2020年广西中考数学试卷
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2020年广西中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共12题） |
1. 下列实数是无理数的是．
A． B． C． D．
2. 下列图形是中心对称图形的是．
A．
B．
C．
D．
3. 年月至月，由广西教育厅主办，南宁市教育局承办的广西中小学“空中课堂”是同期全国服务中小学学科最齐、学段最全、上线最早的线上学习课程，深受广大师生欢迎．其中某节数学课的点击观看次数约次，则数据用科学记数法表示为．
A． B． C． D．
4. 下列运算正确的是．
A． B． C． D．
5. 以下调查中，最适合采用全面调查的是．
A．检测长征运载火箭的零部件质量情况
B．了解全国中小学生课外阅读情况
C．调查某批次汽车的抗撞击能力
D．检测某城市的空气质量
6. 一元二次方程的根的情况是．
A．有两个不等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
7. 如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为．
A． B． C． D．
8. 一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是．
A． B． C． D．
9. 如图，在中，，高，正方形一边在上，点，分别在，上，交于点，则的长为．
A． B． C． D．
10. 甲、乙两地相距，提速前动车的速度为，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少，则可列方程为．
A． B．
C． D．
11. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺（尺寸），则的长是．
A．寸 B．寸 C．寸 D．寸
12. 如图，点，是直线上的两点，过，两点分别作轴的平行线交双曲线于点，．若，则的值为．
A． B． C． D．
| 二、 填空题（共6题） |
13. 如图，在数轴上表示的的取值范围是 ．
14. 计算： ．
15. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 | ||||||
“射中环以上”的次数 | ||||||
“射中环以上”的频率（结果保留小数点后两位） |
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中环以上”的概率是 （结果保留小数点后一位）．
16. 如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有排，其中第排共有个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有排，则该礼堂的座位总数是 ．
17. 以原点为中心，把点 逆时针旋转得到点，则点的坐标为 ．
18. 如图，在边长为的菱形中，，点，分别是，上的动点，且，与交于点．当点从点运动到点时，则点的运动路径长为 ．
| 三、 解答题（共8题） |
19. 计算：．
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，点，，，在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
22. 小手拉大手，共创文明城．某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取份答卷，并统计成绩（成绩得分用表示，单位：分），收集数据如下：
整理数据：
分析数据：
平均分 | 中位数 | 众数 |
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表格中，，的值；
（2）该校有名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于分的人数是多少？
（3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义．
23. 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行到点处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？
24. 倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出型和型两款垃圾分拣机器人，已知台型机器人和台型机器人同时工作共分拣垃圾吨，台型机器人和台型机器人同时工作共分拣垃圾吨．
（1）台型机器人和台型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？
（2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批型和型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾吨．设购买型机器人台，型机器人台，请用含的代数式表示；
（3）机器人公司的报价如下表：
型号 | 原价 | 购买数量少于台 | 购买数量不少于台 |
型 | 万元台 | 原价购买 | 打九折 |
型 | 万元台 | 原价购买 | 打八折 |
在（2）的条件下，设购买总费用为万元，问如何购买使得总费用最少？请说明理由．
25. 如图，在中，以为直径的交于点，连接，且，连接并延长交的延长线于点，与相切于点．
（1）求证：是的切线；
（2）连接交于点，求证：；
（3）若，求的值．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，点是直线上的动点，过点作于点，点的坐标为，连接，．设点的纵坐标为，的面积为．
（1）当时，请直接写出点的坐标；
（2）关于的函数解析式为，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出与的值；
（3）在上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出此时点的坐标和的面积；若不存在，请说明理由．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】A
【解析】无理数是无限不循环小数，而，，是有理数，
因此是无理数．
故选：
【点评】本题考查无理数的意义，准确把握无理数的意义是正确判断的前提．
2. 【答案】D
【解析】．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
3. 【答案】C
【解析】．
故选：
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定与值是关键．
4. 【答案】D
【解析】．，故此选项错误；
．，故此选项错误；
．，故此选项错误；
．，正确．
故选：
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5. 【答案】A
【解析】检测长征运载火箭的零部件质量情况适合用全面调查，
而“了解全国中小学生课外阅读情况”“调查某批次汽车的抗撞击能力”“检测某城市的空气质量”则不适合用全面调查，宜采取抽样调查．
故选：
【点评】本题考查全面调查、抽样调查的意义，在具体实际的问题情境中理解全面调查、抽样调查的意义是正确判断的前提．
6. 【答案】B
【解析】，，，
，
有两个相等的实数根．
故选：
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
① 当时，方程有两个不相等的实数根；
② 当时，方程有两个相等的实数根；
③ 当时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
7. 【答案】B
【解析】，，
，
，
观察作图过程可知：
平分，
，
的度数为．
故选：
【点评】本题考查了作图基本作图、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．
