高中数学人教B版 (2019)必修 第四册10.2.1 复数的加法与减法优质课课件ppt

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册10.2.1 复数的加法与减法优质课课件ppt，共18页。PPT课件主要包含了尝试与发现，复数加法，补充练习，复数加法的几何意义，复数减法，复数减法的几何意义，课堂小结等内容，欢迎下载使用。

任意两个实数都可以相加,而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律,即a,b,cϵR时，必定有
a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).
思考：复数中的加法应该如何规定,才能使得类似的交换律与结合律都成立呢？
设 z1= 1 + i, z2= 2 -2i, z3=-2 +3i.你认为 z1+z2与(z1+z2)+z3 的值应该等于多少？由此尝试给出任意两个复数相加的运算规则.
由实数加减法原则类比猜想复数加法运算
z1+z2 =（1+i）+(2-2i)=(1+2)+(i-2i)=3-i
(z1+z2)+z3 =(1+i+2-2i)-2+3i=(1+2-2)+(i-2i+3i)=1+2i
把 i 看成一个字母，按照多项式相加
一般地，设z1 =a+bi , z2 =c+di (a,b,c,dϵR), 称z1 +z2为z1 与z2 的和，并规定
z1 +z2 =(a+bi)+(c+di)=(a+b)+(c+d) i
复数中的加法满足交换律与结合律.
证明：设z1 =a1+b1 i , z2 =a2+b2 i z=a3 +b3 i, (a n,bn,cn,dnϵR,nϵ{1,2,3}
z1 +z2 =(a1 +a2 )+(b1 +b2) i
z2 +z1 =( a2+a1 )+( b2+b1 ) i
z1 +z2 = z2+z1
(z1 +z2) +z3 =[(a1 +a2 )+(b1 +b2) i]+(a 3+b 3i)=(a1+a2+a3 )+(b 1+b 2+b 3) i
z1 +(z2 +z3 )=(a1 + b1 ) i +[(a2+a3)+(b2+b3) i]=(a1+a2+a3 )+(b 1+b 2+b 3) i
从而对尝试与发现中的猜想是正确的。
两个共轭复数的和一定是实数.
思考：两个共轭复数的和是怎么样的数？
解：z1+z2=a+i+1+bi=(a+1)+(b+1) i = i
a+1=0 且 b+1=1 解得a=-1, b=0.
z1 =-1+i , z2=1
解：设z=a+bi,由已知得a=1, a2+b2=4 ,所以b2=3
设z1=2 + 2i , z2= - 1-4i.求出z1 +z2 ，并在复平面内分别作出z1 ,z2 ,z1 +z2 所对应的向量,猜想并归纳复数加法的几何意义.
思考：如何正确理解复数加法的几何意义？
提示：复数加法的几何意义，就是向量加法 的平行四边形法则.
复数加法的几何意义的具体解释：
由复数加法的几何意义还可以得出 ||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.
等号成立的条件：①当|z1+z2|＝|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量同向共线；②当|z1+z2|＝||z1|-|z2||时，z1，z2所对应的向量反向共线.
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
例如.因为3的相反数为一3,因此8 — 3=8 +(—3〉=5.
思考：在实数集集中，减法的几何意义是什么？
思考：在复数中是否可以用类似方法来定义两个复数的减法呢？
设z1=5 + 8i , z2=5-3i , 猜测z2的相反数以及z,-z2的值.
由实数减法原则类比猜想复数减法运算
答：实数的减法是加法的逆运算，减去一个数，等于加上这个数的相反数.
-z2=-（5-3i）=-5-（-3i）=-5+3i
z,-z2 =z1+(-z2)=5+8i+(-5+3i)=11i
一般地,复数z=a+bi (a, bϵR)的相反数记作一z，并规定 一z= — （a +bi）=一a一b i. 复数z1 ,减去z2的差记作z1一z2,我，并规定 z1 —z2 =z1+ (一z2)・
z1 — z2 =(a+ bi) — (c+di) = (a — c) + (b — d)i.
同实数中的情况类似，两个复数的差一般也不满足交换律，即一般来说，z1-z2 ≠ z2-z1 .
