高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数导学案及答案，共38页。

1、对数的定义


一般地，如果的次幂等于,即，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.





























注：1)在定义中注意底数的取值;


2)在中，，由此可以知道负数和零没有对数；


2、常用对数


通常将以10为底的对数叫做常用对数，为了简便，的常用对数简记为.


例如 简记为 ，简记为 .


3、自然对数


在科学技术中常常使用无理数为底的对数，以为底的对数叫做自然对数，为了简便，的常用对数简记为.


对数计算公式


（1）基本公式：








运算性质：


如果且，，那么


1、； 积的对数 = 对数的和


2、； 商的对数=对数的差


3、． 一个数次方的对数=这个数对数的倍


4.








*（3）公式延伸





1、 （换底公式）





2、


3、


例题解析














题型一 指数式与对数式的互化


(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.


(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.


例1 根据对数定义，将下列指数式写成对数式：


①3x＝eq \f(1,27)； ②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x＝64； ③lg16eq \f(1,2)＝－eq \f(1,4)； ④ln 10＝x.











[跟踪训练]1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：


(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(m)＝n；(4)lg 1000＝3.














题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值


方法:①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.


②利用幂的运算性质和指数的性质计算.


例2 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值.


(1)lg2x＝－eq \f(1,2)；(2)lgx25＝2；(3)lg5x2＝2.











[跟踪训练] 2 (1)求下列各式的值.


①lg981＝________.②lg0.41＝________.③ln e2＝________.





(2)求下列各式中x的值.


①lg64x＝－eq \f(2,3)；②lgx8＝6； ③lg 100＝x；④－ln e2＝x.











题型三 对数基本性质的应用


利用对数性质求值的方法：


(1)性质 lga1＝0 lgaa＝1 (a>0，且a≠1).


(2)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求lga(lgbc)的值，先求lgbc的值，再求lga(lgbc)的值．


例3 求下列式子值。


(1)2lg23＋2lg31－3lg77＋3ln 1＝________. (2)9＝________；





[跟踪训练] 3化简求值


(1)71－lg75；(2)100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)lg 9－lg 2))；(3)algab·lgbc(a，b为不等于1的正数，c>0).














例4 求下列各式中的x的值．


(1)lg2(lg3x)＝0； (2)lg5(lg2x)＝1；

















[跟踪训练] 4 求下列各式中的x的值．


lg8[lg7(lg2x)]＝0； (2)lg2[lg3(lg2x)]＝1.

















题型四 数值计算


例5． 计算（1）， （2）， （3）， （4）


























例6．计算：(1) (2)


(3)

















题型五 含字母的对数计算


例7． 用，，表示下列各式：


．




















[跟踪训练] 5.若a>0且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式正确的是( )


A．lgax＝－lgaeq \f(1,x) B．(lgax)n＝nlgax


C．(lgax)n＝lgaxn D．lgax＝lga eq \f(1,x)





题型六 换底公式灵活应用


例8 (1)求的值；


























计算的值





























例9 (1)设3x＝4y＝36，求eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的值



































(2)已知，求


























(3)已知2x＝3y＝5z，且eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝1，求x，y，z.



































反思总结











利用对数运算性质化简与求值的原则和方法


(1)基本原则：


①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.


(2)两种常用的方法：


①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；


②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).


随堂检测











一、单选题


1．如果，则有（ ）


A．B．C．D．


2．lg5＋lg53等于（ ）


A．0B．1C．－1D．lg5


3．方程的解是（ ）


A．B．C．x＝1D．x＝2


4．若实数a，b满足，则（ ）


A．B．C．D．1


5．在N＝lg(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )


A．b<2或b>5B．2

C．4

6．若，则x＋y＋z的值为( )


A．9B．8C．7D．6


7．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）


A．lgab·lgcb＝lgcaB．lgab·lgca＝lgcb


C．lga(bc)＝lgab·lgacD．lga(b＋c)＝lgab＋lgac


8．化简的结果是（ ）


A．B．1C．2D．4


9．2等于( )


A．2＋B．2


C．2＋D．1＋


10．设，且，则 ( )


A．B．10C．20D．100


二、多选题


11．下列等式不成立的是( )


A．B．C．D．E.


12．已知，均为正实数，若，，则（ ）


A．B．C．D．2


13．若，，则（ ）


A．B．C．D．


三、填空题


14.若，则________.


15.已知实数满足，且，且_____.


16.若，则________.


17.___________，______.


18.已知，则______；_______.


