北师大版数学2020年九年级上册学期中段考试训练卷 解析版

北师大版2020年九年级上册学期中段考试训练卷
知识范围：九上
一．选择题
1．下列方程中一定是一元二次方程的是（　　）
A．2x+1＝0 B．y2+x＝0 C．x2+1＝0 D．x2+＝0
2．如图，水平放置的几何体中，主视图不是长方形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．若＝，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
4．四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（　　）
A．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD B．AB∥CD，AC＝BD
C．AD∥BC，∠A＝∠C D．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC
5．如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（　　）

A． B． C． D．
6．对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　）
A．点（﹣3，1）在它的图象上
B．它的图象在第二、四象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
7．在小孔成像问题中，如图所示，若为O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物体AB长的（　　）

A． B． C．2倍 D．3倍
8．如果关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m≥3 C．m＜5 D．m≤5
9．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为x元时宾馆当天的利润为10890元，则有（　　）
A．（180+x﹣20）（50﹣）＝10890
B．x（50﹣）﹣50×20＝10890
C．（x﹣20）（50﹣）＝10890
D．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝10890
10．如图，点A在双曲线y═（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC＝1，则k的值为（　　）

A．2 B． C． D．
二．填空题
11．已知两个相似三角形△ABC与△DEF的相似比为3．则△ABC与△DEF的面积之比为　 　．
12．已知x＝2是关于x一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则另一根是　 　．
13．已知反比例函数y＝的图象经过点（1，2），则k的值为　 　．
14．已知菱形的边长是6，一个内角是60°，则这个菱形较长的对角线长为　 　．
15．如图所示，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点，三角形的布洛卡点是法国数学家长数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF＝90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ＝1，则EQ+FQ＝　 　．

16．已知函数y＝﹣（x＞0）与y＝（x＜0）的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A、B两点，连接OA、OB．下列结论；
①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2；
②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形；
③无论点P在什么位置，始终有S△AOB＝7.5，AP＝4BP；
④当点P移动到使∠AOB＝90°时，点A的坐标为（2，﹣）．
其中正确的结论为　 　．

三．解答题
17．（1）解方程：x2+2x﹣8＝0．
（2）解方程：（2x﹣1）2﹣2（2x﹣1）＝0．



18．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．


19．已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）当m为何值时，▱ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？


20．如图，EF是平行四边形ABCD的对角线BD的垂直平分线，EF与边AD、BC分别交于点E、F．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若ED＝5，BD＝8，求菱形BFDE的面积．


21．为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次活动共抽查了　 　人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数．
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．



22．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动．
（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．



23．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y1＝与直线y2＝mx+n交于点A，E两点．AE交x轴于点C，交y轴于点D，AB⊥x轴于点B，C为OB中点．若D点坐标为（0，﹣2）且S△AOD＝4．
（1）求双曲线与直线AE的解析式．
（2）求E点的坐标．
（3）观察图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．

24．我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若AD是△ABC的一条中线（如图1），O是AD上一点，且满足＝，试判断O　 　△ABC的重心（填“是”或者“不是”）；
（2）若O是△ABC的重心（如图2），连结AO并延长交于D．证明：＝；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3）令AG＝l，BG＝x，设y＝，请求出y与x的关系式．




参考答案
一．选择题
1．解：A、是一元一次方程，故A不符合题意；
B、是二元二次方程，故B不符合题意；
C、是一元二次方程，故C符合题意；
D、是分式方程，故D不符合题意；
故选：C．
2．解：A、其主视图为长方形，故此选项错误；
B、其主视图为三角形，故此选项正确；
C、其主视图为长方形，故此选项错误；
D、其主视图为长方形，故此选项错误；
故选：B．
3．解：∵＝，
∴＝＝．
故选：D．
4．
解：A、∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，故本选项正确；
B、根据AB∥CD和AC＝BD不能推出四边形ABCD是正方形，故本选项错误；
C、∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，∠ADC+∠DCB＝180°，
∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠ABC＝∠ADC，
∴只能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
D、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴只能推出四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
故选：A．
5．解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，
所以小球从E出口落出的概率是：；
故选：C．
6．解：A、∵﹣＝1，∴点（﹣3，1）在它的图象上，故本选项正确；
B、k＝﹣3＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
C、k＝﹣3＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；
D、k＝﹣3＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，故本选项错误．
故选：D．
7．解：如图，作OE⊥AB于E，EO的延长线交CD于F．

