初中数学人教版七年级上册第二章 整式的加减综合与测试课后练习题

这是一份初中数学人教版七年级上册第二章 整式的加减综合与测试课后练习题，共38页。试卷主要包含了整式的概念，整式的加减——合并同类项，整式的加减——去括号与添括号，《整式的加减》全章复习与巩固，整式加减运算的应用，综合应用等内容，欢迎下载使用。
目录


一、整式的概念


二、整式的加减(一)——合并同类项


三、整式的加减(二)——去括号与添括号


四、《整式的加减》全章复习与巩固








一、整式的概念基础知识讲解


【学习目标】


1．掌握单项式系数及次数的概念；


2. 理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；


3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；


4. 能准确而熟练地列式子表示一些数量关系．


【要点梳理】


要点一、单项式


1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．


要点诠释：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．


（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．


2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．


要点诠释：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；


（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；


（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．


3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．


要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：


（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；


（2）不能将数字的指数一同计算．


要点二、多项式


1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．


要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．


2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．


要点诠释：（1）多项式的每一项包括它前面的符号．


（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．


3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．


要点诠释：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．


一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写


出．


要点三、 整式


单项式与多项式统称为整式．


要点诠释：（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．


即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．


（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．


【典型例题】


类型一、整式概念辨析


1．指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？


，，，10，，，，，，


【答案与解析】单项式有：，10，，；


多项式有：，，，；


整式有：，，，10，，，，．


【总结升华】不是整式，因为分母中含有字母； 也不是多项式，因为不是单项式．


举一反三：


【变式】下列代数式：，其中是单项式的是_______________，是多项式的是_______________.


【答案】①②③，④⑥


类型二、单项式


2．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．


，，，，，a-3，，，


【答案与解析】，，，，，，是单项式，其中


的系数是，次数是3；的系数是-1，次数是1；的系数是，次数是4；


的系数是，次数是4；为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，次数为0；


的系数仍按科学记数法表示为-3×108，次数是3；


只含有字母因数，系数是l，次数为字母指数之和为3．


【总结升华】（1）要区分数字因数、字母因数；（2）不能见了指数就相加，如中，的指数4不能相加，次数为4；（3）有分数线的，分子、分母的数字都是系数；（4）是常数，不能看作字母．


举一反三：


【变式1】单项式3x2y3的系数是 ．


【答案】3．


【变式2】下列结论正确的是( )．


A．没有加减运算的代数式叫做单项式．


B．单项式的系数是3，次数是2．


C．单项式m既没有系数，也没有次数．


D．单项式的系数是-1，次数是4．


【答案】D


类型三、多项式


3.多项式3x2+πxy2+9中，次数最高的项的系数是 ．


【思路点拨】根据多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，找出次数最高的项的次数即可．


【答案】π．


【解析】解：多项式3x2+πxy2+9中，最高次项是πxy2，其系数是π．


故答案为：π．


【总结升华】此题考查的是多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．





4. 已知多项式．


(1)求多项式各项的系数和次数．


(2)如果多项式是七次五项式，求m的值．


【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式，第一项的系数是-6，次数是3；第二项的系数是-7，次数是3m+1；第三项的系数是，次数是4；第四项系数是-l，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0．


(2)由多项式是七次五项式，可得的次数是7，即3m-1+2＝7，解得m＝2．


【总结升华】对于单项式的次数为3m+1的认识会不太习惯，通过适量的练习，会对用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识．


举一反三：


【变式】多项式是关于的二次三项式，求a与b的差的相反数．


【答案】





类型四、整式的应用


5. 用整式填空：


(1)某商场将一种商品A按标价的9折出售(即优惠10%)仍可获利10%，若商场商品A的标价为a元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)．


(2)甲商品的进价为1400元，若标价为a元，按标价的9折出售；乙商品的进价是400元，若标价为b元，按标价的8折出售，列式表示两种商品的利润率分别为甲：________ 乙：________．


【答案】(1)；(2)甲商品的利润率为×100%，


乙商品的利润率为： ×100%．


【解析】本例属于实际生活问题，应分清“进价”、“标价”、“利润”、“利润率”、“打折”等问题，打几折就是标价的十分之几．


【总结升华】解答本例需弄清以下两个数量关系：(1)利润＝售价－进价; (2)利润率＝．


举一反三：


【变式】对下列代数式作出解释，其中不正确的是（ ）


A. a﹣b：今年小明b岁，小明的爸爸a岁，小明比他爸爸小（a﹣b）岁


B. a﹣b：今年小明b岁，小明的爸爸a岁，则小明出生时，他爸爸为（a﹣b）岁


C. ab：长方形的长为acm，宽为bcm，长方形的面积为abcm2


D. ab：三角形的一边长为acm，这边上的高为bcm，此三角形的面积为abcm2


【答案】D.


