数学七年级下册第五章 相交线与平行线综合与测试练习

这是一份数学七年级下册第五章 相交线与平行线综合与测试练习，共68页。试卷主要包含了相交线，垂线，同位角，平行线及其判定，平行线的性质及平移等内容，欢迎下载使用。
相交线与平行线
目录
一、相交线，垂线
二、同位角、内错角、同旁内角
三、平行线及其判定
四、平行线的性质及平移
五、《相交线与平行线》全章复习与巩固
一、相交线，垂线基础知识讲解
【要点梳理】
知识点一、邻补角与对顶角
1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．
要点诠释：
(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．
(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．
(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.

2. 对顶角及性质：
（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．
（2）性质：对顶角相等．
要点诠释：
(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．
(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.
3. 邻补角与对顶角对比：
角的名称

特 征

性 质

相 同 点

不 同 点
对顶角

①两条直线相交形成的角；
②有一个公共顶点；
③没有公共边.

对顶角相等.


①都是两条直线相交而成的角；
②都有一个公共顶点；
③都是成对出现的.

①有无公共边；
②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对.

邻补角


①两条直线相交而成；
②有一个公共顶点；
③有一条公共边.

邻补角互补.









知识点二、垂线
1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．

要点诠释：
(1)记法：直线a与b垂直，记作：；
直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.
(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：
CD⊥AB．
2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．

要点诠释：
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
3．垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
要点诠释：
（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．
（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
要点诠释：
（1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．
【典型例题1】
类型一、邻补角与对顶角
1．如图所示，M、N是直线AB上两点，∠1＝∠2，问∠1与∠2，∠3与∠4是对顶角吗? ∠1与∠5，∠3与∠6是邻补角吗？

【答案与解析】
解：∠1和∠2，∠3和∠4都不是对顶角．∠1与∠5，∠3与∠6也都不是邻补角．
【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角．
举一反三：
【变式】判断正误：
（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角. （ ）
（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（ ）
(3)有一条公共边的两个角是邻补角. （ ）
(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补. （ ）
(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（ ）
【答案】(1)× （2）× （3）× （4）√ （5）×，反例：∠AOC为120°，射线OB为∠AOC的角平分线，∠AOB与∠AOC互补，且有边公共为AO，公共顶点为O，但它们不是邻补角.
2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数

【答案与解析】
解：∵ ∠1是∠2的邻补角，∠1＝65°，
∴ ∠2＝180°－65°＝115°．
又∵ ∠1和∠3是对顶角，∠2与∠4是对顶角
∴ ∠3＝∠1＝65°， ∠4＝∠2＝115°．
【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角；(2)求出∠2后用 “对顶角相等”，求∠3和∠4．
举一反三：
【变式】如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，则∠AON的度数为　　度．

【答案】145．
解：∵∠BOC=110°，
∴∠BOD=70°，
∵ON为∠BOD平分线，
∴∠BON=∠DON=35°，
∵∠BOC=∠AOD=110°，
∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°.
3. 任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．
【答案与解析】
解：如图，

任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；
②有公共顶点，角的两边互为反向延长线．
这6对角为∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4，∠3与∠4，其中∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°．在位置上∠1与∠3，∠2与∠4是对顶角，∠1与∠2，∠3与∠4，∠l与∠4，∠2与∠3是邻补角．
【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角
类型二、垂线
4．下列语句中，正确的有 ( )
①一条直线的垂线只有一条；
②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；
③两直线相交，则交点叫垂足；
④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】正确的是：②④
【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.
举一反三：
【变式1】直线外有一点P，则点P到直线的距离是( ).
A．点P到直线的垂线的长度.
B．点P到直线的垂线段.
C．点P到直线的垂线段的长度.
D．点P到直线的垂线.
【答案】C
5.如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（　　）

　 A．35° B． 45° C． 55° D． 65°
【答案】C．
【解析】解：∵∠1=145°，
∴∠2=180°﹣145°=35°，
∵CO⊥DO，
∴∠COD=90°，
∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.
【总结升华】本题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40°,
则∠EOF=_______.

【答案】130°．
6.如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（　　）

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【思路点拨】根据垂线段最短可得答案．
【答案】A．
【解析】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，故选：A．
【总结升华】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．

举一反三：
【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线的垂线，这样的垂线能画出几条?
(2)经过直线上一点A画的垂线，这样的垂线能画出几条?
(3)经过直线外一点B画的垂线，这样的垂线能画出几条?
【答案】
解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．


【典型例题】（进阶）
类型一、邻补角与对顶角
1．如图所示，AB和CD相交于点O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，试说明OM和ON成一条直线。

【答案与解析】
解：∵ OM平分∠AOC，ON平分∠BOD（已知），
∴ ∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON（角平分线定义）。
∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），∴∠AOM=∠BON（等量代换）。
∵∠AON+∠BON=180°（邻补角定义），∴∠MON=∠AON+∠AOM=180°（等量代换），
∴ OM和ON共线。
【总结升华】要得出OM和ON成一条直线，就要说明∠MON是平角，从图中可以看出∠AON是∠MON和平角∠AOB的公共部分，所以只要证明它们的非公共部分相等，即∠AOM和∠BON相等，本题得证。
2.如图所示，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2:∠1＝4:l，求．