一般地，如果 z1=a+b i, z2=c+d i (a , b, c, dϵR),则
思考：两个实数的差是实数，两个虚数的差一定是虚数吗？
提示：不一定是虚数，例如 （1+2i）-2i=1.是实数 2i-i=i 是虚数
复数减法的几何意义的具体解释：
如何理解复数减法的几何意义？
1.复数减法的几何意义就是平面向量减法的三角形法则.2.在确定两个复数的差所对应的向量时，应按照“首同尾连向被减”的方法确定.
由复数减法的几何意义可以得出||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|.
等号成立的条件：①当|z1-z2|＝|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量反向共线；②当|z1-z2|＝||z1|-|z2||时，z1，z2所对应的向量同向共线.
因为复数相加、相减之后的结果都还是复 数，所以当然可以进行冇限个夏数的加滅运 算.也可以进行加、减法的混合运算.
例1 计算 （2-5i）+(3+7i)-(5+4i)
解：根据定义 （2-5i）+(3+7i)-(5+4i)=（2+3-5）+（-5+7-4）i
例2 判断命题“两个共轭复数的差一定是纯虚数”的真假.并说 明理由.
解：这是假命题，理由如下.
设z=a+bi（a,bϵR），则
类比实数的运算，若有括号，则先计算括号内的；若没有括号，则可从左到右依次计算.
教材 P35 练习A
❷ 已知 z1 =3 + 2i, z2 = 1 — 4i,计算 z1+ z2 ,z1—z2 .
❸计算下列各式的值 (1) (5-4i)+0 ; (2)3+(4 + 2i)； (3)5i+(3+7i)
❹计算下列各式的值.(1) 5-(3 + 2i) ；(2) (4 + 5i)-3i (3)0-(4-5i).
❶ 已知z是复数,判断下列等式是否成立. (1) 0+z=z ; (2) z -0 =z.
1. (1)成立；(2)成立.
2. z1+z2=4—2i, z1-z2=2+6i.
3. (1) 5-4i； (2) 7+2i； (3) 3+12i.
❺求证：两个共轭复数的和是实数
4.(1) 2—2i (2) 1+5i； (3) 一4+5i・
❶计算下列各式的值.(1) (-3 + 2i)-(5-i)+(4 + 7i)；(2) (1 + i)-(1-i)-(5-4i)+(-3 + 7i).
❷如果复数z1，z2的和z1+z2是实数，那么z1与z2一定互为共轭复数 吗？为什么？
1. (1) 一4+10i； (2) -8+13i
答. 2不一定.若复数 z1=a+bi , z2=c — bi(a, b, cϵR),则 z1+z2=a+c 是实数，但a和 c不一定相等，故z1 , z2 不一定互为共轭复数.
❹ 已知复数6 + 5i与-3+4i对应的向量分别为向量OA，向量OB，求 与 方所对应的复数.❺如果不相等的两个复数z1 ,z2 ,在复平面内所时应的点分别为Z1与Z2且Z为线段Z1Z2的中点，用z1 ,z2 表示点Z对应的复数.
教材 P35 练习B
【探索与研究】根据z1-z2的几何意义讨论下列各式的几何意义.（1）|z-（1+i）|＝2； （2）|z+1|+|z-1|＝2.
提示：（1）复数z表示的点的轨迹是以（1，1）为圆心，半径为2的圆；
（2）数轴上表示z的点到表示-1，1的点的距离之和为2，所以 复数z表示的点的轨迹是两点-1，1之间的线段.
【拓展】复平面内点的轨迹（1）|z|表示复数z对应的点到原点的距离，|z1-z2|表示复平面内 两点间的距离.（2）|z-z0|＝a（a∈R）表示以点Z0为圆心，半径为a的圆的方程.（3）|z-z1|＝|z-z2|表示线段Z1Z2的垂直平分线的方程.
已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．
[解]　由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，
又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.即|z|最大值＝6，|z|最小值＝4.
1.(1)运算法则 ①设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝ （a+c）+(b+d)i ，z1－z2＝ (a-c)+(b-d)i . ②两个共轭复数的和一定是实数．
(2)加法运算律 设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝ z2+z1 ， (z1＋z2)＋z3＝ z1+(z2+z3) ．
3. ||z1|-|z2||≤|z1 ±z2|≤|z1|+|z2|.
z1 -z2 =(a+ bi) - (c+di) = (a - c) + (b - d)i.
||z1|-|z2||≤|z1 ±z2|≤|z1|+|z2|.
复数减法的几何意义，就是平面向量减法的三角形法则
复数加法的几何意义，就是向量加法的平行四边形法则.