北师大版2020年九年级上册期中复习训练题 解析版

北师大版2020年九年级上册期中复习训练题
第1-5章
一．选择题
1．如图所示几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．
2．气象台预报“本市明天降水概率是90%”．对此信息，下列说法正确的是（　　）
A．本市明天将有90%的地区降水
B．本市明天将有90%的时间降水
C．明天肯定下雨
D．明天降水的可能性比较大
3．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．下列说法错误的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．菱形的每条对角线平分一组对角
D．顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形一定是平行四边形
5．一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝1，则k的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
6．若，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
7．下列方程没有实数根的是（　　）
A．3x2﹣1＝0 B．
C．x2﹣x+2＝0 D．x2﹣kx﹣1＝0
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是（　　）

A．∠BAC＝∠DAC B．OA＝OC C．AC⊥BD D．AC＝BD
9．如图，在▱ABCD中，点E、F分别为边AD、BD上的点，EF∥AB．若DE＝EA，EF＝4，则CD的长为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．16
10．为响应国家“精准扶贫”号召，某银行2018年安排精准扶贫贷款100亿元，已知该银行2016年安排精准扶贫贷款64亿元，设2016年至2018年该银行安排精准扶贫贷款的平均增长率为x，根据题意可列方程为（　　）
A．100（1+x）2＝64 B．64（1+x）2＝100
C．64（1+2x）＝100 D．64（1﹣x2）＝100
二．填空题
11．一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是　 　．
12．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为　 　．
13．如图，在△ABC中，EF∥BC，，S四边形BCFE＝8，则S△ABC＝　 　．

14．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为　 　cm．

15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BOC＝120°，AB＝4，则BC的长为　 　．

16．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a2﹣4a+b，如3⊕5＝32﹣4×3+5，若x⊕1＝13，则实数x的值　 　．
17．如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是　 　．

三．解答题
18．解方程：
（1）3x（x+1）＝3x+3；
（2）2x2﹣5x﹣7＝0．

19．如图，∠CAB＝∠CBD，AB＝4，CB＝5，AC＝6，BD＝7.5．求CD的长．

20．如图，要在长92m，宽60m的矩形绿地上修建三条宽度相同的小道，小道将矩形绿地分成面积均为885m2的6个矩形小块，求小道的宽度为多少？



21．张强和李涛用如图所示的两个可以自由转动的转盘A，B（A，B转盘分别被分成面积相等的4部分和6部分扇形）做游戏，转盘A每份分别标上1，2，3，4四个数字；转盘B每份分别标上1，2，3，4，5，6六个数字，两个转盘各转一次．若两次数字之和为2，3或4则张强胜，否则李涛胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由．如果不公平，请你设计一个公平的游戏规则．



22．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？


23．某商场将某种商品的售价从原来的每件60元经两次调价后调至每件48.6元
（1）若该商店两次调价的百分比相同，求这个百分比；
（2）调价后，经调查：该商品每月可销售300件，但每件降价1元，即可多销售10件．为了获利4160元，并减少库存，每件应该降价多少元？（设成本价为33.6元）
24．已知，边长为6的正方形ABCO在如图所示的直角坐标系中，点M（t，0）为x轴上的一个动点，过A作直线MC的垂线交y轴于点N，垂足为点D．
（1）当0＜t＜6时，求证：△AON≌△COM；
（2）当0＜t＜6时，且D为CM的中点时，求t的值；
（3）连接MN，设△AMN的面积为S，当S＝时，直接写出t的值．


25．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，
（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；
（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系：　 　．




26．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．AC＝2AB．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形EGCF是矩形；
（3）OF＝，CF＝2，将线段CG和CF绕点C同时顺时针旋转相同角度，得到线段CH和CK，直线GH和FK交于M．
①如图，CF和GH交于Q，CH和FK交于P，＝　 　；
②连接BM，BM的长随线段CG，CF的旋转而发生变化，请直接写出线段BM的范围．
















