2019年河北省石家庄四十二中中考数学模拟试卷（1）

绝密★启用前

2019年河北省石家庄四十二中中考数学模拟试卷（1）

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx

1.  下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）

A. 角

B. 线段

C. 等边三角形

D. 平行四边形

2.  下列函数关系中，是二次函数的是（　　）

A. 在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系

B. 当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系

C. 等边三角形的周长C与边长a之间的关系

D. 半圆面积S与半径R之间的关系

3.  函数与在同一直角坐标系中的图象可能是．

A．

B．

C．

D．

4.  用列表法画二次函数的图象时先列一个表，当表中对自变量的值以相等间隔的值增加时，函数所对应的值依次为：，，，，，，，，其中有一个值不正确，这个不正确的值是　　

A.  B.  C.  D.

5.  如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB，垂足为D，连接AC、BC、OC，那么下列结论中：① PC2=PA•PB；② PC•OC=OP•CD；③ OA2=OD•OP；④ OA（CP-CD）=AP•CD，正确的结论有（　　）个．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6.  “高高兴兴上学来，开开心心回家去”．小明某天放学后，17时从学校出发，回家途中离家的路程s（km）与所走的时间t（min）之间的函数关系如图所示，那么这天小明到家的时间为（　　）

A. 17时15分  B. 17时14分

C. 17时12分  D. 17时11分

7.  反比例函数y=的图象经过点（tan45°，cos60°），则k=______．

8.  图中外接圆的圆心坐标是 ______ ．

9.  一次函数的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为，则的值为 ______ ．

10. 如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动．当⊙O移动到与AC边相切时，OA的长为______．

11. 在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，已知b是a、c的比例中项，且当x=0时y=-4，那么y的最值为______（并要求指明是最大值还是最小值）．

12. 如图为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为20厘米，钟面数字2在长方形的顶点处，则长方形的长为______厘米．

13. 学校食堂出售两种厚度一样但大小不同的面饼，小饼直径30cm，售价30分；大饼直径40cm，售价40分．你更愿意买______饼，原因是______．

14. 如果记，并且表示当时的值，即；表示当时的值，即，那么 ______ 结果用含的代数式表示，为正整数．

15. 同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园（六•一）前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4m．

（1）求滑梯AB的长（精确到0.1m）；

（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ ABC）不超过45°属于安全范围．请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求?

16. 已知⊙O的半径为12cm，弦AB=16cm．

（1）求圆心O到弦AB的距离；

（2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形?

17. 某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量升与时间分钟之间的关系如折线图所示：

根据图象解答下列问题：

洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？

已知洗衣机的排水速度为每分钟升，

求排水时与之间的关系式．

如果排水时间为分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量．

18. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根

求的取值范围；

如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时的值．

19. 如图所示，已知两点A（-1，0），B（4，0），以AB为直径的半圆P交y轴于点C．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）设弦AC的垂直平分线交OC于D，连接AD并延长交半圆P于点E，​与​相等吗?请证明你的结论；

（3）设点M为x轴负半轴上一点，OM=AE，是否存在过点M的直线，使该直线与（1）中所得的抛物线的两个交点到y轴的距离相等?若存在，求出这条直线对应函数的解析式；若不存在．请说明理由．

