还剩14页未读，
继续阅读
初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.4课题学习 最短路径问题精品课时训练
展开
这是一份初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.4课题学习 最短路径问题精品课时训练，共17页。
一．选择题
1．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．计划在l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道），则所需管道最短的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，直线m表示一条河，M，N表示两个村庄，欲在m上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，直线l是一条河，P，Q两地在直线l的同侧，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，分别向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，则铺设的管道最短的方案是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为（1，﹣3），在y轴上有一点P使PA+PB的值最小，则点P坐标为（ ）
A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）
6．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）
A．BCB．CEC．ADD．AC
8．如图，点E是正方形ABCD的边DC上的一点，在AC上找一点P，使PD+PE的值最小，这个最小值等于线段（ ）的长度．
A．ABB．ACC．BPD．BE
9．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
二．填空题
11．如图所示，∠AOB＝30°，角内有点P，PO＝10cm，两边上各有一点Q，R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是 ．
12．如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10cm，现要在OC、OA上分别找点Q、N，使QM+QN最小，则其最小值是 ．
13．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是 ．
15．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，面积65，AD是∠BAC的角平分线，E是AD上的动点，F是AB边上的动点，则BE+EF的最小值为 ．
三．解答题
16．如图，P是∠AOB内任一点，分别在OA、OB上，求作两点P1，P2，使△PP1P2的周长最小（简要说明作法）．
17．河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置．请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．
18．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|PA﹣PB|的最大值为 ．
19．有人会说：“这也太简单了！”别着急，请看下面这道题（如图）
有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近．这道题乍一看似乎无从下手．但经过观察可以发现此题依然可以利用“两点之间，线段最短”来解决问题，具体方法为：做B点与河面的对称点B′，连接AB′，可得到马喝水的地方C（如图）．
再连接CB得到这道题的解A→C→B．这就是著名的“将军饮马”问题．不信的话你可以在河边任意取一点C′连接AC′和C′B，比较一下就知道了．
20．已知：如图所示，
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．
（2）在x轴上画出点P，使PA+PC最小．
21．如图，A、B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使△PAB的周长最小．
22．（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项B修建的管道，则所需管道最短．
故选：D．
2．解：作点M关于直线m的对称点P′，连接nP′交直线L于P．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故选：D．
3．解：分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是D选项，
故选：D．
4．解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项B修建的管道，所需管道最短．
又由垂线段最短，可知铺设的管道最短的方案是选项A．
故选：A．
5．解：如图所示：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点P，则此时AP+PB＝AP+PB′＝AB′的值最小，
∵点B坐标为（1，﹣3），
∴B′（﹣1，﹣3），
∴B′C＝AC＝5，
∴∠AB′C＝45°，
∴PD＝B′D＝1，
∵OD＝|﹣3|＝3，
∴OP＝2，
∴P（0，﹣2），
故选：D．
6．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN＝5，
∴DM+CN+MN＝5，
即CD＝5＝OP，
∴OC＝OD＝CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°；
故选：B．
7．解：如图连接PC，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴点D与点B关于直线AC对称，
连接BE，则线段BE的长就是PD+PE的最小值．
故选：D．
9．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N
∴M′N′＝M′E，
∴CE＝CM′+M′E
∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为8，AB＝4，
∴×4•CE＝8，
∴CE＝4．
即CM+MN的最小值为4．
故选：B．
10．解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA＝MC，
