2019年河北省唐山市滦南县中考数学二模试卷


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2019年河北省唐山市滦南县中考数学二模试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分





评卷人
得分



一、 选择题（共16题）
1. （3分）计算：　　
A. B. C. D.
2. （4分）下列图形中，是轴对称图形的是　　
A.
B.
C.
D.
3. （3分）经党中央批准、国务院批复自2018年起，将每年秋分日设立为“中国农民丰收节”，据国家统计局数据显示，2018年某省夏季粮食总产量达到2389000吨，将数据“2389000”用科学记数法表示为（　　）
A. 238.9×104
B. 2.389×106
C. 23.89×105
D. 2389×103
4. （3分）下列计算中正确的是（　　）
A. 2a+3a=5a
B. a3•a2=a6
C. （a-b）2=a2+b2
D. （-a2）3=-a5
5. （3分）如图，有，，三个地点，且，从地测得地在地的北偏东的方向上，那么从地测得地在地的　　

A. 南偏西 B. 南偏东
C. 北偏东 D. 北偏西
6. （3分）估计的值应在　　
A. 和之间 B. 和之间
C. 和之间 D. 和之间
7. （3分）如图1，该几何体是由5个棱长为1个单位长度的正方体摆放而成，将正方体A向右平移2个单位长度后（如图2），所得几何体的视图（　　）

A. 主视图改变，俯视图改变
B. 主视图不变，俯视图不变
C. 主视图改变，俯视图不变
D. 主视图不变，俯视图改变
8. （3分）某市5月份连续7天的最高气温如下（单位：℃）：32，30，34，36，36，33，37．这组数据的中位数、众数分别为（　　）
A. 34℃，36℃
B. 34℃，34℃
C. 36℃，36℃
D. 32℃，37℃
9. （3分）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图摆放，直角顶点B在零刻线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，则∠ CBD的度数是（　　）

A. 45°10' B. 44°50'
C. 46°10' D. 不能确定
10. （3分）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图① 是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图② 是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（　　）

A. 第24天的销售量为300件
B. 第10天销售一件产品的利润是15元
C. 第27天的日销售利润是1250元
D. 第15天与第30天的日销售量相等
11. （2分）代数式中的取值范围在数轴上表示为　　
A.
B.
C.
D.
12. （2分）如图，在横格作业纸（横线等距）上画一条直线，与横格线交于A，B，C三点，则BC：AC等于（　　）

A. 2：3 B. 2：5 C. 3：4 D. 3：5
13. （2分）如图，在∠ MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠ MON的内部交于点C，作射线OC．若OA=5，AB=6，则点B到AC的距离为（　　）

A. 5 B. C. 4 D.
14. （2分）若关于的方程的两根互为相反数，则的值为．
A． B． C． D．
15. （2分）边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ ABO的度数为（　　）

A. 24° B. 48° C. 60° D. 72°
16. （2分）如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有个不同的交点，则的取值范围是　　

A.
B.
C.
D.

评卷人
得分



二、 填空题（共3题）
17. （3分）______．
18. （3分）若，，则的值为______．
19. （4分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=x+b和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3…都是等腰直角三角形．如果点A1（1，1），那么b=______，点A2019的纵坐标是______．


评卷人
得分



三、 解答题（共7题）
20. （8分）如图是学习分式方程时，老师板书的问题和两名同学所列的方程

根据以上信息，解答下列问题
（1）冰冰同学所列方程中的x表示______，庆庆同学所列方程中的y表示______；
（2）两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；
（3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．
21. （9分）年东营市教育局在全市中小学开展了“情系疏勒书香援疆”捐书活动，多所学校的师生踊跃参与，向新疆疏勒县中小学共捐赠爱心图书万余本某学校学生社团对本校九年级学生所捐图书进行统计，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表请你根据统计图表中所提供的信息解答下列问题：
图书种类
频数本
频率
名人传记