【答案与解析】
解：设∠1＝x，则∠2＝4x．
∵ OE平分∠BOD，∴ ∠BOD＝2∠1＝2x．
∵ ∠2+∠BOD＝180°，即4x+2x＝180°，∴ x＝30°．
∵ ∠DOE+∠COE＝180°，∴ ∠COE＝150°．
又∵ OF平分∠COE，∴ ∠COF＝∠COE＝75°．
∵ ∠AOC＝∠BOD＝60°，∴ ∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°．
【总结升华】涉及有比值的题设条件，如a:b＝m:n，在解题时设，，这是常用的用方程思想解题的方法．
举一反三：
【变式】已知α的补角是一个锐角，有3人在计算时的答案分别是32°、87°、58°，其中只有一个答案是正确的，求的度数．
【答案】
解法1：∵ α的补角是一个锐角，
∴ α是一个钝角，即90°＜α＜180°，
∴ ．
由已知三人计算出的答案分别为32°、87°、58°，
可知．
∴ ．
解法2：由题意可知是一个钝角，即．
如果，那么，不满足；
如果，那么，不满足；
如果，那么，满足，
所以此人计算的答案正确．所以．
【总结升华】在处理数学问题中的误选答案问题时，常采用验算法，如本题的解法2：先利用假设求出相应的α的度数，再验证是否正确．
3.（1）如图（1），已知直线a、b相交于点 O，则（1）图中共有几对对顶角?几对邻补角？
（2）如图（2），已知直线a、b、c、d是经过点O的四条直线，则图（2）中共有几对对顶角（不含平角）?几对邻补角？





【答案与解析】
解：（1）2对对顶角，4对邻补角。
（2）将图（2）拆分为下图：






通过观察图形．不难发现a、b、c、d四条直线两两相交，最多有6个交点，而由（1）知：每个交点处有两对对顶角，有四对邻补角，
对顶角的对数：（对）；邻补角的对数:(对)
答：图中共有12对对顶角，24对邻补角
【总结升华】本例分析问题的方法是通过直线的移动，将直线相交于一点转化为直线两两相交．这样移动，可将抽象的问题直观化．因为n条直线两两相交，最多有个交点．每个交点处有两组对顶角，故n条直线相交于一点共有n(n-1)对对顶角，2n(n-1)对邻补角。
举一反三：
【变式】如图，直线AB与CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是　 　，∠1的对顶角是　 　．

【答案】∠ 2和∠ 4；∠ 3.
由图形可知，∠1的对顶角是∠3，∠1的邻补角是∠2和∠4．

类型二、垂线
4．下列语句：
①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直。
②一条直线的垂线有无数条。
③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直。
其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
【答案】①②
【解析】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平面内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断。
①正确；②正确，过任意一点都可以作；对于③只有在“同一平面内”才成立，因为空间内，当这点在直线上时，过这点并非只有一条直线与已知直线垂直，故③错误；④错误，必须是两个邻角相等，如下图：

【总结升华】应用垂线的定义及垂线的性质时要把握其中的本质要求：
①关于垂线的定义：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直；
②关于垂线的性质：平面内，过任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，这条性质说明了已知直线的垂线的“存在性”和“唯一性”，尤其值得注意的是性质中的“任意一点”可能在这条已知直线上，也可能在这条已知直线外。
举一反三：
【变式】在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是因为( )
A．经过两点有且只有一条直线
B．两点之问的所有连线中，线段最短
C．在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直．
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D 提示：注意区分直线性质与垂线性质
5.如图所示，OA⊥OB，OC⊥OE，OD为∠BOC的平分线，∠BOE=20°，求∠DOE的度数．

【思路点拨】首先根据垂直定义以及角平分线的定义得出∠BOD的度数，进而得出∠DOE的度数．
【答案与解析】
解：∵OC⊥OE，
∴∠COE=90°，
∵∠BOE=20°，
∴∠COB=90°+20°=110°，
∵OD为∠BOC的平分线，
∴∠BOD=55°，
∴∠DOE=55°﹣20°=35°．
【总结升华】此题主要考查了角平分线的定义以及垂直定义，正确求出∠COB的度数是解题关键．

举一反三：
【变式】如图，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON平分∠BOC.

【答案】
解：如图，

∵OM平分∠AOB ∴∠1=∠2
又∵OM ⊥ON ∴∠3=90°－∠2
由图可得：∠4=180°－2∠2－∠3=180°－2∠2 －（90°－∠2）=90°－∠2
∴∠3=∠4
∴ ON平分∠BOC
6.如图所示，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄．

(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置(保留作图痕迹)．
(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必说明)
【答案与解析】
解：(1)过点M作MP⊥AB，垂足为P，过点N作NQ⊥AB，垂足为Q，点P、Q就是要画的两点，如图所示．

(2)当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．
【总结升华】利用垂线段最短解决实际问题是常用的一种方法．
举一反三：
【变式1】如图所示，过A点作AD⊥BC，垂足为D点．

【答案】
解：如图所示








【变式2】点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是 ( )
A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm
【答案】D.
【典型例题2】
类型一、邻补角与对顶角
1．如图所示，AB和CD相交于点O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，试说明OM和ON成一条直线。

【答案与解析】
解：∵ OM平分∠AOC，ON平分∠BOD（已知），
∴ ∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON（角平分线定义）。
∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），∴∠AOM=∠BON（等量代换）。
∵∠AON+∠BON=180°（邻补角定义），∴∠MON=∠AON+∠AOM=180°（等量代换），
∴ OM和ON共线。
【总结升华】要得出OM和ON成一条直线，就要说明∠MON是平角，从图中可以看出∠AON是∠MON和平角∠AOB的公共部分，所以只要证明它们的非公共部分相等，即∠AOM和∠BON相等，本题得证。
2.如图所示，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2:∠1＝4:l，求．