∵AD≤AM+MD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故选：C．
二．填空题
11．解：如图，
作出点P关于OA的对称点E，作出点P关于OB的对称点F，连接EF，交OA于Q，交OB于R．连接PQ，PR，PE，PF，OE，OF．
则PQ＝EQ，PR＝RF，
则△PQR的周长＝PQ+QR+PR＝EQ+QR+RF＝EF．
∵∠AOP＝∠AOE，∠POB＝∠FOB，∠AOB＝∠AOP+∠POB＝30°，
∴∠EOF＝60°，
又∵OE＝OP，OF＝OP，
∴OE＝OF＝10，
即△EOF是等边三角形，
∴EF＝OP＝10，
所以△PQR的周长的最小值为10．
故答案为：10．
12．解：作M关于OC的对称点P，过P作PN⊥OA于N，交OC于Q，则此时QM+QN的值最小，
∵∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，
∴OA、OB关于OC对称，
∴P点在OB上，
∴OP＝OM＝10cm，QM＝PQ，∠PNO＝90°，
∵PN＝OP＝×10＝5cm，
∴QM+QN＝PQ+QN＝PN＝5cm，
故答案为5cm．
13．解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故答案为：10．
14．解：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，
∵A点的坐标为（2，3），B点的坐标为（﹣2，1），
∴C（2，﹣3），
设直线BC的解析式是：y＝kx+b，
把B、C的坐标代入得：
解得．
即直线BC的解析式是y＝﹣x﹣1，
当y＝0时，﹣x﹣1＝0，
解得：x＝﹣1，
∴P点的坐标是（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
15．解：如图，连接CE，过点C作CH⊥AB于H，
∵S△ABC＝×AB×CH＝65，
∴CH＝＝10，
∵AB＝AC＝13，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴BE＝EC，
∴BE+EF＝CE+EF，
∴当点E，点C，点F三点共线，且CF⊥AB时，BE+EF有最小值，
即点E，点F都在线段CH上，
∴BE+EF的最小值为10，
故答案为：10．
三．解答题
16．解：（1）作点P关于OA、OB的对称点M、N；
（2）连接M、N，分别交OA，OB分别于P1、P2，则△PP1P2即为所求的三角形．
17．解：利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知：
AC+CD+DB＝（ED+DB）+CD＝EB+CD．
而CD的长度又是平行线PQ与MN之间的距离，所以AC+CD+DB最短．
18．解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA﹣PB|的值最大的点，|PA﹣PB|＝A′B，
连接A′C，
∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，
∵∠BCD＝15°，
∴∠ACD＝75°，
∴∠CAA′＝15°，
∵AC＝A′C，
∴A′C＝BC，∠CA′A＝∠CAA′＝15°，
∴∠ACA′＝150°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A′CB＝60°，
∴△A′BC是等边三角形，
∴A′B＝BC＝4．
故答案为：4．
19．解：在河边任意取一点C′连接AC′和C′B，
∵CD是线段BB′的垂直平分线可求出BC＝B′C，
∴AC+BC＝AC+B′C＝AB′，
同理，BC′＝B′C′，
∴AC′+BC′＝AC′+B′C′，
∴AC′+B′C′＞AB′．
∴C为所求的点．
20．解：（1）
分别作A、B、C的对称点，A′、B′、C′，由三点的位置可知：
A′（﹣1，2），B′（﹣3，1），C′（﹣4，3）
（2）先找出C点关于x轴对称的点C″（4，﹣3），连接C″A交x轴于点P，
（或找出A点关于x轴对称的点A″（1，﹣2），连接A″C交x轴于点P）则P点即为所求点．
21．解：作法：作A关于l的对称点A′，
连接A′B交l于点P．
则点P就是所要求作的点；
理由：在l上取不同于P的点P′，连接AP′、BP′．
∵A和A′关于直线l对称，
∴PA＝PA′，P′A＝P′A′，
而A′P+BP＜A′P′+BP′
∴PA+BP＜AP′+BP′
∴AB+AP+BP＜AB+AP′+BP′
即△ABP周长小于△ABP′周长．
22．解：（1）如图1，作C关于直线AB的对称点C′，
连接C′D交AB于点P．
则点P就是所要求作的点．
理由：在l上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′、C'P'．
∵C和C′关于直线l对称，
∴PC＝PC′，P′C＝P′C′，
而C′P+DP＜C′P′+DP′，
∴PC+DP＜CP′+DP′
∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′
即△CDP周长小于△CDP′周长；
（2）如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，连接PC，PD，则点E，F就是所要求作的点，
理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P、PF′、DF′，E'F'，
∵C和P关于直线OA对称，D和P关于直线OB对称，
∴PE＝CE，CE′＝PE′，PF＝DF，PF′＝DF′，
∴PE+EF+PF＝CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′＝CE′+E′F′+DF′，
∵CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，
∴PE+EF+PF＜PE′+E′F′+PF′；
（3）如图3，作M关于OA的对称点C，作N关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点．连接MC，ND．
理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′F′，DF′，
∵C和M关于直线OA对称，
∴ME＝CE，CE′＝ME′，NF＝DF，NF′＝DF′，
由（2）得知MN+ME+EF+NF＜MN+ME′+E′F′+F′D．
一．选择题
