2020年山东省菏泽市中考数学试卷
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2020年山东省菏泽市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共8题） |
1. 下列各数中，绝对值最小的数是．
A． B． C． D．
2. 函数的自变量的取值范围是．
A． B．且
C． D．且
3. 在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位得到点，则点关于轴的对称点的坐标为．
A． B． C． D．
4. 一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为．
A．
B．
C．
D．
5. 如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是．
A．互相平分
B．相等
C．互相垂直
D．互相垂直平分
6. 如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于．
A． B． C． D．
7. 等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为．
A． B． C．或 D．
8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是．
A．
B．
C．
D．
| 二、 填空题（共6题） |
9. 计算的结果是________．
10. 方程的解是________．
11. 如图，在中，，点为边的中点，连接，若，，则的值为________．
12. 从，，，这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是________．
13. 如图，在菱形中，是对角线，，与边相切于点，则图中阴影部分的面积为________．
14. 如图，矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则的长为________．
| 三、 解答题（共10题） |
15. 计算：．
16. 先化简，再求值：，其中满足．
17. 如图，在中，，点在的延长线上，于点，若，求证：．
18. 某兴趣小组为了测量大楼的高度，先沿着斜坡走了米到达坡顶点处，然后在点处测得大楼顶点的仰角为，已知斜坡的坡度为，点到大楼的距离为米，求大楼的高度．
（参考数据：，，
19. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：；；；，并绘制出如图不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生成绩在组的有多少人？
（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内？
（3）若该学校有名学生，估计这次竞赛成绩在组的学生有多少人？
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
21. 今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元；若要求购买跳绳的数量多于根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
22. 如图，在中，，以为直径的与相交于点，过点作的切线交于点．
（1）求证：；
（2）若的半径为，，求的长．
23. 如图，四边形的对角线，相交于点，，．
（1）过点作交于点，求证：；
（2）如图，将沿翻折得到．
① 求证：；
② 若，求证：．
24. 如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，，，直线是抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一动点，连接，，，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在轴的下方，当的面积是时，求的面积；
（3）在（2）的条件下，点是轴上一点，点是抛物线上一动点，是否存在点，使得以点，，，为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】B
【解析】，，，,
绝对值最小的数是．
故选：
【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键．
2. 【答案】D
【解析】由题意得且，
解得且．
故选：
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
3. 【答案】A
【解析】将点向右平移个单位得到点，
点的坐标是，
点关于轴的对称点的坐标是．
故选：
【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，以及关于轴、轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
4. 【答案】A
【解析】从正面看所得到的图形为．
故选：
【点评】考查几何体的三视图的画法，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图．
5. 【答案】C
【解析】由矩形的性质知，矩形的四角为直角，即每组邻边互相垂直，故原四边形的对角线应互相垂直．
故选：
【点评】此题主要考查了矩形的判断与性质，难度不大．
6. 【答案】D
【解析】，，
，
，
，
．
故选：
【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7. 【答案】C
【解析】当为腰长时，将代入，得：，
解得：，
当时，原方程为，
解得：，，
，，
符合题意；
当为底边长时，关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
当时，原方程为，
解得：，
，，
符合题意．
的值为或．
故选：
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系以及根与系数的关系，分为腰长及为底边长两种情况，求出值是解题的关键．
8. 【答案】B
【解析】．由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误；
．由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项正确；
．由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误；
．由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误．
故选：
【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
二、 填空题
9. 【答案】；
【解析】原式
．
故答案为：
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．
10. 【答案】；
【解析】方程，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
11. 【答案】；
【解析】过点作，垂足为，
，，
，
又点为边的中点，
，
在中，．
故答案为：
【点评】考查直角三角形的边角关系，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提，作高构造直角三角形是常用的方法．
12. 【答案】；
【解析】画树状图得：
则共有种等可能的结果，
反比例函数中，图象在二、四象限，
，
有种符合条件的结果，
（图象在二、四象限）．
故答案为：
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
13. 【答案】；
【解析】连接，
四边形为菱形，
，
，
，
为等边三角形，
，
是的切线，
，
，
同理可知，为等边三角形，
，
图中阴影部分的面积．
故答案为：
【点评】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握切线的性质定理、扇形面积公式是解题的关键．
14. 【答案】；
【解析】矩形中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得
．
故答案为：
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
三、 解答题
15. 【答案】
【解析】原式
．
故答案为：
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16. 【答案】
【解析】原式
，
，
，
则原式．
故答案为：
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
17. 【答案】答案见解析
【解析】证明：，
，，，
，
，，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键．
18. 【答案】大楼的高度约为米
【解析】如图，过点作于点，于点，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，
设，，
根据勾股定理，得
，
，
解得，
，
，
，
在中，，
（米）．
大楼的高度约为米．
故答案为：大楼的高度约为米
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
19. 【答案】（1）人
（2）中位数落在这一组内
（3）人
【解析】（1）本次抽取的学生有：（人），
组学生有：（人），
即被抽取的学生成绩在组的有人；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在这一组内；
（3）（人）；
这次竞赛成绩在组的学生有人．
故答案为：人；中位数落在这一组内；人
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20. 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为
（2）或
【解析】（1）将点代入，得：，
，
当时，，
，
将、代入，
得：，
解得，
；
一次函数解析式为，反比例函数解析式为；
（2）在中，当时，，
解得，
，
设，
则，
，
，
解得或，
点的坐标为或．
故答案为：一次函数解析式为，反比例函数解析式为；或
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及两点间的距离公式、三角形的面积问题．
21. 【答案】（1）元，元
（2）答案见解析
【解析】（1）设购买一根跳绳需要元，购买一个毽子需要元，
依题意，得：，
得：．
购买一根跳绳需要元，购买一个毽子需要元．
（2）设购买根跳绳，则购买个毽子，
依题意，得：，
得：．
又为正整数，
可以为，．
共有种购买方案，方案：购买根跳绳，个毽子；方案：购买根跳绳，个毽子．
故答案为：元，元；答案见解析
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）证明：连接、．
是圆的直径，
．
．
是圆的切线，
．
．
．
，
．
．
，，
．
，
．
．
．
（2），，
，
的半径为，，
，，
，
，
．
故答案为：答案见解析；
【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理，三角形的面积等知识，掌握切线的性质是解题的关键．
23. 【答案】（1）答案见解析
（2）① 答案见解析
② 答案见解析
【解析】（1）证明：，
，，
又，
，
，，
，，
，
；
（2）① 证明：如图，过点作交于点，
由（1）可知，，
，
将沿翻折得到，
，
，
，
又
．
② 证明：如图，过点作交于点，延长交于点，
，，
四边形为平行四边形．
，
将沿翻折得到．
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：答案见解析；答案见解析；答案见解析
【点评】本题是相似形综合题，考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24. 【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】（1），，
，，
把，代入抛物线中得：，
抛物线的解析式为：；
（2）如图，过作轴于，交于，
当时，，
，
设的解析式为：，
则，解得：，
的解析式为：，
设，则，
，
的面积是，
，
，
解得：或，
点在直线右侧的抛物线上，
，
的面积；
（3）分两种情况：
① 如图，在轴的上方时，四边形是平行四边形，
，，且在轴上，
的纵坐标为，
当时，即，
解得：或，
或；
② 如图，点在轴的下方时，四边形是平行四边形，此时与重合，
；
综上，点的坐标为：或或．
故答案为：；；答案见解析
【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会求函数与坐标轴的交点，会利用待定系数法求函数解析式，会利用数形结合的思想解决平行四边形的问题，并结合方程思想解决问题．
