2019年河北省中考数学试卷


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2019年河北省中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分





评卷人
得分



一、 选择题（共16题）
1. （3分）下列图形为正多边形的是．
A.
B.
C.
D.
2. （3分）规定：表示向右移动记作，则表示向左移动记作．
A． B． C． D．
3. （3分）如图，从点观测点的仰角是．

A． B． C． D．
4. （3分）语句“的与的和不超过”可以表示为．
A． B． C． D．
5. （3分）如图，菱形中，，则．

A． B． C． D．
6. （3分）小明总结了以下结论：
①；
②；
③ ；
④ ．
其中一定成立的个数是．
A． B． C． D．
7. （3分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容

则回答正确的是．
A． ◎代表
B． @代表同位角
C． ▲代表
D． ※代表
8. （3分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为．
A． B． C． D．
9. （3分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有个小正三角形涂黑，还需涂黑个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则的最小值为．

A． B． C． D．
10. （3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是．
A．
B．
C．
D．
11. （2分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：
① 从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类
② 去图书馆收集学生借阅图书的记录
③ 绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比
④ 整理借阅图书记录并绘制频数分布表
正确统计步骤的顺序是．
A. ② →③ →① →④
B. ③ →④ →① →②
C. ① →② 一④ →③
D. ② →④ →③ →①
12. （2分）如图，函数y=的图象所在坐标系的原点是．

A． 点 B． 点 C． 点 D． 点
13. （2分）如图，若为正整数，则表示的值的点落在．

A． 段① B． 段② C． 段③ D． 段④
14. （2分）图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，，，则．

A． B．
C． D．
15. （2分）小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小．则原方程的根的情况是．
A． 不存在实数根
B． 有两个不相等的实数根
C． 有一个根是
D． 有两个相等的实数根
16. （2分）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数．
甲：如图2，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取．
乙：如图3，思路是当为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取．
丙：如图4，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取．
下列正确的是．

A． 甲的思路错，他的值对
B． 乙的思路和他的值都对
C． 甲和丙的值都对
D． 甲、乙的思路都错，而丙的思路对

评卷人
得分



二、 填空题（共3题）
17. （3分）若，则的值为 ．
18. （4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例：即
则（1）用含的式子表示 ；
（2）当时，的值为 ．

19. （4分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了，，三地的坐标，数据如图（单位：）．笔直铁路经过，两地．
（1），间的距离为 ；
（2）计划修一条从到铁路的最短公路，并在上建一个维修站，使到，的距离相等，则，间的距离为 ．


评卷人
得分



三、 解答题（共7题）
20. （8分）有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个内，填入，，，中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算：；
（2）若，请推算内的符号；
（3）在“”的内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．
21. （9分）已知：整式，整式．

尝试 化简整式．
发现，求整式．
联想由上可知，，当时，，，为直角三角形的三边长，如图．填写下表中的值：
直角三角形三边



勾股数组Ⅰ
/

______
勾股数组Ⅱ

/
______

22. （9分）某球室有三种品牌的个乒乓球，价格是，，（单位：元）三种．从中随机拿出一个球，已知．
（1）求这个球价格的众数；
（2）若甲组已拿走一个元球训练，乙组准备从剩余个球中随机拿一个训练．
① 所剩的个球价格的中位数与原来个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；
② 乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到元球的概率．
又拿
先拿
















23. （9分）如图，和中，，，，边与边交于点（不与点，重合），点，在异侧，为的内心．
（1）求证：；
（2）设，请用含的式子表示，并求的最大值；
（3）当时，的取值范围为，分别直接写出，的值．
24. （10分）如图，和中，，，，边与边交于点（不与点，重合），点，在异侧，为的内心．
（1）求证：；
（2）设，请用含的式子表示，并求的最大值；
（3）当时，的取值范围为，分别直接写出，的值．
25. （10分）如图1和2，▱中，，，．点为延长线上一点，过点作切于点，设．
（1）如图1，为何值时，圆心落在上？若此时交于点，直接指出与的位置关系；
（2）当时，如图2，与交于点，求的度数，并通过计算比较弦与劣弧长度的大小；
（3）当与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围．

26. （12分）如图，若是正数，直线：与轴交于点；直线：与轴交于点；抛物线：的顶点为，且与轴右交点为．
（1）若，求的值，并求此时的对称轴与的交点坐标；
（2）当点在下方时，求点与距离的最大值；
（3）设，点，，分别在，和上，且是，的平均数，求点与点间的距离；
（4）在和所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出和时“美点”的个数．