19.计算：__________，_________.


四、解答题


20.计算下列各式：


（1）；


（2）；


（3）；


（4）lg(＋).














21.（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）


（2）已知，试用表示.























22.设3x＝4y＝6z＝t>1，求证：eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y).





























课后练习














1．lg5＋lg53等于（ ）


A．0B．1C．－1D．lg5


2．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）


A．lgab·lgcb＝lgcaB．lgab·lgca＝lgcb


C．lga(bc)＝lgab·lgacD．lga(b＋c)＝lgab＋lgac


3．lgbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是（ ）


A．ab＝NB．ba＝N


C．aN＝bD．bN＝a


4．若，则等于（ ）．


A．B．C．D．


5．设，则实数的值为（ ）


A．B．C．D．


6.(多选)若，，则（ ）


A．B．C．D．


7.若，则________.


8.若，则的值是 ．


9.十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，则________，________


10.计算：（1）. （2）.

















11.已知，求证：.

















12.已知（1）求的值；（2）求的值.


题型一 指数式与对数式的互化


(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.


(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.


例1 根据对数定义，将下列指数式写成对数式：


①3x＝eq \f(1,27)； ②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x＝64； ③lg16eq \f(1,2)＝－eq \f(1,4)； ④ln 10＝x.


(1)①lg3eq \f(1,27)＝x；②lg64＝x；③16＝eq \f(1,2)；④ex＝10.





[跟踪训练]1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：


(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(m)＝n；(4)lg 1000＝3.


解 (1)因为43＝64，所以lg464＝3；


(2)因为ln a＝b，所以eb＝a；


(3)因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(m)＝n，所以lgeq \f(1,2)n＝m；


(4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.





题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值


方法:①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.


②利用幂的运算性质和指数的性质计算.


例2 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值.


(1)lg2x＝－eq \f(1,2)；(2)lgx25＝2；(3)lg5x2＝2.


解 (1)由lg2x＝－eq \f(1,2)，得2－eq \f(1,2)＝x，∴x＝eq \f(\r(2),2).


(2)由lgx25＝2，得x2＝25.∵x＞0，且x≠1，∴x＝5.


(3)由lg5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，∴x＝5或x＝－5.





[跟踪训练] 2 (1)求下列各式的值.


①lg981＝________.②lg0.41＝________.③ln e2＝________.


(1)①2 ②0 ③2


解析 ①设lg981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即lg981＝2；②设lg0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即lg0.41＝0；③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2.


(2)求下列各式中x的值.


①lg64x＝－eq \f(2,3)；②lgx8＝6； ③lg 100＝x；④－ln e2＝x.


解 ①由lg64x＝－eq \f(2,3)得x＝64－eq \f(2,3)＝43×(－eq \f(2,3))＝4－2＝eq \f(1,16)；


②由lgx8＝6，得x6＝8，又x>0，即x＝8eq \f(1,6)＝23×eq \f(1,6)＝eq \r(2)；


③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2；


④由－ln e2＝x，得ln e2＝－x，所以e－x＝e2，所以－x＝2，即x＝－2.





题型三 对数基本性质的应用


利用对数性质求值的方法：


(1)性质 lga1＝0 lgaa＝1 (a>0，且a≠1).


(2)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求lga(lgbc)的值，先求lgbc的值，再求lga(lgbc)的值．


例3 求下列式子值。


(1)2lg23＋2lg31－3lg77＋3ln 1＝________. (2)9＝________；


(1) 0 解析 原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.


(2)4 解析 9＝(9)＝3＝4.


[跟踪训练] 3化简求值


(1)71－lg75；(2)100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)lg 9－lg 2))；


(3)algab·lgbc(a，b为不等于1的正数，c>0).


解 (1)原式＝7×7－lg75＝eq \f(7,7lg75)＝eq \f(7,5).


(2)原式＝100eq \f(1,2)lg 9×100－lg 2＝10lg 9×eq \f(1,100lg 2)＝9×eq \f(1,102lg 2)＝9×eq \f(1,10lg 4)＝eq \f(9,4).


(3)原式＝(algab)lgbc＝blgbc＝c.





例4 求下列各式中的x的值．


(1)lg2(lg3x)＝0；


(2)lg5(lg2x)＝1；


解析 (1)因为lg2(lg3x)＝0，所以lg3x＝1，所以x＝3.


(2)因为lg5(lg2x)＝1，所以lg2x＝5，所以x＝25＝32.