6.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）





A. 21 B. 24 C.27 D. 30


【答案】 B


【解析】观察图形得：


第1个图形有3+3×1=6个圆圈，


第2个图形有3+3×2=9个圆圈，


第3个图形有3+3×3=12个圆圈，


…


第n个图形有3+3n=3（n+1）个圆圈，


当n=7时，3×（7+1）=24，


故选B．


【总结升华】找规律问题一般应经历四个阶级“特例引路”、“对比分析”、“总结规律”、“反思检验”等．





二、整式的加减(一)——合并同类项基础知识讲解


【学习目标】


1．掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；


2. 掌握同类项的有关应用；


3. 体会整体思想即换元的思想的应用．


【要点梳理】


要点一、同类项


定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．


要点诠释：


(1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．


(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．


(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．


要点二、合并同类项


1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．


2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．


要点诠释：合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意：


(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有．


(2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算.


【典型例题1】


类型一、同类项的概念


1．指出下列各题中的两项是不是同类项，不是同类项的说明理由．


（1）与； （2）与； （3）与； （4）与


【答案与解析】本题应用同类项的概念与识别进行判断：


解：（1）（4）是同类项；（2）不是同类项，因为与所含字母的指数不相等；


（3）不是同类项，因为与所含字母不相同．


【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同. “两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．


举一反三：


【变式】下列每组数中，是同类项的是( ) ．


①2x2y3与x3y2 ②-x2yz与-x2y ③10mn与 ④(-a)5与(-3)5


⑤-3x2y与0.5yx2 ⑥-125与


A．①②③ B．①③④⑥ C．③⑤⑥ D．只有⑥


【答案】C


2．若﹣2amb4与3a2bn+2是同类项，则m+n= ．


【思路点拨】直接利用同类项的概念得出n，m的值，即可求出答案．


【答案】4.


【解析】


解：∵﹣2amb4与3a2bn+2是同类项，


∴，


解得：


则m+n=4．


故答案为：4．


【总结升华】考查了同类项定义．同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同，相同字母的指数相同.





举一反三：


【变式】已知 和 是同类项，试求的值．


【答案】





类型二、合并同类项


3．合并下列各式中的同类项：


(1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy


(2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5


【答案与解析】


解： (1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy


＝(-2-5)x2+(-8+4)y2+(-5+5)x-6xy＝-7x2-4y2-6xy


(2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5


＝(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(-3+5)＝8x2y-2xy2+2


【总结升华】(1)所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并；(2)在进行合并同类项时，可按照如下步骤进行：第一步：准确地找出多项式中的同类项(开始阶段可以用不同的符号标注),没有同类项的项每一步保留该项；第二步：利用乘法分配律的逆运用，把同类项的系数相加，结果用括号括起来，字母和字母的指数保持不变；第三步：写出合并后的结果．