科普图书


小说


其他


求该校九年级共捐书多少本；
统计表中的______，______，______，______；
若该校共捐书本，请估计“科普图书”和“小说”一共多少本；
该社团名成员各捐书本，分别是本“名人传记”，本“科普图书”，本“小说”，要从这人中任选人为受赠者写一份自己所捐图书的简介，请用列表法或树状图求选出的人恰好人捐“名人传记”，人捐“科普图书”的概率．

22. （9分）如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上任一点．
（1）若∠ BAC=30°，过点C作半圆O的切线交直线AB于点P．求证：△PBC≌△AOC；
（2）若AB=6，过点C作AB的平行线交半圆O于点D．当以点A，O，C，D为顶点的四边形为菱形时，求​BC​的长．

23. （10分）阅读材料：基本不等式≤（a＞0，b＞0），当且仅当a=b时，等号成立．其中我们把叫做正数a、b的算术平均数，叫做正数a、b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具．
例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+有最小值，最小值是多少？
解∵ x＞0，＞0
∴ ≥，即是x+≥2
∴ x+≥2，
当且仅当x=时，即x=1时，x+有最小值，最小值为2．
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）若x＞0，函数y=2x+，当x为何值时，函数有最值，并求出其最值，
（2）当x＞0时，式子x2+1+≥2成立吗？请说明理由．
24. （10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2），且与x轴相切于点B．
（1）当x=0时，求⊙P的半径；
（2）请直接写出y与x之间的函数关系式，并求出y的最小值；
（3）在⊙P运动过程中，是否存在某一位置，使得⊙P与x轴、y轴都相切?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

25. （10分）为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成．设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为，求的值；
（3）若该单位用元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．

甲
乙
丙
单价（元棵）



合理用地（棵）




26. （12分）已知：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点在的右侧．
当时，求这个一次函数和反比例函数的解析式，以及点的坐标；
在的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
当时，设，时，直线与此反比例函数图象的另一支交于另一点，连接交轴于点若，求的面积．


参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】D
【解析】解：．
故选：．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了相反数的定义，正确把握定义是解题关键．
2. 【答案】D
【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 【答案】B
【解析】解：2 389000用科学记数法表示为2.389×106，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 【答案】A
【解析】解：A、2a+3a=5a，正确；
B、a3•a2=a5，错误；
C、（a-b）2=a2+2ab+b2，错误；
D、（-a2）3=-a6，错误；
故选：A．
根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式解答即可．
此题考查同底数幂的乘法，关键是根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式的法则判断．
5. 【答案】D
【解析】解：，
，
，
，
，
地在地的北偏西的方向上．
故选：．
根据方向角的概念，和平行线的性质求解．
本题主要考查了方位角，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．

6. 【答案】C
【解析】解：，
，
的值应在和之间，
故选：．
先合并后，再根据无理数的估计解答即可．
本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算出无理数的大小．
7. 【答案】D
【解析】解：将正方体A向右平移2个单位长度后，所得几何体的左视图和主视图不变，俯视图发生改变，
故选：D．
主视图是从正面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断．
此题考查了简单组合体的三视图，掌握主视图及俯视图的观察方法是解答本题的关键，难度一般．
8. 【答案】A
【解析】解：把这组数据从小到大排列为30，32，33，34，36，36，37，最中间的数是34，
则中位数是34；
众数是36；
故选：A．
先把这组数据从小到大排列，找出最中间的数，即可得出这组数据的中位数，再根据众数的概念进行解答即可．
此题考查了中位数和众数，掌握中位数的定义是本题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
9. 【答案】D
【解析】解：∵ AB是⊙O的切线，
∴ ∠ OPB=90°，
∵ ∠ ABC=90°，
∴ OP∥BC，
∴ ∠ POB=∠ CBD，
∵ 点P不确定，
∴ ∠ POB不确定，
∴ ∠ CBD不确定，
故选：D．
根据切线的性质得到∠ OPB=90°，根据平行线的性质得到∠ POB=∠ CBD，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
10. 【答案】D
【解析】解：A、根据图① 可得第24天的销售量为300件，故正确；
B、设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=kx+b，
把（0，25），（20，5）代入得：，
解得：，
∴ z=-x+25，
当x=10时，z=-10+25=15，
故正确；
C、当24≤t≤30时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=k1t+b1，
把（30，200），（24，300）代入得：，
解得：，
∴ y=-t+700，
当t=27时，y=250，
∴ 第27天的日销售利润为；250×5=1250（元），故C正确；
D、当0＜t＜24时，可得y=t+100，t=15时，y≠200，故D错误，
故选：D．
A、利用图象① 即可解决问题；
B、利用图象② 求出函数解析式即可判断；
C、求出销售量以及每件产品的利润即可解决问题；
D、求出第15天与第30天的日销售量比较即可；
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11. 【答案】A
【解析】解：由题意，得
且，
解得且，
在数轴上表示如图，
故选：．
根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不能为零得出不等式是解题关键．
12. 【答案】C
【解析】解：如图所示：过点A作平行线的垂线，交点分别为D，E，

