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高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形9.1 正弦定理与余弦定理9.1.1 正弦定理优质课件ppt
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形9.1 正弦定理与余弦定理9.1.1 正弦定理优质课件ppt，共24页。PPT课件主要包含了复习三角形相关知识，三角形的分类，三角形全等条件，情境与问题，尝试与发现，三角形面积公式，正弦定理，由此三角形面积公式，从而证得，正弦定理及其变形等内容，欢迎下载使用。
1.角的关系：2.边的关系： 两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边。3.边角关系： 大角对大边，大边对大角； 小角对小边，小边对小角； 等边对等角。4.在直角三角形ABC中,C=900,则 。
6.三角形外接圆：与三角形各顶点都相交的圆。 三角形外接圆圆心是 三边垂直平分线交点
（1）边角边：两边及其夹角对应相百等,这两个三角形 全等.简写成（S.A.S）（2）角边角：两角及其度夹边对应相等,这两个三角形 全等.简写成（A.S.A）（3）角角边：两角及其一角所对的边对应相等,这两个 三角形全等.简写成：（A.A.S）（4）边边边：三条边分别对应相等,这两个三角形答全 等.简写成：（S.S.S）（5）直角边斜边：斜边和其中的一条直角边分别对应相 等,这两个三角形全等.简写成：（H.L）
在现代生活中，得益于科技的发展.距离的测量能 借助红外测距仪、激光測距仪等工具直接完成.不过，在这些工具没有出现以前.你知道人们是怎样间接获得两点冋距离的吗？ 如图所示.若想知道河对岸的一点A与岸边—点H之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想 办法得到了 ABC与 ACB的大小，你能借助这3个量，求出AB的长吗？
为了方便，将△ABC 3个内角A，B, C 所对的边分别记为a，b，c。在这样的约定下.情境中的问题可以转化为：已知a，B，C，如何求c? 类似的问题可以通过构造直角三角形来解决.更-般地.可利用本小节我们要介绍的正弦定理来求解。
(1) 如图 9-1-2 所示，已知△ABC 中,“a=5,b=3, C= ,你能求出这个三角形的面积吗？(2) 一般地，在△ABC中,如何根据a,b与C的值, 求出这个三角形的面积？
解(1):如图9-12所示,在中△ABC中,过点A作BC边上的高AD, 在Rt△ADC中,由正弦的定义可知 AD = bsinC, 因此所求三角形的面积为
(2)一般地，在△ABC中,如何根据a,b与C的值,求出这个三角形的面积？
解:当C为锐角时，在Rt△ADC中,由正弦的定义 可知AD = bsinC,则
当C为钝角时,如图,仍设△ABC的BC 边上的高为AD，则
当C为直角时，sinC=sin900 =1，
在△ABC中,用上述方法，可以推导出下面 ①已知b，c与A的值,则 ②已知a，c与B的值,则
一般地，记△ABC的面积为S，则
这就是正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对角的 正弦的比相等。
如图作△ABC外接圆，R为△ABC外接圆半径CD为外接圆O的直径，连接BD，则∠A=∠D
三角形外接圆法推导正弦定理
（R为△ABC外接圆半径）
直径所对的圆周角是直角，即角CBD为直角
在∆ABC中，角A，B，C，所对应的边分别为a，b，c，三角形外接圆半径为R，正弦定理：
例1 已知△ABC中，B=75°,C=60°,a =10,求 c.
解：由已知可得 A=180°- B-C = 180°-75°-60°=45°.
注意: 在一个三角形中，已知两个角与一条边，就可求这个三角形的另外一个角，然后由正弦定理可求出该三角形其他的两条边. 这与初中所学的三角形全等的判定定理AAS（或ASA）一致.
把三角形3个角与3条边都称为三角形的元素。已知三角形的若干元素求其他元素称为解三角形。
已知两角和任一边，求其他两边和其余一角类型．
注意：根据例2的解答可知.图9-1-4中的(1)(2)都满足例2的条件.事实上，这与我们初屮所学的SSA不能作为:角形全等的判定定理一致.
已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角类型
总结：例2、例3、例4都是两边及一边的对角，此时三角形形状不确定，所以解的个数不确定.题中最终有几个解是由已知条件所确定的，明确所求角的范围是解题的关键.
