以当时，，当时，，于是函数在区间上单调递减，在区间(0，1)上单调递增，当时，，，．令，则，所以当时，；当时，，于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，，当时，．函数有3个不同的零点，等价于方程有3个解，即函数的图象与直线有3个交点，作出函数与直线的大致图象，如下图所示.当直线与函数相切时，设切点坐标为，根据导数的几何意义可得：，解得：，要使得函数的图象与直线有3个交点，数形结合可知的取值范围为．故答案为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．【解析】(1)选①，把整理得，，由余弦定理有，，……………………5分选②，，由正弦定理得：，，即，又，，故，即，………………………5分选③，，由正弦定理得：，即，，，；  ……………………5分 (2)由(1)可知，，在中，由余弦定理得，即，，，当且仅当时取等号，，即周长的最大值为. ……………………10分 18．【解析】(1)证明：在中，，为中点，，又，，，二面角为直二面角，平面平面平面又平面平面平面 …………………5分(2)以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可求得,，因为为的中点，，所以,, ,,,设平面的法向量为，平面的法向量为，则得,得,，所以二面角的余弦值为.  ……………12分 19．【解析】(1)设前6项的公差为，则, ,成等比数列，,解得：, （舍），时，,, ，则, 时，, …………………6分(2)由(1)可得：则当时，,当时，, ,当时，,当时，, , ,当时，假设存在，使得,则有即：,, ,，从而无解，时，不存在这样的，使得,综上所述：或.   …………………………12分 20．【解析】(1),由，得,,则，即在上为增函数.故，即.   …………………………4分 (2)由，得设函数, , 则令，得则时，, 时，,所以在上单调递增，在上单调递减.又因为, , ,所以当时，方程在区间内有两个不同解，即所求实数的取值范围为.    …………………………12分 21．【解析】(1)依题意可得：参加甲游戏的概率为,参加乙游戏的概率为,设事件为“有个人参加甲游戏”，,.    ……………………………4分(2)设事件为“甲游戏人数大于乙游戏人数”，,. ………………8分(3)可取的值为0，2，4，,,,024.    . …………………12分 22．【解析】(1)依题意：，……………………1分且，………………………2分由椭圆定义知点的轨迹为以为焦点，长轴长为，焦距为4的椭圆，即：，………………………3分故 . ……………………4分(2)设，则, ,直线的斜率都存在，分别设为,则，…………………6分将直线的方程代入得,设, ，则, .  ……………………8分，………………9分同理可得，………………………10分  …………………………12分