可得：△ABD∽△ACE，
∴ ==，
∴ BC：AC=3：4，
故选：C．
根据已知图形构造相似三角形，进而得出△ABD∽△ACE，
此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意构造△ABD∽△ACE是解题关键．
13. 【答案】B
【解析】解：由题意可得，
OC为∠ MON的角平分线，
∵ OA=OB，OC平分∠ AOB，
∴ OC⊥AB，
设OC与AB交于点D，作BE⊥AC于点E，
∵ AB=6，OA=5，AC=OA，OC⊥AB，
∴ AC=5，∠ ADC=90°，AD=3，
∴ CD=4，
∵ ，
∴ ，
解得，BE=，
故选：B．
根据题意，作出合适的辅助线，然后根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理可以求得点B到AC的距离，本题得以解决．
本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

14. 【答案】B
【解析】解：根据题意得，解得或，
而时，原方程化为，方程没有实数解，
所以的值为．
故选
利用根与系数的关系得到，解方程得到或，然后利用方程有无实数解确定的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
15. 【答案】A
【解析】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，
∴ ∠ BOA=360°120°-108°=132°，
∵ AO=BO，
∴ ∠ ABO=∠ OAB==24°
故选：A．
根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角108°和正六边形的内角120°，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结论．
本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键．
16. 【答案】C
【解析】解：抛物线与轴交于点、
，
抛物线向左平移个单位长度
平移后解析式
当直线过点，有个交点


当直线与抛物线相切时，有个交点


相切


如图
若直线与、共有个不同的交点，
--
故选：．
首先求出点和点的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时的值以及直线过点时的值，结合图形即可得到答案
本题主要考查抛物线与轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
二、 填空题
17. 【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用立方根的性质以及结合特殊角的三角函数值化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18. 【答案】
【解析】解：，，




．
故答案是：．
对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值．
本题考查了公式法分解因式，属于基础题，熟练掌握平方差公式的结构即可解答．
19. 【答案】
【解析】解：将点A1（1，1）代入y=x+b，
∴ b=；
y=x+与x轴交点坐标（-4，0），
∴ ==，
∴ y2=，
=，
∴ y3=，
=，
∴ y4=，
…
yn=，
∴ y2019=；
故答案为；；
将点A1（1，1）代入y=x+b，即可求b；求出一次函数与x轴交点坐标（-4，0），利用直角三角形正切函数值发现yn=，即可求A2019的纵坐标；
本题考查一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质；将点的纵坐标与直角三角形的正切值相结合，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键
三、 解答题
20. 【答案】小红步行的速度 小红步行的时间
【解析】解：（1）小红步行的速度；小红步行的时间；
（2）冰冰用的等量关系是：小红乘公共汽车的时间+小红步行的时间=小红上学路上的时间．
庆庆用的等量关系是：公共汽车的速度=9×小红步行的速度．
（上述等量关系式，任选一个就可以）；
（3）选冰冰的方程：+=1，
去分母，得：36+18=9x，
x的系数化为1，得：x=6，
经检验：x=6是原分式方程的解，
答：小红步行的速度是6千米/h；
选庆庆的方程：=9×，
去分母，得：36y=18（1-y），
解这个整式方程，得：y=，
经经验：y=是原分式方程的解，
∴ 小红步行的速度是：2÷=6（千米/h），
答：小红步行的速度是6千米/h．
（1）根据题意确定出x与y表示的意义即可；
（2）找出两人的等量关系，写出一个即可；
（3）根据得出的等量关系确定出方程，求出解即可得到结果．
此题考查了分式方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
21. 【答案】
【解析】解：该校九年级共捐书：；