∵AB∥CD，
∴FO⊥CD，△AOB∽△DOC，
∴＝＝＝（相似三角形的对应高的比等于相似比），
∴CD＝AB，
故选：A．
8．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝m﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）≥0，
解得m≤5．
故选：D．
9．解：设房价定为x元，
根据题意，得（x﹣20）（50﹣）＝10890．
故选：C．
10．解：如图，设OA交CF于K．

由作图可知，CF垂直平分线段OA，
∴OC＝CA＝1，OK＝AK，
在Rt△OFC中，CF＝＝，
∴AK＝OK＝＝，
∴OA＝，
由△FOC∽△OBA，可得＝＝，
∴＝＝，
∴OB＝，AB＝，
∴A（，），
∴k＝．
故选：B．
二．填空题
11．解：∵△ABC与△DEF的相似比为3，
∴△ABC与△DEF的面积之比为9．
故答案为9．
12．解：设方程的另一个根为x2，
则2x2＝﹣6，
解得x2＝﹣3，
故答案为：﹣3．
13．解：∵反比例函数y＝的图象经过点（1，2），
∴2＝3k﹣1，解得k＝1．
故答案为：1．
14．解：如图，
∵菱形的边长为6，一个内角为60°，
∴△ABC是等边三角形，AC⊥BD，
∴AC＝6，∠AOB＝90°
∴AO＝AC＝3，
在Rt△AOB中，BO＝＝＝3，
∴菱形较长的对角线长BD是：2×3＝36．
故答案为：6．

15．解：如图2中，在等腰直角△DEF中，∠EDF＝90°，DE＝DF，∠1＝∠2＝∠3，
∵∠1+∠QEF＝∠3+∠DFQ＝45°，
∴∠QEF＝∠DFQ，
∵∠2＝∠3，
∴△DQF∽△FQE，
∴＝＝＝，
∵DQ＝1，
∴FQ＝，EQ＝2，
∴EQ+FQ＝．
故答案为．
16．解：①错误．∵x1＜x2＜0，函数y随x是增大而减小，
∴y1＞y2，故①错误．
②正确．∵P（0，﹣3），
∴B（﹣1，﹣3），A（4，﹣3），
∴AB＝5，OA＝＝5，
∴AB＝AO，
∴△AOB是等腰三角形，故②正确．
③正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），
∴PB＝﹣，PA＝﹣，
∴PA＝4PB，
∵SAOB＝S△OPB+S△OPA＝+＝7.5，故③正确．
④正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），
∴PB＝﹣，PA＝﹣，OP＝﹣m，
∵∠AOB＝90°，∠OPB＝∠OPA＝90°，
∴∠BOP+∠AOP＝90°，∠AOP+∠OAP＝90°，
∴∠BOP＝∠OAP，
∴△OPB∽△APO，
∴＝，
∴OP2＝PB•PA，
∴m2＝﹣•（﹣），
∴m4＝36，
∵m＜0，
∴m＝﹣，
∴A（2，﹣），故④正确．
∴②③④正确，
故答案为②③④．

三．解答题
17．解：（1）∵x2+2x﹣8＝0，
∴（x+4）（x﹣2）＝0，
则x+4＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝2；
（2）令2x﹣1＝a，
则a2﹣2a＝0，
∴a（a﹣2）＝0，
∴a＝0或a﹣2＝0，
解得a＝0或a＝2，
当a＝0时，2x﹣1＝0，解得x＝0.5；
当a＝2时，2a﹣1＝2，解得x＝1.5；
综上，x1＝0.5，x2＝1.5．
18．解：设CD长为x米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，
∴MA∥CD∥BN，
∴EC＝CD＝x米，
∴△ABN∽△ACD，
∴＝，即＝，
解得：x＝6.125≈6.1．
经检验，x＝6.125是原方程的解，
∴路灯高CD约为6.1米
19．解：（1）∵▱ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣）
＝m2﹣2m+1
＝（m﹣1）2＝0，
解得：m＝1，
即m为1时，▱ABCD是菱形；