参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】D
【解析】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，
故选
根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．
此题主要考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．
2. 【答案】B
【解析】解：“正”和“负”相对，所以，如果表示向右移动记作，则表示向左移动记作．
故选
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以，如果表示向右移动记作，则表示向左移动记作．
此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
3. 【答案】B
【解析】解：从点观测点的视线是，水平线是，
从点观测点的仰角是，
故选
根据仰角的定义进行解答便可．
本题主要考查了仰角的识别，熟记仰角的定义是解题的关键．仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
4. 【答案】A
【解析】解：“的与的和不超过”用不等式表示为．
故选
的即，不超过是小于或等于的数，按语言叙述列出式子即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
5. 【答案】D
【解析】解：四边形是菱形，，
，，
，
，
；
故选
由菱形的性质得出，，求出，即可得出．
此题考查了菱形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．
6. 【答案】C
【解析】解：① ，正确；
② ，正确；
③ ，正确；
④ ，错误，无法分解计算．
故选
直接利用单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算法则计算得出答案．
此题主要考查了单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7. 【答案】C
【解析】证明：延长交于点，
则（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．
又，得．
故（内错角相等，两直线平行）．
故选
根据图形可知※代表，即可判断；根据三角形外角的性质可得◎代表，即可判断；利用等量代换得出▲代表，即可判断；根据图形已经内错角定义可知@代表内错角．
本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单．
8. 【答案】D
【解析】解：．
故选
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
9. 【答案】C
【解析】解：如图所示，的最小值为，

故选
由等边三角形有三条对称轴可得答案．
本题主要考查利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．
10. 【答案】C
【解析】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选
根据三角形外心的定义，三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图格选项进行判断．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．
11. 【答案】D
【解析】解：由题意可得，
正确统计步骤的顺序是：② 去图书馆收集学生借阅图书的记录→④ 整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③ 绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→① 从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，
故选
根据题意和频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题．
本题考查扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确制作频数分布表和扇形统计图的制作步骤．
12. 【答案】A
【解析】解：由已知可知函数关于轴对称，
所以点是原点；
故选
由函数解析式可知函数关于轴对称，即可求解；
本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键．
13. 【答案】B
【解析】解
又为正整数，

故表示的值的点落在②
故选
将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据为正整数，从所给图中可得正确答案．
本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．
14. 【答案】A
【解析】解：，，
俯视图的长为，宽为，
则俯视图的面积，
故选
由主视图和左视图的宽为，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．
15. 【答案】A
【解析】解：小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，
，
解得：，
故原方程中，
则，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选
直接把已知数据代入进而得出的值，再解方程求出答案．
此题主要考查了根的判别式，正确得出的值是解题关键．
16. 【答案】B
【解析】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为；
乙的思路与计算都正确；
乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；
故选
平行四边形的性质矩形都具有；② 角：矩形的四个角都是直角；③ 边：邻边垂直；④ 对角线：矩形的对角线相等；⑤ 矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键．
二、 填空题
17. 【答案】；
【解析】解：，
，
解得：．
故答案为
直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18. 【答案】（1）；
（2）． ；
【解析】解：（1）根据约定的方法可得：
；
故答案为
（2）根据约定的方法即可求出
．
当时，．
解得．
．
故答案为
（1）根据约定的方法即可求出；
（2）根据约定的方法即可求出．
本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握列代数式的约定方法．
19. 【答案】（1）；
（2）．；
【解析】解：（1）由、两点的纵坐标相同可知：轴，
；
（2）过点作于点，连接，作的垂直平分线交直线于点，
由（1）可知：，
，
设，
，
由勾股定理可知：，
解得：，
，
故答案为，
（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出的长度；
（2）根据、、三点的坐标可求出与的长度，设，根据勾股定理即可求出的值．
本题考查勾股定理，解题的关键是根据、、三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型．

三、 解答题
20. 【答案】（1）；
（2）；
（3）这个最小数是．
【解析】解：（1）


；
（2）


内的符号是；
（3）这个最小数是
理由：在“”的内填入符号后使计算所得数最小
的结果是负数即可
的最小值是
的最小值是
这个最小数是．
（1）根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）根据题目中式子的结果，可以得到内的符号；
（3）先写出结果，然后说明理由即可．
本题考查有理数的混合运算，解答本题得关键是明确有理数混合运算的计算方法．
21. 【答案】
【解析】解：，
，，
，
当时，，；
当时，．
故答案为；
先根据整式的混合运算法则求出，进而求出，再把的值代入即可解答．
本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
22. 【答案】（1）这个球价格的众数为元
（2）① 答案见解析
② 答案见解析
【解析】解：（1），
元球的个数为（个），按照从小到大的顺序排列为，，，，
这个球价格的众数为元；
（2）① 所剩的个球价格的中位数与原来个球价格的中位数相同；理由如下：
原来个球的价格按照从小到大的顺序排列为，，，，
原来个球价格的中位数为（元），
所剩的个球价格为，，，
∴ 所剩的个球价格的中位数为元，
∴ 所剩的个球价格的中位数与原来个球价格的中位数相同；
② 列表如图所示：