8. 【答案】C
【解析】由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，
观察图可得：第一次选择，它有种路径；第二次选择，每次又都有种路径；
两次共种等可能结果，其中获得食物的有种结果，
获得食物的概率是．
故选：
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
9. 【答案】B
【解析】设正方形的边长，
四边是正方形，
，，
，
是的高，
，
四边形是矩形，
，
，
（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
，，
，
，
解得：，
．
故选：
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．
10. 【答案】A
【解析】因为提速前动车的速度为，提速后动车的速度是提速前的倍，所以提速后动车的速度为，
根据题意可得：．
故选：
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶时间是解题关键．
11. 【答案】C
【解析】过作于，如图2所示：
由题意得：，
设，
则，，，，
在中，
，即，
解得：，
（寸），
寸．
故选：
【点评】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
12. 【答案】C
【解析】延长交轴于，延长交轴于．
设、的横坐标分别是，，
点、为直线上的两点，
的坐标是，的坐标是．则，．
、两点在交双曲线上，则，．
，．
又，
，
两边平方得：，即，
在直角中，，同理，
．
故选：
【点评】本题考查了反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，正确利用得到，的关系是解题的关键．
二、 填空题
13. 【答案】；
【解析】在数轴上表示的的取值范围是．
故答案为：
【点评】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
14. 【答案】；
【解析】．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型．
15. 【答案】；
【解析】根据表格数据可知：
根据频率稳定在，估计这名运动员射击一次时“射中环以上”的概率是．
故答案为：
【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是理解当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
16. 【答案】；
【解析】因为前区一共有排，其中第排共有个座位（含左、右区域），
往后每排增加两个座位，
所以前区最后一排座位数为：，
所以前区座位数为：，
以为前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有排，
所以后区的座位数为：，
所以该礼堂的座位总数是个．
故答案为：个
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化性质规律．
17. 【答案】；
【解析】如图，点 逆时针旋转得到点，
则点的坐标为．
故答案为：
【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
18. 【答案】；
【解析】如图，作的外接圆，连接，．
四边形是菱形，
，，
，都是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
由，可得，
，
点的运动的路径的长．
故答案为
【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、 解答题
19. 【答案】
【解析】原式
．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20. 【答案】
【解析】原式
，
当时，原式．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
21. 【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】（1）证明：，
，
，
在和中，，
；
（2）证明：由（1）得：，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
22. 【答案】（1）；；
（2）
（3）在被调查的名学生中，中位数为分，有一半的人分数都是再分以上
【解析】（1）将这组数据重新排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
，，；
（2）估计成绩不低于分的人数是（人；
（3）中位数，
在被调查的名学生中，中位数为分，有一半的人分数都是再分以上．
【点评】考查中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
23. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）过作于，
由题意可知，则，
在中，，，
，
渔船航行距离小岛最近；
（2），，
，
，
，
在中，，，
，
故救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
24. 【答案】（1）；
（2）
（3）选购型号机器人台时，总费用最少，此时需要万元
【解析】（1）台型机器人和台型机器人每小时各分拣垃圾吨和吨，
由题意可知：，
解得：，
故：台型机器人和台型机器人每小时各分拣垃圾吨和吨．
（2）由题意可知：，
．
（3）当时，
此时，
，
当时，此时有最小值，万元，
当时，
此时，
，
当时，此时有最小值，万元，
当时，
此时，
当时，
有最小值，此时，
故：选购型号机器人台时，总费用最少，此时需要万元．
【点评】本题考查一次函数，解题的关键正确找出题中的等量关系，本题属于中等题型．
25. 【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
（3）
【解析】（1）为直径，
，
，
，
，
即，
是的切线；
（2）连接，如图1，
和都是切线，
，，，
，
，
，
，
，
又，
，
是直径，
，
，
；
（3），，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
不妨设，则，
，
，
，
．
【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆周角定理，切线的性质与判定，切线长定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形的应用，第（3）小题关键在证明相似三角形．难度较大，一般为中考压轴题．
26. 【答案】（1）
（2）
（3）①；
②；
【解析】（1）如图1，连接，
当时，，
设，
在中，当时，，
，
，
，
，
即，
解得：（舍），，
（2）如图2可知：当时，，
把代入中得：，
解得：，
如图3，过作轴，交于，
由（1）知：当时，，，
，
设的解析式为：，
则，解得，
的解析式为：，
，
，
，
把代入得：，
解得：；
（3）存在，设，
分两种情况：
① 当时，如图4，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
即，
解得：，（舍，
，即在轴上，
，，
；
② 当时，如图5，
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
或，
解得：（舍或，
中，，
即，
把代入得：，
解得：或3，
当时，如图5，则，
，，
，，
；
当时，如图6，
此时，，，，
．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积、两点间距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是运用两点的距离公式计算或表示线段的长，属于中考压轴题．