举一反三：


【变式】下列运算中，正确的是（ ）


A. 3a+2b=5ab B. 2a3+3a2=5a5 C. 3a2b﹣3ba2=0 D. 5a2﹣4a2=1


【答案】C


解：3a和2b不是同类项，不能合并，A错误；


2a3+和3a2不是同类项，不能合并，B错误；


3a2b﹣3ba2=0，C正确；


5a2﹣4a2=a2，D错误，


故选：C．


4．已知，求m+n-p的值．


【思路点拨】两个单项式的和一般情形下为多项式．而条件给出的结果中仍是单项式，这就意味着与是同类项．因此，可以利用同类项的定义解题．


【答案与解析】


解：依题意，得3+m＝4，n+1＝5，2-p＝-7


解这三个方程得：m＝1，n＝4，p＝9，


∴ m+n-p＝1+4-9＝-4．


【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件．


举一反三：


【变式】若与的和是单项式，则 ， ．


【答案】4，2 ．


类型三、化简求值


5. 当时，分别求出下列各式的值．


（1）；


（2）


【答案与解析】（1）把当作一个整体，先化简再求值：


解：





又


所以，原式=


（2）先合并同类项，再代入求值．


解：








当p＝2，q＝1时，原式=．


【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的值．


举一反三：


【变式】先化简，再求值：


(1)，其中；


(2)，其中，．


【答案】


解: (1)原式，


当时，原式＝．


(2)原式，


当，时，原式＝．


类型四、“无关”与“不含”型问题


6.李华老师给学生出了一道题：当x＝0.16，y＝-0.2时，求6x3-2x3y-4x3+2x3y-2x3+15的值．题目出完后，小明说：“老师给的条件x＝0.16，y＝-0.2是多余的”．王光说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理?为什么?


【思路点拨】要判断谁说的有道理，可以先合并同类项，如果最后的结果是个常数，则小明说得有道理，否则，王光说得有道理．


【答案与解析】


解：


＝(6-4-2)x3+(-2+2)x3y+15


＝15


通过合并可知，合并后的结果为常数，与x、y的值无关，所以小明说得有道理．


【总结升华】本题在化简时主要用的是合并同类项的方法，在合并同类项时，要明白：同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项不是同类项的一定不能合并．





【典型例题2】


类型一、同类项的概念


1.判别下列各题中的两个项是不是同类项：


(1)-4a2b3与5b3a2；(2)与；(3)-8和0；(4)-6a2b3c与8ca2．


【答案与解析】 (1)-4a2b3与5b3a2是同类项；(2)不是同类项；(3)-8和0都是常数，是同类项；(4)-6a2c与8ca2是同类项．


【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．此外注意常数项都是同类项.


2．如果单项式5mxay与﹣5nx2a﹣3y是关于x、y的单项式，且它们是同类项．求


（1）（7a﹣22）2013的值；


（2）若5mxay﹣5nx2a﹣3y=0，且xy≠0，求（5m﹣5n）2014的值．


【思路点拨】（1）根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得关于a的方程，解方程，可得答案；


（2）根据合并同类项，系数相加字母部分不变，可得m、n的关系，根据0的任何整数次幂都得零，可得答案．


【答案与解析】解：（1）由单项式5mxay与﹣5nx2a﹣3y是关于x、y的单项式，且它们是同类项，得a=2a﹣3，解得a=3；


∴（7a﹣22）2013=（7×3﹣22）2013=（﹣1）2013=﹣1；


（2）由5mxay﹣5nx2a﹣3y=0，且xy≠0，得


5m﹣5n=0，


解得m=n；


∴（5m﹣5n）2014=02014=0．


【总结升华】本题考查了同类项，利用了同类项的定义，负数的奇数次幂是负数，零的任何正数次幂都得零．





举一反三：


【变式】如果单项式﹣xa+1y3与x2yb是同类项，那么a、b的值分别为（ ）


A. a=2，b=3 B. a=1，b=2 C. a=1，b=3 D. a=2，b=2


【答案】C


解：根据题意得：a+1=2，b=3，


则a=1．





类型二、合并同类项


3．合并同类项：


；；


;


（注：将“”或“”看作整体）


【思路点拨】同类项中，所含“字母”，可以表示字母，也可以表示多项式，如（4）．


【答案与解析】


（1）


（2）


（3）原式=


（4）


【总结升华】无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄.


举一反三：


【变式1】


化简：（1） （2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)


【答案】原式





（2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)


=(a-2b)2-2(a-2b)2+4(a-2b)-(a-2b)


=(1-2)(a-2b)2+(4-1)(a-2b)


=-(a-2b)2+3(a-2b).


4.若﹣2amb4与5a2bn+7的和是单项式，则m+n= ．


【思路点拨】两个单项式的和仍是单项式，这说明﹣2amb4与5a2bn+7是同类项．


【答案】-1


【解析】解：由﹣2amb4与5a2bn+7是同类项，得


，


解得．


m+n=﹣1，


故答案为：﹣1．


【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件．


举一反三：


【变式】若与可以合并，则 ， .