【答案与解析】
解：设∠1＝x，则∠2＝4x．
∵ OE平分∠BOD，∴ ∠BOD＝2∠1＝2x．
∵ ∠2+∠BOD＝180°，即4x+2x＝180°，∴ x＝30°．
∵ ∠DOE+∠COE＝180°，∴ ∠COE＝150°．
又∵ OF平分∠COE，∴ ∠COF＝∠COE＝75°．
∵ ∠AOC＝∠BOD＝60°，∴ ∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°．
【总结升华】涉及有比值的题设条件，如a:b＝m:n，在解题时设，，这是常用的用方程思想解题的方法．
举一反三：
【变式】已知α的补角是一个锐角，有3人在计算时的答案分别是32°、87°、58°，其中只有一个答案是正确的，求的度数．
【答案】
解法1：∵ α的补角是一个锐角，
∴ α是一个钝角，即90°＜α＜180°，
∴ ．
由已知三人计算出的答案分别为32°、87°、58°，
可知．
∴ ．
解法2：由题意可知是一个钝角，即．
如果，那么，不满足；
如果，那么，不满足；
如果，那么，满足，
所以此人计算的答案正确．所以．
【总结升华】在处理数学问题中的误选答案问题时，常采用验算法，如本题的解法2：先利用假设求出相应的α的度数，再验证是否正确．
3.（1）如图（1），已知直线a、b相交于点 O，则（1）图中共有几对对顶角?几对邻补角？
（2）如图（2），已知直线a、b、c、d是经过点O的四条直线，则图（2）中共有几对对顶角（不含平角）?几对邻补角？





【答案与解析】
解：（1）2对对顶角，4对邻补角。
（2）将图（2）拆分为下图：






通过观察图形．不难发现a、b、c、d四条直线两两相交，最多有6个交点，而由（1）知：每个交点处有两对对顶角，有四对邻补角，
对顶角的对数：（对）；邻补角的对数:(对)
答：图中共有12对对顶角，24对邻补角
【总结升华】本例分析问题的方法是通过直线的移动，将直线相交于一点转化为直线两两相交．这样移动，可将抽象的问题直观化．因为n条直线两两相交，最多有个交点．每个交点处有两组对顶角，故n条直线相交于一点共有n(n-1)对对顶角，2n(n-1)对邻补角。
举一反三：
【变式】如图，直线AB与CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是　 　，∠1的对顶角是　 　．

【答案】∠ 2和∠ 4；∠ 3.
由图形可知，∠1的对顶角是∠3，∠1的邻补角是∠2和∠4．
类型二、垂线
4．下列语句：
①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直。
②一条直线的垂线有无数条。
③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直。
其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
【答案】①②
【解析】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平面内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断。
①正确；②正确，过任意一点都可以作；对于③只有在“同一平面内”才成立，因为空间内，当这点在直线上时，过这点并非只有一条直线与已知直线垂直，故③错误；④错误，必须是两个邻角相等，如下图：

【总结升华】应用垂线的定义及垂线的性质时要把握其中的本质要求：
①关于垂线的定义：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直；
②关于垂线的性质：平面内，过任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，这条性质说明了已知直线的垂线的“存在性”和“唯一性”，尤其值得注意的是性质中的“任意一点”可能在这条已知直线上，也可能在这条已知直线外。
举一反三：
【变式】在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是因为( )
A．经过两点有且只有一条直线
B．两点之问的所有连线中，线段最短
C．在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直．
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D 提示：注意区分直线性质与垂线性质
5.如图所示，OA⊥OB，OC⊥OE，OD为∠BOC的平分线，∠BOE=20°，求∠DOE的度数．

【思路点拨】首先根据垂直定义以及角平分线的定义得出∠BOD的度数，进而得出∠DOE的度数．
【答案与解析】
解：∵OC⊥OE，
∴∠COE=90°，
∵∠BOE=20°，
∴∠COB=90°+20°=110°，
∵OD为∠BOC的平分线，
∴∠BOD=55°，
∴∠DOE=55°﹣20°=35°．
【总结升华】此题主要考查了角平分线的定义以及垂直定义，正确求出∠COB的度数是解题关键．

举一反三：
【变式】如图，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON平分∠BOC.

【答案】
解：如图，

∵OM平分∠AOB ∴∠1=∠2
又∵OM ⊥ON ∴∠3=90°－∠2
由图可得：∠4=180°－2∠2－∠3=180°－2∠2 －（90°－∠2）=90°－∠2
∴∠3=∠4
∴ ON平分∠BOC
6.如图所示，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄．

(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置(保留作图痕迹)．
(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必说明)
【答案与解析】
解：(1)过点M作MP⊥AB，垂足为P，过点N作NQ⊥AB，垂足为Q，点P、Q就是要画的两点，如图所示．

(2)当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．
【总结升华】利用垂线段最短解决实际问题是常用的一种方法．
举一反三：
【变式1】如图所示，过A点作AD⊥BC，垂足为D点．

【答案】
解：如图所示








【变式2】点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是 ( )
A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm
【答案】D.