参考答案
一．选择题
1．解：几何体的主视图是，，
故选：A．
2．解：根据概率表示某事情发生的可能性的大小，分析可得：
A、明天降水的可能性为90%，并不是有90%的地区降水，错误；
B、本市明天将有90%的时间降水，错误；
C、明天不一定下雨，错误；
D、明天降水的可能性为90%，说明明天降水的可能性比较大，正确．
故选：D．
3．解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，
∴朝上一面的数字是朝上面的数字大于4的概率为：＝．
故选：B．
4．解：A、∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴选项A不符合题意；
B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项B符合题意；
C、∵菱形的每条对角线平分一组对角，
∴选项C不符合题意；
D、∵顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形一定是平行四边形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
5．解：把x＝1代入x2+kx﹣3＝0中，得
1+k﹣3＝0，
解得k＝2，
故选：A．
6．解：∵，
∴设x＝4k，y＝3k，
∴＝＝，
故选：C．
7．解：A、∵△＝02﹣4×3×（﹣1）＝0+12＝12＞0，∴方程有两个不相等实数根，故本选项不符合题意；
B、∵△＝（﹣2）2﹣4×1×3＝12﹣12＝0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、∵△＝（﹣1）2﹣4×1×2＝1﹣8＝﹣7＜0，∴方程没有实数根，故本选项符合题意；
D、∵△＝（﹣k）2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意．
故选：C．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC，OA＝OC，AC⊥BD，
故A、B、C正确，
故选：D．
9．解：如图，DE＝EA，
∴DE＝DA．
∵EF∥AB，
∴△DEF∽△DAB，
∴＝，即＝，
又∵EF＝4，
∴AB＝12．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12．
故选：C．

10．解：设2016年至2018年该银行安排精准扶贫贷款的平均增长率为x，
根据题意得：64（1+x）2＝100．
故选：B．
二．填空题
11．解：x﹣3＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝2．
故答案为x1＝3，x2＝2．
12．解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴△ABC的周长：△A′B′C′的周长＝3：4，
∵△ABC的周长为6，
∴△A′B′C′的周长＝6×＝8．
故答案为：8．
13．解：∵＝，
∴＝，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝＝（）2＝，

∴＝
∵S四边形BCFE＝8，
∴S△ABC＝9
故答案为：9．
14．解：∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC
∴＝
设屏幕上的小树高是x，则＝
解得x＝18cm．故答案为：18．

15．解：∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝OD，CD＝AB＝4，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝OB＝AB＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∴BC＝＝＝4；
故答案为：4．

16．解：∵x⊕1＝13，
∴x2﹣4x+1＝13，
故x2﹣4x﹣12＝0，
（x﹣6）（x+2）＝0，
解得：x＝﹣2或6．
故答案为：﹣2或6．
17．解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是原来的；
顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即，则周长是原来的；
顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即，则周长是原来的；
顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，则周长是原来的；
…
故第n个正方形周长是原来的，
以此类推：第六个正方形A6B6C6D6周长是原来的，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴周长为4，
∴第六个正方形A6B6C6D6周长是．
故答案为：．
三．解答题
18．解：（1）3x（x+1）＝3x+3，
3x（x+1）﹣3（x+1）＝0，
（x+1）（3x﹣3）＝0，
x+1＝0，3x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝1；
（2）2x2﹣5x﹣7＝0，
（2x﹣7）（x+1）＝0，
2x﹣7＝0，x+1＝0，
解得x1＝3.5，x2＝﹣1．
19．解：∵AB＝4，CB＝5，AC＝6，BD＝7.5，
∴＝，
∵∠CAB＝∠CBD，
∴△CAB∽△DBC，
∴＝＝，
∴CD＝．
20．解：设小道的宽度为xm，
由题意得：（92﹣2x）（60﹣x）＝885×6．
解得x1＝105（不含题意，舍去），x2＝1．
∴x＝1．
答：小道的宽度为1m．
21．解：所有可能得到的数字之和如下表

1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
由上表可知，两数之和的情况共有24种，其中两次数字之和为2，3或4的有6种结果，
∴张强获胜的概率为＝，
则李涛获胜的概率为1﹣＝，
∵≠，
∴此游戏规则不公平．
修改游戏规则为：数字之和为奇数则张强获胜；数字之和为偶数则李强获胜．
22．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4×（﹣）＝（m﹣1）2＝0，
∴m＝1，
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，
解得：x1＝x2＝，
∴菱形ABCD的边长是．
（2）把x＝2代入原方程，得：4﹣2m+﹣＝0，
解得：m＝．
将m＝代入原方程，得：x2﹣x+1＝0，
∴方程的另一根AD＝1÷2＝，
∴▱ABCD的周长是2×（2+）＝5．
23．解：（1）设这种商品平均降价率是x，依题意得：
60（1﹣x）2＝48.6，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）．
答：这个百分比为10%；