1．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．计划在l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道），则所需管道最短的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，直线m表示一条河，M，N表示两个村庄，欲在m上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，直线l是一条河，P，Q两地在直线l的同侧，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，分别向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，则铺设的管道最短的方案是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为（1，﹣3），在y轴上有一点P使PA+PB的值最小，则点P坐标为（ ）
A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）
6．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）
A．BCB．CEC．ADD．AC
8．如图，点E是正方形ABCD的边DC上的一点，在AC上找一点P，使PD+PE的值最小，这个最小值等于线段（ ）的长度．
A．ABB．ACC．BPD．BE
9．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
二．填空题
11．如图所示，∠AOB＝30°，角内有点P，PO＝10cm，两边上各有一点Q，R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是 ．
12．如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10cm，现要在OC、OA上分别找点Q、N，使QM+QN最小，则其最小值是 ．
13．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是 ．
15．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，面积65，AD是∠BAC的角平分线，E是AD上的动点，F是AB边上的动点，则BE+EF的最小值为 ．
三．解答题
16．如图，P是∠AOB内任一点，分别在OA、OB上，求作两点P1，P2，使△PP1P2的周长最小（简要说明作法）．
17．河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置．请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．
18．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|PA﹣PB|的最大值为 ．
19．有人会说：“这也太简单了！”别着急，请看下面这道题（如图）
有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近．这道题乍一看似乎无从下手．但经过观察可以发现此题依然可以利用“两点之间，线段最短”来解决问题，具体方法为：做B点与河面的对称点B′，连接AB′，可得到马喝水的地方C（如图）．
再连接CB得到这道题的解A→C→B．这就是著名的“将军饮马”问题．不信的话你可以在河边任意取一点C′连接AC′和C′B，比较一下就知道了．
20．已知：如图所示，
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．
（2）在x轴上画出点P，使PA+PC最小．
21．如图，A、B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使△PAB的周长最小．
22．（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项B修建的管道，则所需管道最短．
故选：D．
2．解：作点M关于直线m的对称点P′，连接nP′交直线L于P．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故选：D．
3．解：分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是D选项，
故选：D．
4．解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项B修建的管道，所需管道最短．
又由垂线段最短，可知铺设的管道最短的方案是选项A．
故选：A．
5．解：如图所示：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点P，则此时AP+PB＝AP+PB′＝AB′的值最小，
∵点B坐标为（1，﹣3），
∴B′（﹣1，﹣3），
∴B′C＝AC＝5，
∴∠AB′C＝45°，
∴PD＝B′D＝1，
∵OD＝|﹣3|＝3，
∴OP＝2，
∴P（0，﹣2），
故选：D．
6．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN＝5，
∴DM+CN+MN＝5，
即CD＝5＝OP，
∴OC＝OD＝CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°；
故选：B．
7．解：如图连接PC，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴点D与点B关于直线AC对称，
连接BE，则线段BE的长就是PD+PE的最小值．
故选：D．
9．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N
∴M′N′＝M′E，
∴CE＝CM′+M′E
∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为8，AB＝4，
∴×4•CE＝8，
∴CE＝4．
即CM+MN的最小值为4．
故选：B．
10．解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA＝MC，
∵AD≤AM+MD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故选：C．
二．填空题
11．解：如图，
作出点P关于OA的对称点E，作出点P关于OB的对称点F，连接EF，交OA于Q，交OB于R．连接PQ，PR，PE，PF，OE，OF．
则PQ＝EQ，PR＝RF，
则△PQR的周长＝PQ+QR+PR＝EQ+QR+RF＝EF．
∵∠AOP＝∠AOE，∠POB＝∠FOB，∠AOB＝∠AOP+∠POB＝30°，
∴∠EOF＝60°，
又∵OE＝OP，OF＝OP，
∴OE＝OF＝10，