【答案】


类型三、化简求值


5. 化简求值：


（1）当时，求多项式的值．


（2）若，


求多项式的值．


【答案与解析】（1）先合并同类项，再代入求值：


原式=


=


将代入，得：


（2）把当作一个整体，先化简再求值：


原式=


由可得：


两式相加可得：，所以有


代入可得：原式=


【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的值．


举一反三：


【变式】.


【答案】








类型四、综合应用


6. 若多项式-2+8x+(b-1)x2+ax3与多项式2x3-7x2-2(c+1)x+3d+7恒等，求ab-cd.


【答案与解析】


法一：由已知


ax3+(b-1)x2+8x-2≡2x3-7x2-2(c+1)x+(3d+7)


∴ 解得：


∴ab-cd=2×(-6)-(-5)×(-3)=-12-15=-27.


法二：说明：此题的另一个解法为：由已知


(a-2)x3+(b+6)x2+[2(c+1)+8]x-(3d+9)≡0. 因为无论x取何值时，此多项式的值恒为零.所以它的各项系数皆为零，即从而得








解得：











【总结升华】若等式两边恒等，则说明等号两边对应项系数相等；若某式恒为0，则说明各项系数均为0；若某式不含某项，则说明该项的系数为0．


举一反三：


【变式1】若关于x的多项式-2x2+mx+nx2+5x-1的值与x的值无关，求(x-m)2+n的最小值.


【答案】 -2x2+mx+nx2+5x-1=nx2-2x2+mx+5x-1=(n-2)x2+(m+5)x-1


∵ 此多项式的值与x的值无关，


∴ 解得:


当n=2且m=-5时， (x-m)2+n=[x-(-5)]2+2≥0+2=2.


∵(x-m)2≥0，


∴当且仅当x=m=-5时，(x-m)2=0，使(x-m)2+n有最小值为2.


【变式2】若关于的多项式：，化简后是四次三项式，求m+n的值．


【答案】分别计算出各项的次数，找出该多项式的最高此项：


因为的次数是，的次数为，的次数为，的次数为，


又因为是三项式 ,所以前四项必有两项为同类项，显然是同类项，且合并后为0，


所以有 ，．








三、整式的加减(二)——去括号与添括号基础知识讲解





【学习目标】


1．掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；


2. 会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．


【要点梳理】


要点一、去括号法则


如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；


如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．


要点诠释：


(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．


（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．


(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．


（4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．


要点二、添括号法则


添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；


添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．


要点诠释：


(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．


(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：


如：，


要点三、整式的加减运算法则


一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．


要点诠释：


（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．


（2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来．


(3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．


【典型例题1】


类型一、去括号


1．去括号：(1)d-2(3a-2b+3c)；(2)-(-xy-1)+(-x+y)．


【答案与解析】(1)d-2(3a-2b+3c)＝d-(6a-4b+6c)＝d-6a+4b-6c；


(2)-(-xy-1)+(-x+y)＝xy+1-x+y．


【总结升华】去括号时．若括号前有数字因数，应先把它与括号内各项相乘，再去括号．


举一反三


【变式1】去掉下列各式中的括号：


(1). 8m-(3n+5)； (2). n-4(3-2m)；(3). 2(a-2b)-3(2m-n).


【答案】(1). 8m-(3n+5)＝8m-3n-5.


(2). n-4(3-2m)＝n-(12-8m)＝n-12+8m.


(3). 2(a-2b)-3(2m-n)＝2a-4b-(6m-3n)＝2a-4b-6m+3n.


【变式2】化简﹣16（x﹣0.5）的结果是（ ）


A．﹣16x﹣0.5B．﹣16x+0.5C．16x﹣8D．﹣16x+8


【答案】D


类型二、添括号


2．在各式的括号中填上适当的项，使等式成立．


(1). ；


(2). ．


【答案】（1），，，.


（2），，，.


【解析】(1)


；


(2)


．


【总结升华】在括号里填上适当的项，要特别注意括号前面的符号，考虑是否要变号．


举一反三


【变式】


．


【答案】；；；.