二、 同位角、内错角、同旁内角基础知识讲解
【要点梳理】
要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念
1. “三线八角”模型
如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.
图1

要点诠释：
⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．
⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．
2. 同位角、内错角、同旁内角的定义
在“三线八角”中，如上图1，
（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.
（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.
（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.
要点诠释：
(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.
(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．
要点二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征


要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法：
(1)巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨.
(2)借助方位来识别
根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．
【典型例题】
类型一、“三线八角”模型
1.




(1)图3中，∠1、∠2由直线 被直线 所截而成．
(2)图4中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？
【答案】(1) EF，CD； AB． （2）不是 ．
【解析】（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线．
（2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角．
【总结升华】判断 “三线八角”的关键是找出哪两条直线是被截线，哪条直线是截线.
类型二、同位角、内错角、同旁内角的辨别
2.如图，(1)DE为截线,∠E与哪个角是同位角?
(2)∠B与∠4是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线？
(3)∠B和∠E是同位角吗?为什么?







【答案与解析】
解：（1）DE为截线,∠E与∠3是同位角；
（2）截出这两个角的截线是直线BC,被截线是直线BF、DE；
（3）不是,因为∠B与∠E的两边中任一边没有落在同一直线上,所以∠B和∠E不是同位角.
【总结升华】确定角的关系的方法：（1）先找出截线，由截线与其它线相交得到的角有哪几个；（2）将这几个角抽出来，观察分析它们的位置关系；（3）再取其它的线为截线，再抽取与该截线相关的角来分析.
举一反三：
【变式】如图所示，下列说法错误的是（　　）

A．∠1和∠3是同位角 B．∠1和∠5是同位角
C．∠1和∠2是同旁内角 D．∠5和∠6是内错角
【答案】B
解：从图上可以看出∠1和∠5不存在直接联系，而其它三个选项都符合各自角的定义，正确．
3. 如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来．

【答案与解析】
解：内错角：∠1与∠4，∠3与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8；
同旁内角：∠3与∠6，∠2与∠5，∠2与∠4，∠4与∠5；
同位角：∠3与∠7，∠2与∠8，∠4与∠6．
【总结升华】要分析各对角是由哪两条直线被哪一条直线所截的，可以把复杂图形按题目要求分解成简单的图形后，结论便一目了然.
举一反三：
【变式】如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？
【答案】
解：同位角：∠5与∠1，∠4与∠3；
内错角：∠2与∠3，∠4与∠1；
同旁内角：∠4与∠2，∠5与∠3，∠5与∠4.
4. 分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.

【答案与解析】
解： 同位角：∠B与∠ACD，∠B与∠ECD；
内错角：∠A与∠ACD，∠A与∠ACE；
同旁内角：∠B与∠ACB，∠A与∠B，∠A与∠ACB，∠B与∠BCE．
【总结升华】在复杂图形中，分析同位角、内错角、同旁内角，应把图形分解成几个“两条直线与同一条直线相交”的图形，并抽取交点处的角来分析．
举一反三：
【变式】请写出图中的同位角、内错角、同旁内角．



【答案】
解：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8是同位角；
∠2与∠8，∠3与∠5是内错角；
∠2与∠5，∠3与∠8是同旁内角.
类型三、同位角、内错角、同旁内角大小之间的关系
5. 如图直线DE、BC被直线AB所截，
(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么角？每组中两角的大小关系如何？
(2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？






【答案与解析】
解：(1)∠1和∠2是内错角；∠1和∠3是同旁内角；∠1和∠4是同位角． 每组中两角的大小均不确定．
(2) ∠1与∠2相等，∠1和∠3互补. 理由如下：
① ∵∠1=∠4（已知）
∠4＝∠2（对顶角相等）
∴∠1＝∠2.
② ∵∠4＋∠3＝180°(邻补角定义)
∠1＝∠4(已知)
∴∠1＋∠3＝180°
即∠1和∠3互补.
综上，如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等，∠1和∠3互补．
【总结升华】在“三线八角”中，如果有一对同位角相等，则其他对同位角也分别相等，并且所有的内错角相等，所有同旁内角互补．
举一反三：
【变式1】若∠1与∠2是内错角，则它们之间的关系是 ( ) ．
A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2
【答案】D
【变式2】下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中正确的个数为（　　）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C （提示：②④正确）．


三、 平行线及其判定基础知识讲解
【要点梳理】
要点一、平行线的定义及画法
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
要点诠释：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．
2.平行线的画法：

用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
要点二、平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
要点三、直线平行的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵　∠3＝∠2
∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵　∠1＝∠2
∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵　∠4＋∠2＝180°
∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
【典型例题1】
类型一、平行线的定义及表示
1．下列叙述正确的是 ( )
A．两条直线不相交就平行
B．在同一平面内，不相交的两条线叫做平行线
C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
D．在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线
【答案】C
【解析】在同一平面内两条直线的位置关系是不相交就平行，但在空间就不一定了，故A选项错；平行线是在同一平面内不相交的两条直线，不相交的两条曲线就不是平行线，故B选项错；平行线是针对两条直线而言．不相交的两条线段所在的直线不一定不相交，故D选项错．
【总结升华】本例属于对概念的考查，应从平行线的概念入手进行判断．
举一反三：
【变式】（2015春•鞍山期末）下列说法错误的是（　　）
　 A． 无数条直线可交于一点
　 B． 直线的垂线有无数条，但过一点与垂直的直线只有一条
　 C． 直线的平行线有无数条，但过直线外一点的平行线只有一条
　 D． 互为邻补角的两个角一个是钝角，一个是锐角
【答案】D
类型二、平行公理及推论
2．下列说法中正确的有 ( )
①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为a∥b，c∥d，所以a∥d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B 2个 C．3个 D．4个
【答案】 A
【解析】一条直线的平行线有无数条，故①错；②中的点在直线外还是在直线上位置不明确，所以②错，③中b与c的位置关系不明确，所以③也是错误的；根据平行公理可知④正确，故选A．
【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容，要正确理解必须要抓住关键字词及其重要特征，在理解的基础上记忆，在比较中理解．
举一反三：
【变式】直线a∥b，b∥c，则直线a与c的位置关系是 .
【答案】平行
类型三、两直线平行的判定
3. （2016•来宾）如图，在下列条件中，不能判定直线与平行的是（　　）