、、、，
故答案为：、、、；

估计“科普图书”和“小说”一共本；

分别用“、、”代表“名人传记”、“科普图书”、“小说”三本书，可用列表法表示如下：
















则所有等可能的情况有种，其中人恰好人捐“名人传记”，人捐“科普图书”的情况有种，
所以所求的概率：．
根据名人传记的圆心角求得其人数所占百分比，再用名人传记的人数除以所得百分比可得总人数；
根据频率频数总数分别求解可得；
用总人数乘以样本中科普图书和小说的频率之和可得；
列表得出所有等可能结果，从中找到恰好人捐“名人传记”，人捐“科普图书”的结果数，利用概率公式求解可得．
本题考查了列表法和树状图法求概率，频数分布直方图，扇形统计图，正确的识图是解题的关键．
22. 【答案】解：（1）∵ AB为半圆O的直径，
∴ ∠ ACB=90°，
∵ ∠ BAC=30°，
∴ ∠ ABC=60°，
∵ OB=OC，
∴ △OBC是等边三角形，
∴ OC=BC，∠ OBC=∠ BOC=60°，
∴ ∠ AOC=∠ PBC=120°，
∵ CP是⊙O的切线，
∴ OC⊥PC，
∴ ∠ OCP=90°，
∴ ∠ ACO=∠ PCB，
在△PBC与△AOC中，，
∴ △PBC≌△AOC（ASA）；
（2）如图1，连接OD，BD，CD，
∵ 四边形AOCD是菱形，
∴ OA=AD=CD=OC，
则，OA=OD=OC，
∴ △AOD与△COD是等边三角形，
∴ ∠ AOD=∠ COD=60°，
∴ ∠ BOC=60°，
∴ ​BC​的长==π；
如图2，同理∠ BOC=120°，
∴ ​BC​的长==2π，
综上所述，​BC​的长为π或2π．