参考答案及解析

一、 选择题

1.  【答案】D

 【解析】解：A、角是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，

B、线段是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误，

C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，

D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确．

故选：D．

根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形．

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，难度适中．

2.  【答案】D

 【解析】解：A、y=kx+b，是一次函数，错误；

B、t=，是反比例函数，错误；

C、C=3a，是正比例函数，错误；

D、S=．是二次函数，正确；

故选：D．

根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可．

本题主要考查的是二次函数定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．

3.  【答案】A

 【解析】解：当时，函数的图象开口向上，但当时，​，故不可能；

当时，函数的图象开口向下，但当时，​，故、不可能．

可能的是．

故选

本题只有一个待定系数，且，根据和分类讨论．也可以采用“特值法”，逐一排除．

讨论当时和时的两种情况，用了分类讨论的思想．

4.  【答案】C

 【解析】解：设相邻的两个自变量的值为、，代入，

计算差值为：，因此函数值之间的差值间隔是相等的，

即含有公因数，

计算各个差值为

；；；；；；，

、、都含有公因数，即，

而不含有因数，

可以断定是错误了．

故选C．

因为的值以相等间隔的值增加，所以只要设出相邻的两个自变量的值为、代入求出差值，再由具体的计算看是否成规律变化找出即可．

此题主要考查画二次函数图象时，一般利用函数对称性取值描点，使点之间的数据间隔相等．

5.  【答案】D

 【解析】解：① ∵ PC与⊙O相切于点C，

∴ ∠ PCB=∠ A，∠ P=∠ P，

∴ △PBC∽△PCA，

∴ PC=PA•PB；

② ∵ OC⊥PC，

∴ PC•OC=OP•CD；

③ ∵ CD⊥AB，OC⊥PC，

∴ OC=OD•OP，

∵ OA=OC，

∴ OA=OD•OP；

④ ∵ AP•CD=OC•CP-OA•CD，OA=OC，

∴ OA（CP-CD）=AP•CD，

所以正确的有① ，② ，③ ，④ ，共4个．

故选：D．

① 证明△PBC∽△PCA，即可得到结论，这实际上是圆的切割线定理，正确；

② 根据切线的性质定理，得OC⊥PC，再根据直角三角形的面积公式即可证明结论，正确；

③ 根据直角三角形的射影定理，得OC=OD•OP，再根据OA=OC，即可证明结论，正确；

④ 根据△APC的面积分．

综合运用切割线定理、射影定理、不同的角度表示同一个三角形的面积．

6.  【答案】C

 【解析】解：前段的速度为（1.8-1.5）÷3=0.1，所以6分钟走了0.6km．

后段有1.8-0.6=1.2km，速度为（1.2-0.8）÷（8-6）=0.2，所需时间1.2÷0.2=6．

所以途中共用时6+6=12分钟，到家时间是17时12分．

故选：C．

根据函数图象，从图象中分别求出两段的速度；

然后依据题目中已知的路程，从而找出时间，相加即可．

这是检测一次函数的图象与实际问题的题目，从图中获取相关信息是关键．

二、 填空题

7.  【答案】

 【解析】解：∵ tan45°=1，cos60°=，

∴ k=tan45°×cos60°=．

先求得该点的坐标，然后代入反比例函数解析式即可求得k的值．

函数解析式上的点的坐标适合这个函数解析式．

8.  【答案】

 【解析】解：设圆心坐标为；

依题意得：、、，

则有：；

即，

化简后得：，；

因此圆心坐标为：．

本题可先设圆心坐标为，再根据“三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出圆心的坐标．

本题考查了三角形外接圆的性质和坐标系中两点间的距离公式解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质．

9.  【答案】或

 【解析】解：在中令，得，

则函数与轴的交点坐标是：；

设函数与轴的交点坐标是，

根据勾股定理得到，

解得；

当时，把代入，得；

当时，把代入，得．

故的值为或．

首先求出一次函数与轴的交点坐标；由于函数与轴的交点的纵坐标是，可以设横坐标是，然后利用勾股定理求出的值；再把代入一次函数的解析式，从而求出的值．

解决本题的关键是求出函数与轴的交点坐标，然后根据勾股定理求得函数与轴的交点坐标，进而求出的值．

10. 【答案】

 【解析】解：如图．

连接OD．

∵ AC与⊙O相切于点D，

∴ ∠ ADO=90°．

∵ △ABC为正三角形，

∴ ∠ A=60°．

∴ sin∠ A=，

∴

∴ OA=．

连接OD，利用AC与⊙O相切于点D，△ABC为正三角形，可求得sin∠ A=，利用特殊角的三角函数值可求得OA=．

此题考查了圆的切线的性质及三角函数的定义的应用，解题时要注意数形结合．

11. 【答案】y最大值=-3

 【解析】解：∵ 当x=0时y=-4，代入原式得：-4=c，

又∵ b是a、c的比例中项，

∴ b=ac＞0，

∴ a＜0，

∴ y有最大值，

y===c=×（-4）=-3．

故答案为：y=-3．

本题考查二次函数最大（小）值的求法，先根据已知条件求出c的值，再直接套用函数的最值公式即可．

求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x-2x+5，y=3x-6x+1等用配方法求解比较简单．