类型三、整式的加减


3．设A，B，C均为多项式，小方同学在计算“A﹣B”时，误将符号抄错而计算成了“A+B”，得到结果是C，其中A=x2+x﹣1，C=x2+2x，那么A﹣B=（ ）


A．x2﹣2x B．x2+2x C．﹣2 D．﹣2x


【思路点拨】根据题意得到B=C﹣A，代入A﹣B中，去括号合并即可得到结果．


【答案】C．


【解析】


解：根据题意得：A﹣B=A﹣（C﹣A）=A﹣C+A=2A﹣C=2（x2+x﹣1）﹣（x2+2x）=x2+2x﹣2﹣x2﹣2x=﹣2，


故选C.


【总结升华】整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．





类型四、化简求值


4. 先化简，再求各式的值：





【答案与解析】原式=,


当时，原式=.


【总结升华】化简求值题一般采用“一化二代三计算”，此类题的书写格式一般为：当……时，原式=？


举一反三


【变式1】先化简再求值：(-x2+5x+4)+(5x-4+2x2)，其中x＝-2．


【答案】 (-x2+5x+4)+(5x-4+2x2)＝-x2+5x+4+5x-4+2x2＝x2+10x.


当x＝-2，原式=(-2)2+10×(-2)＝-16．


【变式2】先化简，再求值：，其中化为相反数.


【答案】


因为互为相反数，所以


所以


5. 已知，，求整式的值．


【答案与解析】由，很难求出，的值，可以先把整式化简，然后把，分别作为一个整体代入求出整式的值．


原式











．


把，代入得，原式．


【总结升华】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便．


举一反三


【变式】已知代数式的值为8，求的值．


【答案】∵ ，∴ ．


当时，原式＝．


6. 如果关于x的多项式的值与x无关．你知道a应该取什么值吗？试试看．


【答案与解析】所谓多项式的值与字母x无关，就是合并同类项，结果不含有“x”的项，所以合并同类项后，让含x的项的系数为0即可．注意这里的a是一个确定的数．


(8x2+6ax+14)-(8x2+6x+5)


＝8x2+6ax+14-8x2-6x-5


＝6ax-6x+9


＝(6a-6)x+9


由于多项式(8x2+6ax+14)-(8x2+6x+5)的值与x无关，可知x的系数6a-6＝0．


解得a＝1．


【总结升华】本例解题的题眼是多项式的值与字母x无关．“无关”意味着合并同类项后，其结果不含“x”的项．


【典型例题2】


类型一、去括号


1．化简m﹣n﹣（m+n）的结果是（ ）


A．0B．2mC．﹣2nD．2m﹣2n


【答案】C


【解析】


解：原式=m﹣n﹣m﹣n=﹣2n．故选C．


【总结升华】解决此类题目的关键是熟记去括号法则，及熟练运用合并同类项的法则，其是各地中考的常考点．注意去括号法则为：﹣﹣得+，﹣+得﹣，++得+，+﹣得﹣．


类型二、添括号


2．按要求把多项式添上括号：


(1)把含a、b的项放到前面带有“+”号的括号里，不含a、b的项放到前面带有“-”号的括号里；


(2)把项的符号为正的放到前面带有“+”号的括号里，项的符号为负的放到前面带有“-”号的括号里．


【答案与解析】


解：(1)；


(2)．


【总结升华】在括号里填上适当的项，要特别注意括号前面的符号，考虑是否要变号．


举一反三：


【变式】添括号：


（1）．


（2）．


【答案】(1)； (2) ．


类型三、整式的加减


3． ．


【答案与解析】


解：在解答此题时应先根据题意列出代数式，注意把加式、和式看作一个整体，用括号括起来，然后再进行计算，在计算过程中找同类项，可以用不同的记号标出各同类项，减少运算的错误．








答：所求多项式为．


【总结升华】整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．


举一反三：


【变式】化简：


(1)15+3(1-x)-(1-x+x2)+(1-x+x2-x3).


(2)3x2y-[2x2z-(2xyz-x2z+4x2y)].


(3)-3[(a2+1)-(2a2+a)+(a-5)].


(4)ab-{4a2b-[3a2b-(2ab-a2b)+3ab]}.


【答案】


解： (1) 15+3(1-x)-(1-x+x2)+(1-x+x2-x3)


＝15+3(1-x)-(1-x+x2)+(1-x+x2)-x3


＝18-3x-x3.. ……整体合并，巧去括号


(2) 3x2y-[2x2z-(2xyz-x2z+4x2y)]


＝3x2y-2x2z+(2xy-x2z+4x2y) ……由外向里，巧去括号


＝3x2y-2x2z+2xyz-x2z+4x2y


＝7x2y-3x2z+2xyz.