[跟踪训练] 4


[跟踪训练] 4 求下列各式中的x的值．


(1)lg8[lg7(lg2x)]＝0；


(2)lg2[lg3(lg2x)]＝1.


解析：(1)由lg8[lg7(lg2x)]＝0得lg7(lg2x)＝1，所以lg2x＝7，所以x＝27＝128.


(2)由lg2[lg3(lg2x)]＝1得lg3(lg2x)＝2，所以lg2x＝32，所以x＝29＝512.


题型四 数值计算


例5． 计算


（1）， （2）， （3）， （4）


解：（1）25= =2 （2）1=0．


（3）（×25）= + = + = 2×7+5=19．


（4）lg=．





例6．计算：


(1) (2)


(3)


解：(1) ＝＝


＝＝＝1；


(2) ＝＝＝2；


(3)解法一：lg14-2lg+lg7-lg18


=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(×2)


=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0．


解法二：lg14-2lg+lg7-lg18


=lg14-lg+lg7-lg18


=


评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.





题型五 含字母的对数计算


例7． 用，，表示下列各式：


．


解：（1）=（xy）-z=x+y- z


（2）=（


= +=2x+．


[跟踪训练] 5.若a>0且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式正确的是( )


A．lgax＝－lgaeq \f(1,x) B．(lgax)n＝nlgax


C．(lgax)n＝lgaxn D．lgax＝lga eq \f(1,x)


答案 A








题型六 换底公式灵活应用


例8 (1)求的值；


分析：利用换底公式统一底数；


解法（1）：原式=


解法（2）：原式=


(2)计算的值


分析：先利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再求值；


解：原式=





例9 (1)设3x＝4y＝36，求eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的值


(1)由已知分别求出x和y.


∵3x＝36,4y＝36，


∴x＝lg336，y＝lg436，


由换底公式得：


x＝eq \f(lg3636,lg363)＝eq \f(1,lg363)，y＝eq \f(lg3636,lg364)＝eq \f(1,lg364)，


∴eq \f(1,x)＝lg363，eq \f(1,y)＝lg364，


∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝2lg363＋lg364








（2）已知，求





∵lg189＝a,18b＝5，∴lg185＝b.


∴lg3645＝eq \f(lg1845,lg1836)＝eq \f(lg18(9×5),lg18(18×2))


＝eq \f(lg189＋lg185,1＋lg182)＝eq \f(a＋b,1＋lg18\f(18,9))＝eq \f(a＋b,2－a).


(3)已知2x＝3y＝5z，且eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝1，求x，y，z.


令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，


∴x＝lg2k，y＝lg3k，z＝lg5k，


∴eq \f(1,x)＝lgk2，eq \f(1,y)＝lgk3，eq \f(1,z)＝lgk5，


由eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝1，得lgk2＋lgk3＋lgk5＝lgk30＝1，


∴k＝30，


∴x＝lg230＝1＋lg215，y＝lg330＝1＋lg310，z＝lg530＝1＋lg56.








反思总结











利用对数运算性质化简与求值的原则和方法


(1)基本原则：


①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.


(2)两种常用的方法：


①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；


②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).


随堂检测














一、单选题


1．如果，则有（ ）


A．B．C．D．


【答案】C


【解析】


利用指数化对数得可，


故选：C．


2．lg5＋lg53等于（ ）


A．0B．1C．－1D．lg5


【答案】A


【解析】


因为.


故选：A.


3．方程的解是（ ）


A．B．C．x＝1D．x＝2


【答案】B


【解析】


因为，所以，


所以，所以.


故选：B.


4．若实数a，b满足，则（ ）


A．B．C．D．1


【答案】D


【解析】


因为，所以，


．


故选：D．


5．在N＝lg(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )


A．b<2或b>5B．2

C．4

【答案】D


【解析】


由对数的意义得，解得且。


所以实数b的取值范围是且。选D。


6．若，则x＋y＋z的值为( )


A．9B．8C．7D．6


【答案】A


【解析】


∵lg2(lg3x)＝0，


∴lg3x＝1.


∴x＝3.


同理y＝4，z＝2.


∴x＋y＋z＝9.


故选A．


7．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）


A．lgab·lgcb＝lgcaB．lgab·lgca＝lgcb


C．lga(bc)＝lgab·lgacD．lga(b＋c)＝lgab＋lgac


【答案】B


【解析】


由lgab·lgcb＝·≠lgca，故A错；


由lgab·lgca＝·＝＝lgcb.故正确；


对选项，，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.


