2020年吉林省长春市中考数学试卷
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2020年吉林省长春市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共8题） |
1. 如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为．
A． B． C． D．
2. 为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为平方米的新少年宫，预计年月正式投入使用．这个数用科学记数法表示为．
A． B． C． D．
3. 下列图形是四棱柱的侧面展开图的是．
A．
B．
C．
D．
4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是．
A．
B．
C．
D．
5. 比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是．
A． B． C． D．
6. 如图，是的直径，点、在上，，则的大小为．
A． B． C． D．
7. 如图，在中，，．按下列步骤作图：
① 分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；
② 作直线，与边相交于点，连结．
下列说法不一定正确的是．
A． C．
B． D．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连结．点在线段上，且，函数的图象经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是．
A． B． C． D．
| 二、 填空题（共6题） |
9. 长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张元，儿童票每张元．若购买张成人票和张儿童票，则共需花费________元．
10. 分解因式：________．
11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ________．
12. 正五边形的一个外角的大小为________度．
13. 如图，在中，，，以点为圆心，线段的长为半径作，交的延长线于点，则阴影部分的面积为________（结果保留）．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为________．
| 三、 解答题（共10题） |
15. 先化简，再求值：，其中．
16. 现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为、，图案为“保卫和平”的卡片记为）
17. 图① 、图② 、图③ 均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画．
要求：
（1）在图① 中画一个钝角三角形，在图② 中画一个直角三角形，在图③ 中画一个锐角三角形；
（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；
（3）点在格点上．
18. 在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了元．预计今年的销量是去年的倍，年销售额为万元．已知去年的年销售额为万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？
19. 如图，在平行四边形中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．
（1）求证：．
（2）若，，求的值．
20. 空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从年到年的空气质量级别天数的统计图表．
年长春市空气质量级别天数统计表
空气质量级别天数年份 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
根据上面的统计图表回答下列问题：
（1）长春市从年到年空气质量为“达标”的天数最多的是________年．
（2）长春市从年到年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为________天，平均数为________天．
（3）长春市从年到年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是________年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为________（精确到）．
（空气质量为“优”的天数的增长率）
（4）你认为长春市从年到年哪一年的空气质量好？请说明理由．
21. 已知、两地之间有一条长千米的公路．甲车从地出发匀速开往地，甲车出发两小时后，乙车从地出发匀速开往地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和（千米）与甲车行驶的时间（时）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车的速度为________千米/时，的值为________．
（2）求乙车出发后，与之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距千米时，求甲车行驶的时间．
22. 如图是华师版八年级下册数学教材第页的部分内容．
把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
【问题解决】如图① ，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求证：四边形是正方形．
【规律探索】由【问题解决】可知，图① 中的为等腰三角形．现将图① 中的点沿向右平移至点处（点在点的左侧），如图② ，折痕为，点在上，点在上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由．
【结论应用】在图② 中，当时，将矩形纸片继续折叠如图③ ，使点与点重合，折痕为，点在上．要使四边形为菱形，则________．
23. 如图① ，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，点到达点时，点、同时停止运动．当点不与点、重合时，作点关于直线的对称点，连结交于点，连结、．设点的运动时间为秒．
（1）当点与点重合时，求的值．
（2）用含的代数式表示线段的长．
（3）当为锐角三角形时，求的取值范围．
（4）如图② ，取的中点，连结．当直线与的一条直角边平行时，直接写出的值．
24. 在平面直角坐标系中，函数（为常数）的图象与轴交于点．
（1）求点的坐标．
（2）当此函数图象经过点时，求此函数的表达式，并写出函数值随的增大而增大时的取值范围．
（3）当时，若函数（为常数）的图象的最低点到直线的距离为2，求的值．
（4）设，三个顶点的坐标分别为、、．当函数为常数）的图象与的直角边有交点时，交点记为点．过点作轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为与不重合），过点作轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为．若，直接写出的值．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】C
【解析】由数轴上墨迹的位置可知，该数大于，且小于，
因此备选项中，只有选项符合题意．
故选：
【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，确定被墨迹所盖的数的取值范围是正确解答的前提．
2. 【答案】B
【解析】这个数用科学记数法表示为：．
故选：
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3. 【答案】A
【解析】由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形．
故选：