探究三角形解的个数的确定因素
1.画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。 ①若无交点，则无解； ②若有一个交点，则有一个解； ③若有两个交点，则有两个解； ④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。
2.公式法：运用正弦定理进行求解。①a＝bsinA，△＝0，则一个解；②a＞bsinA，△＞0，则两个解；③a＜bsinA，△＜0，则无解。
练习：下列关于△ABC的说法正确的是（ ）A.若a＝7，b＝14，A＝30°，则B有两解 B.若a＝30，b＝25，A＝150°，则B只有一解C.若a＝6，b＝9，A＝45°，则B有两解 D.若b＝9，c＝10，B＝60°，则C无解
因此，∆ABC为等腰三角形或直角三角形。
利用正弦定理判断三角形形状的两种方法： 1．利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、 配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； 2．利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系， 通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角 形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式， 应移项提取公因式，以免漏解．
例6：如图所示，在∆ABC中，已知 的角分线AD与 边BC相交于点D，求证：
在∆ABD和∆ADC中，分别应用正弦定理，可得
一题多解：例6也可用面积公式或平面几何知识证明
3．正弦定理的应用范围 (1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角．
1.角的关系：2.边的关系： 两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边。3.边角关系： 大角对大边，大边对大角； 小角对小边，小边对小角； 等边对等角。4.在直角三角形ABC中,C=900,则 。
6.三角形外接圆：与三角形各顶点都相交的圆。 三角形外接圆圆心是 三边垂直平分线交点
（1）边角边：两边及其夹角对应相百等,这两个三角形 全等.简写成（S.A.S）（2）角边角：两角及其度夹边对应相等,这两个三角形 全等.简写成（A.S.A）（3）角角边：两角及其一角所对的边对应相等,这两个 三角形全等.简写成：（A.A.S）（4）边边边：三条边分别对应相等,这两个三角形答全 等.简写成：（S.S.S）（5）直角边斜边：斜边和其中的一条直角边分别对应相 等,这两个三角形全等.简写成：（H.L）
在现代生活中，得益于科技的发展.距离的测量能 借助红外测距仪、激光測距仪等工具直接完成.不过，在这些工具没有出现以前.你知道人们是怎样间接获得两点冋距离的吗？ 如图所示.若想知道河对岸的一点A与岸边—点H之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想 办法得到了 ABC与 ACB的大小，你能借助这3个量，求出AB的长吗？
为了方便，将△ABC 3个内角A，B, C 所对的边分别记为a，b，c。在这样的约定下.情境中的问题可以转化为：已知a，B，C，如何求c? 类似的问题可以通过构造直角三角形来解决.更-般地.可利用本小节我们要介绍的正弦定理来求解。
(1) 如图 9-1-2 所示，已知△ABC 中,“a=5,b=3, C= ,你能求出这个三角形的面积吗？(2) 一般地，在△ABC中,如何根据a,b与C的值, 求出这个三角形的面积？
解(1):如图9-12所示,在中△ABC中,过点A作BC边上的高AD, 在Rt△ADC中,由正弦的定义可知 AD = bsinC, 因此所求三角形的面积为
(2)一般地，在△ABC中,如何根据a,b与C的值,求出这个三角形的面积？
解:当C为锐角时，在Rt△ADC中,由正弦的定义 可知AD = bsinC,则
当C为钝角时,如图,仍设△ABC的BC 边上的高为AD，则
当C为直角时，sinC=sin900 =1，
在△ABC中,用上述方法，可以推导出下面 ①已知b，c与A的值,则 ②已知a，c与B的值,则
一般地，记△ABC的面积为S，则
这就是正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对角的 正弦的比相等。
如图作△ABC外接圆，R为△ABC外接圆半径CD为外接圆O的直径，连接BD，则∠A=∠D
三角形外接圆法推导正弦定理
（R为△ABC外接圆半径）
直径所对的圆周角是直角，即角CBD为直角
在∆ABC中，角A，B，C，所对应的边分别为a，b，c，三角形外接圆半径为R，正弦定理：
例1 已知△ABC中，B=75°,C=60°,a =10,求 c.
解：由已知可得 A=180°- B-C = 180°-75°-60°=45°.
注意: 在一个三角形中，已知两个角与一条边，就可求这个三角形的另外一个角，然后由正弦定理可求出该三角形其他的两条边. 这与初中所学的三角形全等的判定定理AAS（或ASA）一致.
把三角形3个角与3条边都称为三角形的元素。已知三角形的若干元素求其他元素称为解三角形。
已知两角和任一边，求其他两边和其余一角类型．
注意：根据例2的解答可知.图9-1-4中的(1)(2)都满足例2的条件.事实上，这与我们初屮所学的SSA不能作为:角形全等的判定定理一致.
已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角类型
总结：例2、例3、例4都是两边及一边的对角，此时三角形形状不确定，所以解的个数不确定.题中最终有几个解是由已知条件所确定的，明确所求角的范围是解题的关键.
探究三角形解的个数的确定因素
1.画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。 ①若无交点，则无解； ②若有一个交点，则有一个解； ③若有两个交点，则有两个解； ④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。
2.公式法：运用正弦定理进行求解。①a＝bsinA，△＝0，则一个解；②a＞bsinA，△＞0，则两个解；③a＜bsinA，△＜0，则无解。
练习：下列关于△ABC的说法正确的是（ ）A.若a＝7，b＝14，A＝30°，则B有两解 B.若a＝30，b＝25，A＝150°，则B只有一解C.若a＝6，b＝9，A＝45°，则B有两解 D.若b＝9，c＝10，B＝60°，则C无解
因此，∆ABC为等腰三角形或直角三角形。
利用正弦定理判断三角形形状的两种方法： 1．利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、 配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； 2．利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系， 通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角 形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式， 应移项提取公因式，以免漏解．
例6：如图所示，在∆ABC中，已知 的角分线AD与 边BC相交于点D，求证：
在∆ABD和∆ADC中，分别应用正弦定理，可得
一题多解：例6也可用面积公式或平面几何知识证明
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