　 A．∠1=∠2 B． ∠2=∠3 C． ∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°
【思路点拨】根据平行线的判定方法进行判断．
【答案】C
【解析】解：∠3与∠5不是同位角，不是内错角，也不是同旁内角，所以∠3=∠5不能判定AB∥CD．
【总结升华】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，熟练掌握平行线的判定定理．
举一反三：
【变式1】如图，下列条件中，不能判断直线∥的是（ ）.
A．∠1=∠3　　B．∠2=∠3　　C．∠4=∠5　　D．∠2+∠4=1800

【答案】B



【变式2】已知，如图，BE平分ÐABC，CF平分ÐBCD，Ð1=Ð2，求证：AB//CD．

【答案】∵ Ð1=Ð2
∴ 2Ð1=2Ð2 ，即∠ABC＝∠BCD
∴ AB//CD （内错角相等，两直线平行）
4.如图所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD＝∠DCB，可以判定哪两条直线平行．



【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”．
【答案与解析】
解：(1)由∠1＝∠3，
可判定AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
(2)由∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3得：
∠2＝∠BAD-∠1＝∠DCB-∠3＝∠4（等式性质），即∠2＝∠4
可以判定AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

综上，由（1）（2）可判定：AD∥BC，AB∥CD.
【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法．即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果．
5.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
【答案与解析】
解：这两条直线平行.理由如下：
如图：
∵ b⊥a, c⊥a
∴ ∠1＝∠2＝90°
∴ b∥c (同位角相等，两直线平行) ．
【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法.
举一反三：
【变式】已知，如图，EF^EG，GM^EG，Ð1=Ð2，AB与CD平行吗？请说明理由．

【答案】
解：AB∥CD．理由如下：如图：







∵ EF^EG，GM^EG (已知)，
∴ ∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．
又∵ ∠1＝∠2(已知)，
∴ ∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)，
即∠3＝∠4．
∴ AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．

【典型例题2】
类型一、平行线的定义及表示
1．下列说法正确的是 ( )
A．不相交的两条线段是平行线.
B．不相交的两条直线是平行线.
C．不相交的两条射线是平行线.
D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
【答案】D
【解析】平行线定义中三个关键词语：“同一平面内”，“不相交”，“两条直线”.
【总结升华】本例属于对概念的考查，应从平行线的概念入手进行判断．
类型二、平行公理及推论
2．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为：( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】正确的是：（1）(3).
【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别．
举一反三：
【变式】下列命题中正确的有（　　）
①相等的角是对顶角；
②若a∥b，b∥c，则a∥c；
③同位角相等； 　　　
④邻补角的平分线互相垂直．
　 A．0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个
【答案】C
类型三、两直线平行的判定
3. 下列图形中，由∠1=∠2，能推出AB∥CD的是（　　）
　 A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：

∵∠1=∠2（已知），
∠2=∠3（对顶角相等）
∴∠1=∠3
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故选B
【总结升华】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
举一反三：
【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( )
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
【答案】A
提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图．

图B显然不同向，因为路线不平行．
图C中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．
图D中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．
只有图A路线平行且同向，故应选A．
4. 如图所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．

【思路点拨】利用辅助线把AB、EF联系起来．
【答案与解析】
解法1：如图所示，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．

∵ ∠B＝25°，∠E＝10°(已知)，
∴ ∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN(等量代换)．
∴ AB∥CM，EF∥DN(内错角相等，两直线平行)．
又∵ ∠BCD＝45°，∠CDE＝30°(已知)，
∴ ∠DCM＝20°，∠CDN＝20°(等式性质)．
∴ ∠DCM＝∠CDN(等量代换)．
∴ CM∥DN(内错角相等，两直线平行)．
∵ AB∥CM，EF∥DN(已证)，
∴ AB∥EF(平行线的传递性)．

解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．

∵ ∠BCD＝45°，∴ ∠NCB＝135°．
∵ ∠B＝25°，
∴ ∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°(三角形的内角和等于180°)．
又∵ ∠CDE＝30°，∴ ∠EDM＝150°．
又∵ ∠E＝10°，
∴ ∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°(三角形的内角和等于180°)．
∴ ∠CNB＝∠EMD(等量代换)．
所以AB∥EF(内错角相等，两直线平行)．
【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取．
举一反三：
【变式1】已知，如图，BE平分ÐABD，DE平分ÐCDB，且Ð1与Ð2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由．

【答案】
解：AB∥CD，理由如下：
∵ BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，
∴ ∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2．
又∵ ∠1+∠2＝90°，
∴ ∠ABD+∠CDB＝180°．
∴ AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
【变式2】已知，如图，AB^BD于B，CD^BD于D，Ð1+Ð2=180°，求证：CD//EF．

