模板十一：数列的通项与求和 试卷

模板十一：数列的通项与求和

模板

构建

数列的通项与求和问题的解题步骤如下:

典型

例题

（2020·重庆市高三三模）已知数列满足，.

（1）若.

①设，求证：数列是等比数列；

②若数列的前项和满足，求实数的最小值；

（2）若数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，且，，求数列的通项公式.

试题

解析

（1）①因为，且，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列.

②由①知，，

所以

，

则，所以是以6为首项，为公比的等比数列，

所以.

当时，有最大值6，所以实数的最小值为6.

（2）设奇数项所成等差数列的公差为，偶数项所成等差数列的公差为

①当为奇数时， ，，

则，即，

所以，故.

②当为偶数时，，，

则，即，

所以，故.

综上可得，.

又，所以.

所以当为奇数时，；

当为偶数时，.

故数列的通项公式为，.

题后

反思

本题考查等差、等比数列的综合应用，涉及到构造法证明数列是等比数列、累加法求数列的通项、等比数列的求和公式、分类讨论求等差数列的通项，考查学生的数学运算求解能力.

针对训练*举一反三

1．（2020·陕西省安康中学高三三模）在等差数列中，，且、、成等比数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列的公差不为，设，求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ），或；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）设数列的公差为.因为，，成等比数列，所以，

又，所以，即

解得或.

当时，.

当时，.

（Ⅱ）因为公差不为，由（Ⅰ）知，则，

所以.

2．（2020·江苏省高三三模）已知数列满足.

（1）若数列的首项为，其中，且，，构成公比小于0的等比数列，求的值；

（2）若是公差为d(d＞0)的等差数列的前n项和，求的值；

（3）若，，且数列单调递增，数列单调递减，求数列的通项公式.

【答案】（1）（2）（3）

【解析】（1）由题意知：，所以，

解得：；

（2）由题意知：，，

所以对任意均成立，其中d＞0，

所以，解得，

所以.

此时，对任意均成立，故；

（3）由题意知：，，

故时，，

时，，

则：，

故，

即n为奇数时，，

又n为奇数时，，所以，

即n为偶数时，，综上，.

3．（2020·浙江省高三二模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知：a5＝2a2+3且a2，，a14成等比数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设正项数列{bn}满足bn2Sn+1＝Sn+1+2，求证：b1+b2+…+bn＜n+1．

【答案】（Ⅰ）an＝2n﹣1；（Ⅱ）详见解析．

【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由可得，

又，，成等比数列，可得，

即，且，

解得，，

则；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，

由，可得，

由

，

故.

得证.

4．（2020·宁夏回族自治区高三三模）为数列的前项和．已知，．

（1）证明是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）数列为等差数列，且，求数列的前项和．

【答案】（1）见解析，．（2）．

【解析】（1）证明：因为，所以．又，

所以是以为首项，以2为公比的等比数列．

∵，

∴．

当时，；经检验，也符合．

∴．

（2）∵数列为等差数列，且，

∴公差．

∴．

∵，

∴．

5．（2020·四川省高三二模）已知等差数列满足，公差，等比数列满足，，．

求数列，的通项公式；

若数列满足，求的前项和．

【答案】，；.

【解析】由题意知，，公差，有1，，成等比数列，

所以，解得．

所以数列的通项公式．

数列的公比，其通项公式．

当时，由，所以．

当时，由，，

两式相减得，

所以．

故

所以的前项和

，．

又时，，也符合上式，故.

6．（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，，，，恰为等比数列的前3项．

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前项和为；若对均满足，求整数的最大值；

（3）是否存在数列满足等式成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），（2），的最大整数是673．（3）存在，

【解析】（1）由题，当时，，即

当时，    ①         ②

①-②得，整理得，又因为各项均为正数的数列．

故是从第二项的等差数列，公差为1．

又恰为等比数列的前3项，

故，解得．又，

故，因为也成立．

故是以为首项，1为公差的等差数列．故．

即2，4，8恰为等比数列的前3项，故是以为首项，公比为的等比数列，故．综上，

（2）令，则

所以数列是递增的，

若对均满足，只要的最小值大于即可

因为的最小值为，

所以，所以的最大整数是673．

（3）由，得

，

    ③

   ④

③-④得，   ⑤，

    ⑥

⑤-⑥得，，

所以存在这样的数列，

7．（2020·甘肃省高三二模）数列满足，是与的等差中项.

（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）见解析，（2）

【解析】（1）由已知可得，即，可化为，故数列是以为首项，2为公比的等比数列.

即有，所以.

（2）由（1）知，数列的通项为：，

故.

8．（2020·北京首都师大二附高三二模）已知，均为给定的大于1的自然数，设集合，

．

（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；

（Ⅱ）当时，，且集合满足下列条件：

①对任意，；

②．

证明：（ⅰ）若，则（集合为集合在集合中的补集）；

（ⅱ）为一个定值（不必求出此定值）；

（Ⅲ）设，，，其中，，若，则．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）详见解析．（ⅱ）详见解析.（Ⅲ）详见解析.

【解析】（Ⅰ）解：当，时，，，，，．．

（Ⅱ）证明：（i）当时，，2，3，，，

又，，，，，，

必然有，否则，而，与已知对任意，矛盾．

因此有．

（ii）．

．

，

为定值．

（iii）由设，，，，其中，，，2，，．，

．

．

9．（2020·广东省高三二模）设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为．若成等比数列．

（1）求及；

（2）设，求数列前项和.

【答案】(1) ,;(2) .

【解析】(1)解:设的公差为,则,

成等比数列   即, 解得.

,.

(2)解: 且

10．（2020·广西省高三二模）设数列（任意项都不为零）的前项和为，首项为，对于任意，满足.

（1）数列的通项公式；

（2）是否存在使得成等比数列，且成等差数列？若存在，试求的值；若不存在，请说明理由；

（3）设数列，，若由的前项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数的最大值.

【答案】（1）；（2）存在，；（3）

【解析】（1）数列是非零数列，.

当时，，；

当且时，，，

是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公差为的等差数列，

，，

.

（2）设存在，满足题意，

成等比数列，；

成等差数列，，

消去可得：，，

，，，解得：，

，，，，.

（3）若是单调递增数列，则为偶数时，恒成立，

两边取自然对数化简可得：，显然，

设，则，

当时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

在处取得极大值，

当时，是递减数列，又，是的最大值，

；

设，则，

是递减数列，当时，，当时，，

当时，存在，使得恒成立；

当时，不成立，

至多前项是递增数列，即正整数的最大值是.