【解析】
（1）根据圆周角定理得到∠ ACB=90°，推出△OBC是等边三角形，根据等边三角形和外角的性质得到∠ AOC=∠ PBC=120°，根据切线的性质得到∠ OCP=90°，根据全等三角形的判定即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到OA=AD=CD=OC，连接OD，得到△AOD与△COD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ AOD=∠ COD=60°，求得∠ BOC=60°，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了切线的性质，全等三角形的判定，菱形的性质，圆周角定理，弧长的计算，正确的作出图形是解题的关键．
23. 【答案】解：（1）∵ x＞0，
∴ 2x＞0，
∴ 2x+​1​x​≥2=2，
当且仅当2x=，即x=时，2x+有最小值，最小值为2
（2）式子不成立．
理由：∵ x＞0，∴ x2+1＞0，＞0，
∴ x2+1+≥2=2，
当且仅当x2+1=，即x=0时，x2+1+有最小值，且最小值为2，
∵ x＞0，∴ 不等式不能取等号，
亦即不等式x2+1+≥2不成立．
【解析】
根据已知阅读材料，按规律进行逐步计算即可．
本题考查了阅读材料的题目，熟练材料的规律是解答此题的关键．
24. 【答案】解：（1）∵ ⊙P与x轴相切，且过点A（1，2），
∴ y＞0．
当x=0时，PB=PA，即y=，
等式两边同时平方，得：y=1+（2-y），
整理，得：4y-5=0，
解得：y=，
∴ 当x=0时，⊙P的半径为．
（2）由（1），得：y=（1-x）+（2-y），
∴ y=x-x+．
∵ y=x-x+=（x-1）+1，＞0，
∴ 当x=1时，y取得最小值，最小值为1．
（3）∵ ⊙P与x轴、y轴均相切，且过点A（1，2），
∴ x=y＞0．
由（2），得：x=x-x+，
整理，得：x-6x+5=0，
解得：x=1，x=5，
∴ y=1，y=5，
∴ 在⊙P运动过程中，存在某一位置，使得⊙P与x轴、y轴都相切，此时点P的坐标为（1，1）或（5，5）．
【解析】
（1）由⊙P与x轴相切且过点A（1，2），可得出y＞0，当x=0时，利用两点间的距离公式及半径相等，可得出关于y的方程，解之即可得出y值，进而可得出⊙P的半径；
（2）利用两点间的距离公式及半径相等，可得出y与x之间的函数关系式，再利用二次函数的性质可求出y的最小值；
（3）由（2）的结论结合x=y，可得出关于x的方程，解之可得出x的值，进而可求出点P的坐标．
本题考查了切线的性质、两点间的距离公式、二次函数的性质以及解无理方程，解题的关键是：（1）利用两点间的距离公式结合半径相等，找出关于y的方程；（2）利用两点间的距离公式及半径相等，找出y与x之间的函数关系式；（3）利用两点间的距离公式及半径相等，找出关于x的方程．
25. 【答案】解：（1）．
（2）由题意：，
解得或．
时，，不符合题意，
的值为．
（3），
时，有最大值，
设购买了乙种绿色植物棵，购买了丙种绿色植物棵，
由题意：，
，
的最大值为，此时，
需要种植的面积，
这批植物不可以全部栽种到这块空地上．
【解析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；
（2）构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意；
（3）利用二次函数的性质求出的最大值，设购买了乙种绿色植物棵，购买了丙种绿色植物棵，由题意：，可得，推出的最大值为，此时，再求出实际植物面积即可判断；
本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26. 【答案】解：把代入，得．
反比例函数的解析式为，
把代入，得到，
一次函数的解析式为，
解方程组，得或，
点的坐标为；

若，
过点作于，设与轴的交点为，如图，
对于，
当时，，解得，
点，．
，，，
，
，
，
又，
，，
，
∽，
，
，
，
，
可设直线的解析式为，
则有，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，得或，
点的坐标为．
若，
同理可得：点的坐标为，
综上所述：符合条件的点的坐标为、；

过点作轴于，过点作轴于，连接，如图，
则有，
∽，
，
，
，
，，
，，，
，即
，都在反比例函数的图象上，
，
．
，
，
解得：．
，，．
设直线的解析式为，
则有，
解得：，
直线的解析式为．
当时，，则点，，


．
，
，
．


【解析】
只需把点的坐标代入反比例函数的解析式和一次函数的解析式，就可求出反比例函数的解析式和一次函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点的坐标；
是以为直角边的直角三角形，可分两种情况讨论：若，过点作于，设与轴的交点为，如图，易得，，，易证∽，根据相似三角形的性质可求出，从而得到点的坐标，然后用待定系数法求出直线的解析式，再解直线与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点的坐标；若，同理即可得到点的坐标；
过点作轴于，过点作轴于，连接，如图，易证∽，根据相似三角形的性质可得由，，可得，，，即可得到，即由、都在反比例函数的图象上可得，把代入即可求出的值，从而得到点、、的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，从而得到点的坐标及的值，然后运用割补法可求出，再由可得，问题得以解决．
本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、求反比例函数及一次函数图象的交点、三角形的中线平分三角形的面积、相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余等知识，在解决问题的过程中，用到了分类讨论、数形结合、割补法等重要的数学思想方法，应熟练掌握．