故选：.


8．化简的结果是（ ）


A．B．1C．2D．4


【答案】C


【解析】


原式.


故选：C.


9．2等于( )


A．2＋B．2


C．2＋D．1＋


【答案】B


【解析】


.


故选B.


10．设，且，则 ( )


A．B．10C．20D．100


【答案】A


【解析】


由得，所以，，故选A.


二、多选题


11．下列等式不成立的是( )


A．B．C．D．E.


【答案】DE


【解析】


根据对数式的运算,可得,,故A､B成立;


由根式与指数式的互化可得,故C成立;


取,,发现D不成立;,故E不成立.


故选：DE


12．已知，均为正实数，若，，则（ ）


A．B．C．D．2


【答案】AD


【解析】


令，


则，


，，


或，


或


或


，代入得


或


，或，


．或


故选：AD.


13．若，，则（ ）


A．B．C．D．


【答案】ACD


【解析】


由，，得，，则


，


，








，


故正确的有：


故选：.


三、填空题


14.若，则________.


【答案】


【解析】


【分析】


设，则，结合对数的运算性质，即可求解.


【详解】


设，则，所以.


故答案为：.


15.已知实数满足，且，且_____.


【答案】


【解析】





，解得


故答案为：


16.若，则________.


【答案】


【解析】


由对数的换底公式，可得，


所以，所以.


故答案为：.


17.___________，______.


【答案】


【解析】


由对数的运算性质得，


由对数的换底公式可得.


故答案为：；.


18.已知，则______；_______.


【答案】 ．


【解析】


，∴，故，


可化为，也就是，所以，


故，所以，解得.


故答案为：．


19.计算：__________，_________.


【答案】2 2


【解析】


，


，


，


.


.


故答案为：①2；②2.


四、解答题


20.计算下列各式：


（1）；


（2）；


（3）；


（4）lg(＋).


【答案】（1）；（2）－1；（3）1；（4）.


【解析】


（1）原式＝；


（2）原式＝；


（3）原式＝.


（4）原式＝＋＝＝＝.


21.（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）


（2）已知，试用表示.


【答案】（1）证明见解析；（2）.


【解析】


（1）设，写成指数式.


两边取以为底的对数，得.


因为，，，因此上式两边可除以，得.


所以，.


（2）.


22.设3x＝4y＝6z＝t>1，求证：eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y).


证明 ∵3x＝4y＝6z＝t，


∴x＝lg3t，y＝lg4t，z＝lg6t，


∴eq \f(1,x)＝lgt3，eq \f(1,y)＝lgt4，eq \f(1,z)＝lgt6，


∴eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝lgt6－lgt3＝lgt2.


又eq \f(1,y)＝lgt4＝2lgt2，即eq \f(1,2y)＝lgt2，


∴eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y).





课后练习














1．lg5＋lg53等于（ ）


A．0B．1C．－1D．lg5


【答案】A


【解析】因为.故选：A.


2．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）


A．lgab·lgcb＝lgcaB．lgab·lgca＝lgcb


C．lga(bc)＝lgab·lgacD．lga(b＋c)＝lgab＋lgac


【答案】B


【解析】由lgab·lgcb＝·≠lgca，故A错；


由lgab·lgca＝·＝＝lgcb.故正确；


对选项，，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.故选：.


3．lgbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是（ ）


A．ab＝NB．ba＝N


C．aN＝bD．bN＝a


【答案】B


【解析】由lgbN＝a(b>0，b≠1，N>0)，则ba＝N故选：B


4．若，则等于（ ）．


A．B．C．D．


【答案】D


【解析】由，则.


故选：D


5．设，则实数的值为（ ）


A．B．C．D．


【答案】B


【解析】由题可知，故选：B


6.若，，则（ ）


A．B．C．D．


【答案】ACD


【解析】由，，得，，则


，，


，


故正确的有：。故选.


7.若，则________.


【答案】


【解析】，故.


故答案为：


8.若，则的值是 ．


【答案】


【解析】∵，∴，则，故答案为．


9.十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，则________，________


【答案】 1


【解析】，，


；.


故答案为：；1


10.计算：（1）. （2）.


【答案】（1）4；（2）.


【解析】（1）.


（2）








.


11.已知，求证：.


【答案】证明见解析；


【解析】令，


则，，，


所以.


12.已知


（1）求的值；


（2）求的值.


【答案】（1）-1（2）


【解析】由得，.


所以


；


由得，


所以.