共有个等可能的结果，乙组两次都拿到元球的结果有个，
∴ 乙组两次都拿到元球的概率为．
（1）由概率公式求出元球的个数，由众数的定义即可得出答案；
（2）① 由中位数的定义即可得出答案；
② 用列表法得出所有结果，乙组两次都拿到元球的结果有个，由概率公式即可得出答案．
本题考查了众数、中位数以及列表法求概率；熟练掌握众数、中位数的定义，列表得出所有结果是解题的关键．
23. 【答案】解：（1）在和中，（如图1）



即
．
（2），，

当时，最小，即为的最大值．
（3）如图2，设，则，



，，，
为的内心
、分别平分，，
，




，
，即，
，．
【解析】（1）由条件易证，得，．
（2），点在线段上且不与、重合，的最小值即时的长度，此时可得最大值．
（3）为的内心，即为角平分线的交点，应用“三角形内角和等于“及角平分线定义即可表示出，从而得到，的值．
本题是一道几何综合题，考查了点到直线的距离垂线段最短，的角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，三角形内心概念及角平分线定义等，解题关键是将最大值转化为的最小值．
24. 【答案】解：（1）在和中，（如图1）



即
．
（2），，

当时，最小，即为的最大值．
（3）如图2，设，则，



，，，
为的内心
、分别平分，，
，




，
，即，
，．
【解析】（1）由条件易证，得，．
（2），点在线段上且不与、重合，的最小值即时的长度，此时可得最大值．
（3）为的内心，即为角平分线的交点，应用“三角形内角和等于“及角平分线定义即可表示出，从而得到，的值．
本题是一道几何综合题，考查了点到直线的距离垂线段最短，的角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，三角形内心概念及角平分线定义等，解题关键是将最大值转化为的最小值．
25. 【答案】解：（1）如图1，经过圆心，与相切于，
，

▱，
，

，设，，由，
得，解得（舍去），，
，
故当时，圆心落在上；
是的直径，
，
，
▱，


（2）如图2，过点作于，
▱，
，

，
设，，由勾股定理得：，解得，
，，，，

，
；

连接，，过点作于，则，，
在中，，
是的切线，
，，


，即，，

劣弧长度=，

弦的长度>劣弧长度．
（3）如图3，与线段只有一个公共点，即圆心位于直线下方，且，

当，时，此时取得最小值，过点作于，
，

，

，

【解析】（1）由三角函数定义知：中，，设，，由勾股定理可求得，根据“直径所对的圆周角是直角”可得，由此可得；
（2）作，运用勾股定理和三角函数可求和，再应用三角函数求，应用弧长公式求劣弧长度，再比较它与长度的大小；
（3）当与线段只有一个公共点时，与相切于点，或与线段的延长线相交于另一点，此时，只有最小值，即．
本题是一道几何综合题，考查了圆的切线性质，相似三角形性质，三角函数解直角三角形，勾股定理，弧长计算等；综合性较强，学生解题时要灵活运用所学数学知识解决问题．
26. 【答案】解：（1）当吋，，
，
，而，
，
．
：，
的对称轴，
当吋，，
的对称轴与的交点为；
（2），
的顶点
点在下方，
与的距离，
点与距离的最大值为；
（3）由題意得，即，
得
解得或．但，取，
对于，当吋，，即，
解得，，
，
右交点．
点与点间的距离
（4）① 当时，抛物线解析式：
直线解析式：
联立上述两个解析式可得：，，
可知每一个整数的值 都对应的一个整数值，且和之间（包括和）共有个整数；
另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
线段和抛物线上各有个整数点
总计个点，
这两段图象交点有个点重复重复，
美点”的个数：（个）；
② 当时，
抛物线解析式：，
直线解析式：，
联立上述两个解析式可得：，，
当取整数时，在一次函数上，取不到整数值，因此在该图象上“美点”为，
在二次函数图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，
可知到之 间有个偶数，并且在和之间还有整数，验证后可知也符合
条件，因此“美点”共有个．
故时“美点”的个数为个，时“美点”的个数为个．
【解析】（1）当吋，，所以，而，而，则，．所以：，对称轴，当吋，，于是的对称轴与的交点为；
（2），顶点因为点在下方，则与的距离，所以点与距离的最大值为；
（3）由題意得，即，得解得=0或．但，取，对于，当吋，，即，解得，，右交点．因此点与点间的距离
（4）① 当时，抛物线解析式：直线解析式：，美点”总计个点，
② 当时，抛物线解析式：，直线解析式：，“美点”共有个．
本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．