【点评】本题考查了几何体的展开图，此题应根据四棱柱的侧面展开图，进行分析、解答．
4. 【答案】D
【解析】，
．
故选：
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
5. 【答案】A
【解析】在中，，
则，，，
因此选项正确，选项、、不正确．
故选：
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
6. 【答案】B
【解析】，
．
故选：
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7. 【答案】C
【解析】由作图可知，垂直平分线段，
，，
，，
，
，
，
，
故选项，，正确．
故选：
【点评】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8. 【答案】C
【解析】
点的坐标为，轴于点，
，，
设，，过作轴于点，
则，，，
，
，
，
，
，，
，
，
把代入函数中，得
，
．
故选：
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，不等式的性质，关键是求出关于的解析式．
二、 填空题
9. 【答案】；
【解析】根据单价数量总价得，元．
故答案为：．
【点评】本题考查代数式表示数量关系，理解和掌握单价数量总价，是列代数式的前提．
10. 【答案】；
【解析】．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
11. 【答案】；
【解析】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得，此题难度不大．
12. 【答案】；
【解析】正五边形的一个外角．
故答案为：．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和是是关键．
13. 【答案】；
【解析】，，
，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14. 【答案】；
【解析】点的坐标为，点的坐标为，
，
抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，
设点的坐标为，则点的坐标为，，
抛物线，
解得，．
故答案为．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
三、 解答题
15. 【答案】；
【解析】原式
．
当时，原式．
【点评】本题考查了整式的混合运算化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值求解．
16. 【答案】
【解析】根据题意画图如下：
共有种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有种，
则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
17. 【答案】（1）图形见解析
（2）图形见解析
（3）图形见解析
【解析】如图所示：即为符合条件的三角形．
【点评】本题考查了作图应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格画出符合条件的三角形．
18. 【答案】万斤
【解析】设该村企去年黑木耳的年销量为万斤，则今年黑木耳的年销量为万斤，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
故，该村企去年黑木耳的年销量为万斤．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，，
，
；
（2）由（1）得：，
，
，
，
，
在中，．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．
20. 【答案】（1）
（2）；
（3）；
（4）从统计表中数据可知，年空气质量好，年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．
【解析】（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为年，
故答案为：；
（2）将这年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是天，
这年的“重度污染”的天数的平均数为天，
故答案为：，；
（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为：
年，天；
年，天；
年，天；
年，天；
年，天，
因此空气质量为“优”的天数增加最多的是年，增长率为，
故答案为：，；
（4）从统计表中数据可知，年空气质量好，年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．
【点评】本题考查统计图表的意义，理解统计图表中数据之间的关系是正确解答的关键．
21. 【答案】（1）；
（2）
（3）小时或小时
【解析】（1）由题意可知，甲车的速度为：（千米/时）；
，
故答案为：，；
（2）设与之间的函数关系式为，
由图可知，函数图象经过，，
，解得，
与之间的函数关系式为；
（3）两车相遇前：，解得；
两车相遇后：，解得，
故，当甲、乙两车相距千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22. 【答案】（1）答案见解析
（2）是等腰三角形，理由见解析
（3）
【解析】（1）证明：如图① 中，
四边形是矩形，
，
由翻折可知，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形．
（2）结论：是等腰三角形．
理由：如图② 中，
四边形是矩形，
，
，
由翻折可知，，
，
，
是等腰三角形．
（3）如图③ 中，
四边形是菱形，
，
，
，都是等边三角形，设，
，，
，
，
，，
由翻折可知，，，
，
．
故答案为：．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23. 【答案】（1）
（2）或者
（3）或
（4）或
【解析】（1）当点与重合时，，解得．
（2）在中，，，，
，
，，
如图① 中，
当点在线段上时，在中，，
．
如图③ 中，
当点在线段上时，在中，，，
．
（3）当是等腰直角三角形时，则，
如图④ 中，当点在线段上时，
在中，，
，
，
，
．
如图⑤ 中，当点在线段上时，
在中，，
，
，
解得．
观察图象可知满足条件的的值为或．
（4）如图⑥ 中，当点在线段上，时，
过点作于，延长交于，过点作于．
，，
，
在中，，
，
在中，，
，
解得．
如图⑦ 中，当点在线段上，时，
点点作于，过点作于．
，，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得，
综上所述，满足条件的的值为或．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
24. 【答案】（1）
（2）；当时，随的增大而增大
（3）或
（4）或
【解析】（1）当时，，
点的坐标为：；
（2）将点代入，
得：，
解得：，
函数的表达式为：，
，
抛物线的开口向上，对称轴为，如图所示：
当时，随的增大而增大；
（3）抛物线的对称轴为：，顶点坐标为：，
当时，对称轴在轴右侧，如图所示：
，
最低点就是，
图象的最低点到直线的距离为，
，
解得：；
当，对称轴在轴左侧，顶点就是最低点，
如图所示：
，
整理得：，
解得：，（不合题意舍去）；
综上所述，的值为或；
（4），三个顶点的坐标分别为、、，
直角边为与，
抛物线的对称轴为：，，
，
当点在边上时，如图所示：
则，
，
点在对称轴的左侧，
，
，
，
解得：；
当点在边上时，如图所示：
则，
，
解得：，，
，
，
，
解得：，（不合题意舍去）；
综上所述，的值为或．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与性质、待定系数法求解析式、直角三角形的性质、解一元二次方程、分类讨论等知识；熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