(3)








.


(4)ab-{4a2b-[3a2b-(2ab-a2b)+3ab]}


＝ab-4a2b+3a2b-2ab+a2b+3ab ……一举多得，括号全脱


＝2ab.


类型四、化简求值


4.先化简，再求值：3x2y﹣[2x2﹣（xy2﹣3x2y）﹣4xy2]，其中|x|=2，y=，且xy＜0．


【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，利用绝对值的代数意义求出x的值，代入原式计算即可得到结果．


【答案与解析】


解：原式=3x2y﹣2x2+xy2﹣3x2y+4xy2=5xy2﹣2x2，


∵|x|=2，y=，且xy＜0，


∴x=﹣2，y=，


则原式=﹣﹣8=﹣．


【总结升华】化简求值题一般采用“一化二代三计算”，此类题最后结果的书写格式一般为：当x=…时，原式=….


举一反三：


【变式】先化简，再求值：﹣2x2﹣[3y2﹣2（x2﹣y2）+6]，其中x=﹣1，y=﹣．


【答案】


解：原式=﹣2x2﹣y2+x2﹣y2﹣3=﹣x2﹣y2﹣3，


当x=﹣1，y=﹣时，原式=﹣1﹣﹣3=﹣4．





5. 已知3a2-4b2＝5，2a2+3b2＝10．求：(1)-15a2+3b2的值；(2)2a2-14b2的值．


【答案与解析】显然，由条件不能求出a、b的值．此时，应采用技巧求值，先进行拆项变形．


解：(1)-15a2+3b2＝-3(5a2-b2)＝-3[(3a2+2a2)+(-4b2+3b2)]


＝-3[(3a2-4b2)+(2a2+3b2)]＝-3×(5+10)＝-45；


(2)2a2-14b2＝2(a2-7b2)＝2[(3a2-2a2)+(-4b2-3b2)]


＝2×[(3a2-4b2)-(2a2+3b2)]＝2×(5-10)＝-10．


【总结升华】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便．


举一反三：


【变式】当时，多项式的值是0，则多项式．


【答案】∵ ， ∴ ，即．


∴．


6. 已知多项式与的差的值与字母无关，求代数式：


的值．


【答案与解析】


解：.


由于多项式与的差的值与字母无关，可知：


，，即有.


又,


将代入可得：.


【总结升华】本例解题的关键是多项式的值与字母x无关．“无关”意味着合并同类项后，其结果不含“x”的项，所以合并同类项后，让含x的项的系数为0即可．





类型五、整式加减运算的应用


7.有一种石棉瓦(如图所示)，每块宽60厘米，


用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米，


那么n(n为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为 ( ) ．


A．60n厘米 B．50n厘米 C．(50n+10)厘米 D．(60n-10)厘米


【答案】C.


【解析】观察上图，可知n块石棉瓦重叠的部分有(n-1)处，则n块石棉瓦覆盖的宽度为：60n-10(n-1)＝（50n+10）厘米．


【总结升华】求解本题时一定要注意每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米这一已知条件，一不小心就可能弄错．





举一反三：


【变式】如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和a2(a＞0)．那么阴影部分的面积为________．

















【答案】3a-a2


提示：由图形可知阴影部分面积＝长方形面积，而长方形的长为3+a，宽为3，从而使问题获解．





四、《整式的加减》全章复习与巩固


【学习目标】


1．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；


2．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的加减运算、求值；


3．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想．


【知识网络】








【要点梳理】


要点一、整式的相关概念


1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．


要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．


（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．


2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．


要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．


（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．


（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．


3. 多项式的降幂与升幂排列：


把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．


要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；


（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．


4．整式：单项式和多项式统称为整式．


要点二、整式的加减


1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．


要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：


（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；


（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．


2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．


要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．


3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．


4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．


5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．


【典型例题】


类型一、整式的相关概念


1．指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项式的请说出是几次几项式．


(1) (2)5 (3) (4) (5)3xy (6) (7) (8)1+a% (9)


【答案与解析】


解：整式：(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)


单项式：(2)、(5)、(6)，其中：


5的系数是5，次数是0；3xy的系数是3，次数是2；的系数是，次数是1.