【答案】
证明：∵AB^BD于B，CD^BD于D，
∴AB∥CD．
又∵Ð1+Ð2=180°，
∴AB∥EF．
∴CD//EF．




四、平行线的性质及平移基础知识讲解
【要点梳理】
要点一、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
要点二、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线
的距离．
要点诠释：
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．
要点三、命题、定理、证明
1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
要点诠释：
（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”
（3）真命题与假命题：
真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.
假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.
2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.
3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
要点诠释：
（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.
（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．
要点四、平移
1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．
要点诠释：
（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．
（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.
2. 性质：
图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：
（1）平移后，对应线段平行且相等；
（2）平移后，对应角相等；
（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；
（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.
要点诠释：
（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．
(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.
3. 作图：
平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．
(1)定：确定平移的方向和距离；
(2)找：找出表示图形的关键点；
(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；
(4)连：按原图形顺次连接对应点．
【典型例题1】
类型一、平行线的性质
1．如图，直线∥，∠1=70°，∠2=30°，则∠A的度数是（　　）

　 A．30° B． 35° C． 40° D． 50°
【思路点拨】根据平行线的性质得出∠3的度数，然后根据三角形外角的性质即可求得∠A的度数．
【答案】C．
【解析】
解：∵直线∥，∠1=70°，
∴∠3=∠1=70°，
∵∠2+∠A=∠3，
∴∠A=∠3﹣∠2=70°﹣30°=40°．

【总结升华】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，已知，且∠1=48°，则∠2＝ ，∠3＝ ，∠4＝ .





【答案】48°，132°，48°
类型二、两平行线间的距离
2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则( )





A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不确定
【答案】B
【解析】因为l1∥l2，所以C、D两点到l2的距离相等．同时△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它们的面积相等．
【点评】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合．
类型三、命题
3．判断下列语句是不是命题，如果是命题，是正确的? 还是错误的?
①画直线AB；②两条直线相交，有几个交点；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．
【答案】①②不是命题；③④⑤⑥是命题；③④⑥是正确的命题；⑤是错误的命题．
【解析】因为①②不是对某一事情作出判断的句子，所以①②不是命题；在③④⑤⑥四个命题中，③④⑥是真命题，⑤是假命题．
【点评】命题必须对某件事情作出“是什么”或“不是什么”的判断，如问句、陈述句就不是命题，值得注意的是错误的命题也是命题．
举一反三：
【变式】把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式．
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）对顶角相等；
（3）同角的余角相等.
【答案】
解：（1）如果两直线平行，那么同位角相等.
（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
（3）如果有两个角是同一个角的余角，那么它们相等.
类型四、平移
4．如图所示，平移△ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的△A′B′C′．






【思路点拨】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离，连接AA′后这个问题便获得解决．根据平移后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在一条直线上)且相等，容易画出所求的线段．
【答案与解析】
解：如图所示，







（1）连接AA′，过点B作AA′的平行线，在上截取BB′＝AA′，则点B′就是点B的对应点．
（2）用同样的方法做出点C的对应点C′，连接A′B′、B′C′、C′A′，
就得到平移后的三角形A′B′C′．
【点评】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离．连接AA′，这个问题就解决了，然后分别把B、C按AA′的方向平移AA′的长度，便可得到其对应点B′、C′，这就是确定了关键点平移后的位置，依次连接A′B′，B′C′，C′A′便得到平移后的三角形A′B′C′．
5．(湖南益阳)如图所示，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，若
∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE的度数为________．





【答案】30°
【解析】根据平移的特征可知：∠EBD＝∠CAB＝50°而∠ABC＝100°
所以∠CBE＝180°-∠EBD-∠ABC＝180°-50°-100°＝30°
【点评】图形在平移的过程有“一变两不变”、“一变”是位置的变化，“两不变”是形状和大小不变．本例中由△ABC经过平移得到△BED．则有AC＝BE，AB＝BD，BC＝DE，∠A＝∠EBD，∠C＝∠E，∠ABC＝∠BDE．
举一反三：
【变式】如图，△ABC沿着由点B到点E的方向，平移到△DEF，已知BC=5．EC=3，那么平移的距离为（　　）

　 A．2 B． 3 C． 5 D． 7
【答案】A
根据平移的性质，易得平移的距离=BE=5﹣3=2.故选A．

类型五、平行的性质与判定综合应用
6、如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝( )






A．180° B．270° C．360° D．540°
【答案】C
【解析】过点C作CD∥AB，
∵ CD∥AB，
∴ ∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补)
又∵ EF∥AB
∴ EF∥CD．
∴ ∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)
又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE
∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°
【点评】这是平行线性质与平行公理的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC +∠ACE+ ∠CEF＝360°．
举一反三：
【变式】如图所示，如果∠BAC+∠ACE+∠CEF＝360°，则AB与EF的位置关系 ．





【答案】平行


【典型例题2】
类型一、平行线的性质
1、如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（　　）

　 A．65° B．115° C．125° D． 130°
【答案】B．
【解析】
解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB=180°，
∵∠C=50°，
∴∠CAB=180°－50°=130°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAB=65°，
∵AB∥CD，
∴∠AED=180°﹣∠EAB=180°－65°=115°．
【总结升华】题考查了平行线的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质是解题的关键．
举一反三：
【变式】(广安)如图所示，已知a∥b∥c，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数是( )

A．75° B．65° C．55° D．50°
【答案】B
类型二、两平行线间的距离
2、下面两条平行线之间的三个图形，图 ③的面积最大，图 ②的面积最小．

【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小.
【答案】图3，图2
【解析】
解：因为它们的高相等，三角形的底是8，8÷2=4，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）÷2=4.5；5＞4.5＞4；
所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小.
【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案.
举一反三：
【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是 厘米.