即△EOF是等边三角形，
∴EF＝OP＝10，
所以△PQR的周长的最小值为10．
故答案为：10．
12．解：作M关于OC的对称点P，过P作PN⊥OA于N，交OC于Q，则此时QM+QN的值最小，
∵∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，
∴OA、OB关于OC对称，
∴P点在OB上，
∴OP＝OM＝10cm，QM＝PQ，∠PNO＝90°，
∵PN＝OP＝×10＝5cm，
∴QM+QN＝PQ+QN＝PN＝5cm，
故答案为5cm．
13．解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故答案为：10．
14．解：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，
∵A点的坐标为（2，3），B点的坐标为（﹣2，1），
∴C（2，﹣3），
设直线BC的解析式是：y＝kx+b，
把B、C的坐标代入得：
解得．
即直线BC的解析式是y＝﹣x﹣1，
当y＝0时，﹣x﹣1＝0，
解得：x＝﹣1，
∴P点的坐标是（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
15．解：如图，连接CE，过点C作CH⊥AB于H，
∵S△ABC＝×AB×CH＝65，
∴CH＝＝10，
∵AB＝AC＝13，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴BE＝EC，
∴BE+EF＝CE+EF，
∴当点E，点C，点F三点共线，且CF⊥AB时，BE+EF有最小值，
即点E，点F都在线段CH上，
∴BE+EF的最小值为10，
故答案为：10．
三．解答题
16．解：（1）作点P关于OA、OB的对称点M、N；
（2）连接M、N，分别交OA，OB分别于P1、P2，则△PP1P2即为所求的三角形．
17．解：利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知：
AC+CD+DB＝（ED+DB）+CD＝EB+CD．
而CD的长度又是平行线PQ与MN之间的距离，所以AC+CD+DB最短．
18．解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA﹣PB|的值最大的点，|PA﹣PB|＝A′B，
连接A′C，
∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，
∵∠BCD＝15°，
∴∠ACD＝75°，
∴∠CAA′＝15°，
∵AC＝A′C，
∴A′C＝BC，∠CA′A＝∠CAA′＝15°，
∴∠ACA′＝150°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A′CB＝60°，
∴△A′BC是等边三角形，
∴A′B＝BC＝4．
故答案为：4．
19．解：在河边任意取一点C′连接AC′和C′B，
∵CD是线段BB′的垂直平分线可求出BC＝B′C，
∴AC+BC＝AC+B′C＝AB′，
同理，BC′＝B′C′，
∴AC′+BC′＝AC′+B′C′，
∴AC′+B′C′＞AB′．
∴C为所求的点．
20．解：（1）
分别作A、B、C的对称点，A′、B′、C′，由三点的位置可知：
A′（﹣1，2），B′（﹣3，1），C′（﹣4，3）
（2）先找出C点关于x轴对称的点C″（4，﹣3），连接C″A交x轴于点P，
（或找出A点关于x轴对称的点A″（1，﹣2），连接A″C交x轴于点P）则P点即为所求点．
21．解：作法：作A关于l的对称点A′，
连接A′B交l于点P．
则点P就是所要求作的点；
理由：在l上取不同于P的点P′，连接AP′、BP′．
∵A和A′关于直线l对称，
∴PA＝PA′，P′A＝P′A′，
而A′P+BP＜A′P′+BP′
∴PA+BP＜AP′+BP′
∴AB+AP+BP＜AB+AP′+BP′
即△ABP周长小于△ABP′周长．
22．解：（1）如图1，作C关于直线AB的对称点C′，
连接C′D交AB于点P．
则点P就是所要求作的点．
理由：在l上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′、C'P'．
∵C和C′关于直线l对称，
∴PC＝PC′，P′C＝P′C′，
而C′P+DP＜C′P′+DP′，
∴PC+DP＜CP′+DP′
∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′
即△CDP周长小于△CDP′周长；
（2）如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，连接PC，PD，则点E，F就是所要求作的点，
理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P、PF′、DF′，E'F'，
∵C和P关于直线OA对称，D和P关于直线OB对称，
∴PE＝CE，CE′＝PE′，PF＝DF，PF′＝DF′，
∴PE+EF+PF＝CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′＝CE′+E′F′+DF′，
∵CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，
∴PE+EF+PF＜PE′+E′F′+PF′；
（3）如图3，作M关于OA的对称点C，作N关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点．连接MC，ND．
理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′F′，DF′，
∵C和M关于直线OA对称，
∴ME＝CE，CE′＝ME′，NF＝DF，NF′＝DF′，
由（2）得知MN+ME+EF+NF＜MN+ME′+E′F′+F′D．
相关试卷
人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题达标测试： 这是一份人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题达标测试，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初中数学13.4课题学习 最短路径问题精品课后作业题： 这是一份初中数学13.4课题学习 最短路径问题精品课后作业题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题优秀课时练习： 这是一份人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题优秀课时练习，共9页。试卷主要包含了附图等内容，欢迎下载使用。