12. 【答案】20

 【解析】解：设长方形长的一半为x．

∵ tan30°==，

∴ x=，

∴ 长方形长为20cm．

依题意可知该三角形为直角三角形，其中有一锐角为30°，又知其中一直角边是10，再利用锐角三角函数的正切值解决问题．

本题主要是和生活实际相联系，注意观察得到相应的结论．

13. 【答案】大   相同面积的大饼价格便宜 

 【解析】解：设小饼面积为a，大饼面积为b，则a=225π，b=400π，

则每1cm的小饼和大饼的价格分别为：≈0.13分和≈0.1分，

所以一般愿意买大饼，因为相同面积的大饼比小饼的价格便宜．

因为两种面饼的厚度相同，设小饼面积为a，大饼面积为b，再分别计算出1cm的大饼和小饼的价格进行比较即可．

根据大饼和小饼的厚度相同，故可分别求出相同面积的大饼和小饼的价格，再进行比较即可求出答案．

14. 【答案】

 【解析】解：；，

得；

．

故为正整数

由可得：；从而所以为正整数．

解答此题关键是根据题中所给的式子找出规律，再解答．

三、 解答题

15. 【答案】解：（1）由题意AB==2≈4.5m，因此滑梯的长约为4.5m．

（2）Rt△ABC中，AC：BC=1：2，

∴ tan∠ ABC=．

∴ 锐角∠ ABC≈27°＜45°．

这架滑梯的倾斜角符合要求．

 【解析】

（1）Rt△ABC中，已知了两条直角边AC，BC的长，根据勾股定理，可得出AB的长．

（2）根据Rt△ABC中已知的两条直角边，可以通过三角函数来求出角度的大小，从而进行判断．

本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．

16. 【答案】（1）解：

连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离，

∵ OC⊥AB，OC过圆心O，

∴ AC=BC=AB=8cm，

在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC===4（cm），

答：圆心O到弦AB的距离是4cm．

（2）解：如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点到圆心O的距离都是4cm，

∴ 如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成一个以O为圆心，以4cm为半径的圆周．

 【解析】

（1）连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离，求出BC，再根据勾股定理求出OC即可；

（2）弦AB的中点形成一个以O为圆心，以4cm为半径的圆周．

本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，主要培养学生运用定理进行推理和计算的能力，题型较好，难度适中．

17. 【答案】解：依题意得洗衣机的进水时间是分钟，清洗时洗衣机中的水量是升；

洗衣机的排水速度为每分钟升，从第分钟开始排水，排水量为升，

，

排水时间为分钟，

升．

排水结束时洗衣机中剩下的水量升．

 【解析】

根据函数图象可以确定洗衣机的进水时间，清洗时洗衣机中的水量；

由于洗衣机的排水速度为每分钟升，并且从第分钟开始排水，排水量为升，由此即可确定排水时与之间的关系式；

根据中的结论代入已知数值即可求解．

此题主要考查了一次函数应用，解题的关键首先正确理解题意，然后利用数形结合的思想和待定系数法即可求解．

18. 【答案】解：由一元二次方程有两个不相等的实数根，得

​，

解得；

由是符合条件的最大整数，且一元二次方程，得

，

解得，，

一元二次方程与有一个相同的根，

当时，把代入，得，解得，

当时，把代入，得，解得，

综上所述：如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，．

 【解析】

根据方程有两个不等实数根，可得判别式大于零，根据解不等式，可得答案；

根据解方程，可得的解，根据解相同，把方程的解代入，可得关于的一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．

本题考查了根的判别式，利用了根的判别式，同解方程．

19. 【答案】解：（1）连接BC

∵ AB为直径，

∴ ∠ ACB=90度．

∴ OC=OA•OB

∵ A（-1，0），B（4，0），

∴ OA=1，OB=4，

∴ OC=4

∴ OC=2

∴ C的坐标是（0，2）

设经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4）

把x=0时，y=2代入上式得

a=-，

∴ y=-x+x+2．

（2）​=​

证明：∵ ∠ ACB=90度．

∴ ∠ CAB+∠ ABC=90度．

∵ ∠ CAB+∠ ACO=90度．

∴ ∠ ABC=∠ ACO．

∵ PD是AC的垂直平分线，

∴ DA=DC，

∴ ∠ EAC=∠ ACO．

∴ ∠ EAC=∠ ABC，

∴ ​=​．

（3）不存在．

连接PC交AE于点F

∵ ​=​

∴ PC⊥AE，AF=EF

∵ ∠ EAC=∠ ACO，∠ AFC=∠ AOC=90°，

AC=CA，

∴ △ACO≌△CAF

∴ AF=CO=2

∴ AE=4

∵ OM=AE，

∴ OM=2．

∴ M（-2，0）

假设存在，设经过M（-2，0）和y=-x+x+2相交的直线是y=kx+b；

因为交点到y轴的距离相等，所以应该是横坐标互为相反数，

设两横坐标分别是a和-a，则两个交点分别是（a，-a+a+2）与（-a，-a-a+2），

把以上三点代入y=kx+b，得，

解得a无解，所以不存在这样的直线．

 【解析】

（1）本题的关键是求出C点的坐标，可通过构建直角三角形来求解．连接BC，即可根据射影定理求出OC的长，也就得出了C点的坐标，已知了A，B，C三点的坐标后即可用待定系数法求出抛物线的解析式．

（2）求弧AC=弧CE，可通过弧对的圆周角相等来证，即证∠ EAC=∠ ABC，根据等角的余角相等不难得出∠ ACO=∠ ABC，因此只需证∠ DCA=∠ DAC即可．由于PD是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得出DA=DC，即可证得∠ DAC=∠ DCA，由此可证出弧AC=弧CE．

（3）可先求出M点的坐标，由于OM=AE，因此要先求出AE的长．如果连接PC，设PC与AE的交点为F，那么OF=OM=AE，OF的长可通过证三角形CAO和AFC全等来得出，有了OM的长就能得出M的坐标．可先设出过M于抛物线相交的直线的解析式．然后根据两交点到y轴的距离相等，即横坐标互为相反数，可根据（1）的抛物线的解析式表示出着两个交点的坐标，然后将两交点和M的坐标代入直线的解析式中，可得出一个方程组，如果方程组无解，那么不存在这样的直线，如果有解，可根据方程组的解得出直线的解析式．

本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、垂径定理、三角形全等等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生数形结合的数学思想方法．