【答案】35
类型三、命题
3.判断下列语句是否是命题，如果是，请写出它的题设和结论．
(1)同位角相等；
(2)对顶角相等；
（3）画一条5厘米的线段.
【答案与解析】
解：（1）是命题，这个命题的题设是：如果两个角是同位角；结论是：这两个角相等，这个命题是一个错误的命题，即假命题．
（2）是命题，这个命题的题设是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等，这个命题是一个正确的命题，即真命题．
（3）不是命题，它不是判断一件事情的语句．
【总结升华】命题必须对某件事情作出“是什么”或“不是什么”的判断，如疑问句、反问句等不是命题，值得注意的是错误的命题也是命题．判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．
举一反三：
【变式】下列命题是假命题的是（　　）
A．锐角小于90° B．平角等于两直角 C．若a＞b，则a2＞b2 D．若a2≠b2，则a≠b
【答案】C
类型四、平移
4.如图所示，①、②两图中，哪个图形中的一个三角形可以经过另一个三角形平移得到?

【答案与解析】
解：图①DE和AC平行，但不相等，DE和BC相等，但不平行，不符合平移的特征，无论怎样平移其中一个三角形也得不到另一个三角形．图②符合平移的特征，三角形PQR沿射线PM方向移动PM长即可得到三角形MNO．
所以，图②中一个三角形可以经过另一个三角形平移得到．
【总结升华】平移变换的实质是图形沿直线运动，它的形状、大小都不发生变化，否则就不是平移变换．
举一反三：
【变式】如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为　 　．

【答案】20cm．
解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，
∴CF=AD=2cm，AC=DF，
∵△ABC的周长为16cm，
∴AB+BC+AC=16cm，
∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD
=AB+BC+AC+CF+AD
=16cm+2cm+2cm
=20cm．
5、(苏州中考模拟)如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积．

【思路点拨】因种植花草部分比较分散，且有的是不规则的图形，所以直接求其面积较困难．因小路都是宽度相同的长方形，所以可想到把小路平移到一起，这样种植花草部分将汇集成一个长方形，问题便迎刃而解．
【答案与解析】
解：如图所示②把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形，




显然，这个长方形的长是50-2＝48(m)，宽是22-2＝20(m)，于是种植花草部分的面积为48×20＝960(m2)．
【总结升华】若分步计算则较繁琐．但采用“平移”的手段从整体上把握，问题便迅速求解．
举一反三：
【变式】如图①，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为 ( )

A．600m2 B．551m2 C．550m2 D．500m2
【答案】B
类型五、平行的性质与判定综合应用
6、 (湖南模拟)如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，下面给出三个论断：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断为结论，填入 “试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来．

已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，________，________，试说明________．
【答案与解析】
解：三个论断分别可以组成①②③；①③②；②③①三种不同情形的命题，选择其中任何一个即可．
以①②③为例，说明如下
已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，∠B＝∠E，AB∥DE，试说明BC∥EF．
理由叙述：因为AB∥DE，所以∠B＝∠CKD．
又因为∠B＝∠E，所以∠E＝∠CKD，所以BC∥EF．
【总结升华】此类问题具有较强的灵活性，解决这类题的基本思路是先写出可能的结果，再判断其是否正确．
举一反三：
【变式】已知，如图，∠1=∠2，∠3=65°，则∠4＝ .

【答案】115°
7、如图，AB∥CD，点M，N分别为AB，CD上的点.
（1）若点P1在两平行线内部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，则∠MP1N＝ ；





（2）若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB平行，如图，请你猜想∠AMP1+∠P1 P2N与∠MP1 P2+∠P2ND的关系，并证明你的结论；





（3）如图，若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不与AB平行，直接写出你得到的结论.





【答案与解析】
解：（1）75°；
（2）结论：∠AMP1+∠P1 P2N＝∠MP1 P2+∠P2ND

证明：如图，分别过P1，P2作P1Q1∥AB，P2Q2∥AB.
又∵ AB∥CD，∴ ∠AMP1＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠P2ND.
∴ ∠AMP1+∠P1 P2N＝∠AMP1+∠3+∠4＝∠1+∠2+∠P2ND＝∠MP1 P2+∠P2ND.
（3）∠BMP1+∠P1 P2P3+∠P3 ND＝∠MP1 P2+∠P2 P3N.
【总结升华】通过作平行线，问题便迅速得到解决.
举一反三：
【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是( ) ．


A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】D；提示：如图，过点B作BE∥AM．

五、《相交线与平行线》全章复习与巩固
【学习目标】
1． 熟练掌握对顶角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；
2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；
3. 了解命题的概念及构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；
4. 了解平移的概念及性质.
【知识网络】

【要点梳理】
知识点一、相交线
1.对顶角、邻补角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：

图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
1
2
∠1与∠2

有公共顶点
∠1的两边与
∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角

有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.
邻补角互补即
∠3+∠4=180°
要点诠释：
⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.
⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.
⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线．
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
2.垂线及性质、点到直线的距离
（1）垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O.