（2）把AB＝2代入方程得：
4﹣2m+﹣＝0，
解得：m＝，
则x2﹣x+1＝0，
解得：x1＝，x2＝2，
则AD＝，
故▱ABCD的周长是：2×（2+）＝5．
20．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，OB＝OD
∵∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB
∴△OED≌△OFB
∴DE＝BF
又∵ED∥BF
∴四边形BEDF是平行四边形
∵EF⊥BD
∴四边形BFDE是菱形；
（2）∵四边形BFDE是菱形，BD＝8
∴OD＝BD＝4
∵ED＝5
∴OE＝3
∴EF＝6
∴菱形BFDE的面积为：×8×6＝24
答：菱形BFDE的面积为24．
21．解：（1）这次活动共抽查的学生人数为80÷40%＝200（人）；
故答案为：200；
（2）“不合格”的学生人数为200﹣40﹣80﹣60＝20（人），
将条形统计图补充完整如图：

学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为360°×＝108°；
（3）把学习效果“优秀”的记为A，“良好”记为B，“一般”的记为C，
画树状图如图：

共有12个等可能的结果，抽取的2人学习效果全是“良好”的结果有2个，
∴抽取的2人学习效果全是“良好”的概率＝＝．
22．解：（1）设经过x秒，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，
由题意得DN＝2x，AN＝6﹣2x，AM＝x，
∵矩形ABCD中AB＝3，BC＝6，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝3，
矩形ABCD的面积为：AB•AD＝3×6＝18，
△AMN的面积＝AN•AM＝x（6﹣2x）＝3x﹣x2＝×18，
可得方程x2﹣3x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝2，
答：经过1秒或2秒，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的；

（2）由题意得DN＝2t，AN＝6﹣2t，AM＝t，
若△NMA∽△ACD，
则有＝，即＝，
解得t＝1.5，
若△MNA∽△ACD
则有＝，即＝，
解得t＝2.4，
答：当t＝1.5秒或2.4秒时，以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似．

23．解：（1）作AM⊥y轴于点M，

∵D（0，﹣2），
∴DO＝2，
∵S△AOD＝4且AM⊥y轴，
∴×2•AM＝4，
∴AM＝4．
∵y轴⊥x轴，AB⊥x轴，
∴∠ABC＝∠DOC＝90°．
∵C为OB中点，
∴BC＝OC．
∵∠ACB＝∠DCO，
∴△ABC≌△DOC（ASA），
∴AB＝DO＝2，
∴A（4，2）．
∵双曲线过A，
∴＝2，
∴k＝8，
∴双曲线解析式为：y＝，
∵直线AE过A（4，2）与D（0，﹣2），则，解得，
∴直线AE解析式为：y＝x﹣2；

（2）根据（1）得，
解得，
根据E所在的象限得，E（﹣2，﹣4）；

（3）在y轴的右侧，当y1≥y2时，x的取值范围是：0＜x≤4，
在y轴的左侧，当y1≥y2时，x的取值范围是x≤﹣2，
所以y1≥y2时x的取值范围是：0＜x≤4或x≤﹣2．
24．解：（1）点O是△ABC的重心，
理由如下：如图1，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．

∵CE是中线，AD是中线，
∴点E是AB的中点．点D是BC的中点，
∴DE是中位线，
∴DE∥AC，且DE＝AC．
∵DE∥AC，
∴△AQC∽△DQE，
∴＝2，
∴AQ＝2QD，
∴，
又∵，
∴点Q与点O重合（是同一个点），
∴点O是△ABC的重心，
故答案为：是；

（1）证明：如图2，连接CO并延长，交AB于点E．

∵点O是△ABC的重心，
∴CE是中线，点E是AB的中点．
∴DE是中位线，
∴DE∥AC，且DE＝AC．
∵DE∥AC，
∴△AOC∽△DOE，
∴＝2，
∴AO＝2OD，
∵AD＝AO+OD＝3OD，
∴；
（3）如图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE，

∵OF∥BC，
∴，
∴OF＝CD＝BC；
∵GE∥BC，
∴，
∴GE＝；
∵OF∥GE，
∴＝＝＝，
∴OH＝GH，
∴OG＝GH﹣OH＝，
∴＝，
∴y与x的关系式为：y＝．