多项式：(1)、(4)、(7)、(8)、(9)，其中：


是一次二项式；是一次二项式；是一次二项式；1+a%是一次二项式；


是二次二项式。


【总结升华】①分母中出现字母的式子不是整式，故不是整式；②π是常数而不是字母，故是整式，也是单项式；③(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单项式中不能有加减．如其实质为，其实质为．


举一反三：


【变式1】(1)的次数与系数的和是________；


(2)已知单项式的系数是等于单项式的次数，则m＝________；


(3)若是关于a、b的一个五次单项式，且系数为9，则-m+n＝________．


【答案】 (1)3 (2)1 (3)-5


【变式2】多项式是________次________项式，常数项是________，三次项是________．


【答案】四，五， 1 ，


【变式3】把多项式按x的降幂排列是________．


【答案】


类型二、同类项及合并同类项


2．如果单项式﹣xyb+1与xa﹣2y3是同类项，那么（a﹣b）2015= ．


【答案】1．


【解析】


解：由同类项的定义可知


a﹣2=1，解得a=3，


b+1=3，解得b=2，


所以（a﹣b）2015=1．


【总结升华】考查了同类项，要求代数式的值，首先要求出代数式中的字母的值，然后代入求解即可．


举一反三：


【变式】若与是同类项，则a＝________，b＝________．


【答案】 5 ， 4


类型三、去（添）括号


3． 计算


【答案与解析】


解法1：











解法2：











【总结升华】根据多重括号的去括号法则，可由里向外，也可由外向里逐层推进，在计算过程中要注意符号的变化．若括号前是“-”号，在去括号时，括号里各项都应变号，若括号前有数字因数，应把数字因数乘到括号里，再去括号．


举一反三：


【变式1】下列式子中去括号错误的是( )．


A．5x－(x－2y＋5z)＝5x－x＋2y－5z


B．2a2＋(－3a－b)－(3c－2d)＝2a2－3a－b－3c＋2d


C．3x2－3(x＋6)＝3x2－3x－6


D．－(x－2y)－(－x2＋y2)＝－x＋2y＋x2－y2


【答案】C


【变式2】化简：-2a+(2a-1)的结果是( )．


A．-4a-1 B．4a-1 C．1 D．-1


【答案】D


类型四、整式的加减


4.设A，B，C均为多项式，小方同学在计算“A﹣B”时，误将符号抄错而计算成了“A+B”，得到结果是C，其中A=x2+x﹣1，C=x2+2x，那么A﹣B=（ ）


A．x2﹣2x B．x2+2x C．﹣2 D．﹣2x


【思路点拨】根据题意得到B=C﹣A，代入A﹣B中，去括号合并即可得到结果．


【答案】C．


【解析】


解：根据题意得：A﹣B=A﹣（C﹣A）=A﹣C+A=2A﹣C=2（x2+x﹣1）﹣（x2+2x）=x2+2x﹣2﹣x2﹣2x=﹣2，


故选C.


【总结升华】整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．





举一反三：


【变式】计算：


【答案】原式








类型五、化简求值


5. （1）直接化简代入


已知，，求的值．


（2）条件求值


(烟台)若与的和是单项式，则________．


（3）整体代入


已知x2-2y＝1，那么2x2-4y+3＝________．


【答案与解析】


解：（1）5(2x2y-3x)-2(4x-3x2y)


＝10x2y-15x-8x+6x2y


＝16x2y-23x


当，y＝-1时，


原式＝．


（2） 由题意知：和是同类项，所以m+5＝3，n＝2，解得，m＝-2，n＝2，所以．


（3）因为， 而


所以．


【总结升华】整体代入求值的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之间的联系．


举一反三：


【变式1】已知a2+2a=1，则代数式2a2+4a﹣1的值为（ ）


A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2


【答案】B


【变式2】已知，求的值.


【答案】





所以，原式=．


类型六、综合应用


6. 已知多项式


是否存在m ，使此多项式与x无关？若不存在，说明理由；若存在，求出m 的值.


【答案与解析】


解：原式





要使原式与无关，则需该项的系数为0，即有，所以


答：存在使此多项式与x无关，此时的值为3.