要点诠释：
要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.
（2）垂线的性质：
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.
（3）点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.








要点诠释：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.
知识点二、平行线
1．平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：内错角相等，两直线平行．
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2．平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
3．两条平行线间的距离
如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.

要点诠释：
（1）两条平行线之间的距离处处相等.
（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.
（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.
知识点三、命题及平移
1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都由题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.
2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．
要点诠释：平移的性质：
（1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等；
（2）平移后，对应角相等；
（3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；
（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.
【典型例题】
类型一、相交线
1. （2015春•乌兰察布校级期中）a、b、c是平面上任意三条直线，交点可以有（　　）
　 A．1个或2个或3个 B． 0个或1个或2个或3个
　 C．1个或2个 D． 都不对
【思路点拨】根据三条直线两两平行，三条直线交于一点，两条直线平行与第三条直线相交，三条直线两两相交不交于同一点，可得答案．
【答案】B
【解析】
解：三条直线两两平行，没有交点；
三条直线交于一点，有一个交点；
两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点；
三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点，
故选B.
【总结升华】本题考查了相交线，分类讨论是解题关键：①三条直线两两平行，②三条直线交于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条直线两两相交不交于同一点，注意不要漏掉任何一种情况．
举一反三：
【变式】如图所示，已知∠AOD=∠BOC，请在图中找出∠BOC的补角,邻补角及对顶角.

【答案】
解： 因为∠BOC＋∠AOC=180º（平角定义）,
     所以∠AOC是∠BOC的补角.
     因为∠AOD＋∠BOD=180º（平角定义）,
     ∠AOD=∠BOC（已知）,
     所以∠BOC＋∠BOD=180º.
   所以∠BOD是∠BOC的补角．
所以∠BOC的补角有两个：∠BOD和∠AOC.
而∠BOC的邻补角只有一个∠AOC，且∠BOC没有对顶角.
2. （2016春·沧州校级月考）已知：如图，直线a、b、c两两相交，且∠1＝2∠3，∠2=86°，求∠4的度数.

【答案与解析】
解：根据对顶角相等,
∴∠1＝∠2＝86°.
又∵∠1＝2∠3，∴86°＝2∠3，∴∠3＝43°,
又∠3与∠4对顶角，
所以∠3=∠4＝43°.
【总结升华】涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（对顶角）是解题的关键．
性质是解答此类问题的关键.
类型二、平行线的性质与判定
3.如图，已知∠ADE = ∠B，∠1 =∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由.

【答案与解析】
解：平行，理由如下：
因为∠ADE=∠B，所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
所以∠1=∠BCD（两直线平行，内错角相等）.
又因为∠1=∠2（已知），
所以∠BCD=∠2.
所以CD∥FG（同位角相等，两直线平行）.
【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应先想到角相等或角互补.






举一反三：
【变式】如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．








【答案】∠AED=∠ACB，理由如下：
∵∠1＋∠2＝180°，又∠1＋∠4＝180°,
∴∠2＝∠4.
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）.
∴∠5＝∠3.
又∠3=∠B,
∴∠5＝∠B.
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）.
∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等).
类型三、命题及平移
4.(佳木斯中考)如图所示，请你填写一个适当的条件：________，使AD∥BC．

【思路点拨】欲证AD∥BC，结合图形，故可按同位角相等、内错角相等和同旁内角互补两直线平行来补充条件．
【答案】∠FAD＝∠FBC，或∠ADB＝∠CBD，或∠ABC+∠BAD＝180°.
【解析】
解：本题答案不唯一，如：利用“同位角相等，两直线平行”，可添加条件∠FAD＝∠FBC；利用“内错角相等，两直线平行”，可添加条件∠ADB＝∠CBD；利用“同旁内角互补，两直线平行”，可添加条件∠ABC+∠BAD＝180°．
【总结升华】这是一道开放性试题，分清题设和结论：结论： AD∥BC，题设可根据平行线的判定方法，逐一寻找即可.
举一反三：
【变式】（2015春•和县期末）下列说法中正确的个数是（　　）
（1）在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，b∥c，则a∥c
（2）在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a⊥c
（3）在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，a⊥c，则b⊥c
（4）在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a∥c．
　 A．1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】C
5.如图(1)，线段AB经过平移有一端点到达点C，画出线段AB平移后的线段CD．

【思路点拨】连接AC或BC便得平移的方向和距离．
【答案与解析】
解：如图(2)，线段CD有两种情况：(1)当点A平移到点C时，则点D在点C的下方，因此下边线段CD即为所求；(2)当点B平移到点C时，则点D在点C的上方，上边线段CD即为所求．

【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的．本题中未指明哪一端点(A还是B)移动到点C，故应有两种情况：即点A平移到点C或点B平移到点C．
举一反三：
【变式】下列说法错误的是（ ）
A．平移不改变图形的形状和大小
B．平移中图形上每个点移动的距离可以不同
C．经过平移，图形的对应线段、对应角分别相等
D．经过平移，图形对应点的连线段相等
【答案】B
类型四、实际应用
6.如图，107国道上有一个出口M，想在附近公路旁建一个加油站，欲使通道最短，应沿怎样的线路施工？







【答案与解析】
解：如图，过点M作MN⊥，垂足为N，欲使通道最短，应沿线路MN施工.






【总结升华】灵活运用垂线段最短的性质是解答此类问题的关键.