（2）设每件商品再降价y元，
根据题意得（48.6﹣33.6﹣y）（300+10y）＝4160
解得：y1＝2，y2＝﹣17（不合题意舍去）．
答：每件商品再降价2元．
24．（1）证明：∵AD⊥MC，
∴∠CDN＝∠AOC＝90°
∵∠CND＝∠ANO，
∴∠NAO＝∠NCO，
∵四边形ABCO是正方形，
∴AO＝CO，∠AON＝∠COM＝90°，
在△AON和△COM中，
，
∴△AON≌△COM（ASA）；
（2）如图1，连接AC，
∵AD⊥MC，D为CM的中点，
∴AC＝AM，
∵正方形的边长为6，
∴AC＝＝6，
∴AM＝AC＝6，
∴OM＝AM﹣AO＝6﹣6，
∴t＝6﹣6；
（3）如图1，当点M在x轴的正半轴上或点A的左侧时，
∵△AON≌△COM，
∴ON＝OM＝t，
∴△AMN的面积为S＝×（6+t）×t＝t2+3t，
由题意得，t2+3t＝，
解得，t1＝1，t2＝﹣7，
当点M在线段OA上时，
同（1）的方法可以证明△AON≌△COM，
∴ON＝OM＝﹣t，
∴△AMN的面积为S＝×（6+t）×（﹣t）＝﹣t2﹣3t，
由题意得，﹣t2﹣3t＝，
解得，t1＝﹣3+，t2＝﹣3﹣，
综上所述，当S＝时，t的值为1或﹣1或﹣3+或﹣3﹣．


25．解：（1）AG＝EC，AG⊥EC，理由为：
∵正方形BEFG，正方形ABCD，
∴GB＝BE，∠ABG＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，
在△ABG和△BEC中，
，
∴△ABG≌△BEC（SAS），
∴CE＝AG，∠BCE＝∠BAG，
延长CE交AG于点M，
∴∠BEC＝∠AEM，
∴∠ABC＝∠AME＝90°，
∴AG＝EC，AG⊥EC；

（2）∠EMB的度数不发生变化，∠EMB的度数为45°理由为：
过B作BP⊥EC，BH⊥AM，
在△ABG和△CEB中，
，
∴△ABG≌△CEB（SAS），
∴S△ABG＝S△EBC，AG＝EC，
∴EC•BP＝AG•BH，
∴BP＝BH，
∴MB为∠EMG的平分线，
∵∠AMC＝∠ABC＝90°，
∴∠EMB＝∠EMG＝×90°＝45°；

（3）CM＝BN，理由为：在NA上截取NQ＝NB，连接BQ，
∴△BNQ为等腰直角三角形，即BQ＝BN，
∵∠AMN＝45°，∠N＝90°，
∴△AMN为等腰直角三角形，即AN＝MN，
∴MN﹣BN＝AN﹣NQ，即AQ＝BM，
∵∠MBC+∠ABN＝90°，∠BAN+∠ABN＝90°，
∴∠MBC＝∠BAN，
在△ABQ和△BCM中，
，
∴△ABQ≌△BCM（SAS），
∴CM＝BQ，
则CM＝BN．
故答案为：CM＝BN
26．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．

（2）证明：∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．

（3）①解：由旋转的性质可知，CG＝CH，CF＝CK，∠GCH＝∠FCK，
∴∠CFK＝∠H，
∵∠FCP＝∠HCQ，
∴△HCQ∽FCP，
∴＝＝，
∴CF＝2，OF＝OE＝，
∴CG＝EF＝2，
∴＝＝．
故答案为．

②取FG的中点J，连接BJ，QJ，OJ．
∵CG＝CH，CF＝CK，∠GCH＝∠FCK，
∴∠CGQ＝∠QFM，
∵∠CQG＝∠FQM，
∴∠FMQ＝∠GCQ＝90°，
在Rt△GFC中，CG＝2，CF＝2，
∴FG＝＝＝4，
∵FJ＝GJ，
∴MJ＝FG＝2，
∵FO＝OE，FJ＝JG，
∴OJ＝EG＝1，OJ∥EG，
∴∠FOJ＝∠OEG＝90°，
∴∠BOJ＝90°，
∴BJ＝＝＝，
∵BJ+JM≥BM≥BJ﹣JM，
∴+2≥BM≥﹣2，