北师大版九年级上册期中复习训练题 解析版

北师大版九年级上册期中复习训练题
复习范围：第1-6章
一．选择题
1．如图所示，由7个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（　　）

A． B． C． D．
2．下列命题中，为真命题的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．一组邻边相等的菱形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
3．用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝2 D．（x+1）2＝4
4．关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣3＝0的一个解为x＝﹣1，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．5 D．1
5．若反比例函数y＝图象经过点（5，﹣1），该函数图象在（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
6．一个样本有40个数据，把它分成A，B，C，D，4个小组，每一组有10个数据，任选一个数据，则该数据落入D小组的概率是（　　）
A．0.05 B．0.25 C．0.5 D．0.6
7．如图，△ABC与△ADE相似，且∠ADE＝∠B，则下列比例式中正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．
8．下列对一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的情况的判断，正确的是（　　）
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
10．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC，E为AB边上一点，∠BCE＝15°，且AE＝AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论正确的个数是（　　）
①AC⊥DE；②＝；③CD＝2DH；④＝．

A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
11．方程x2﹣3＝0的解是　 　．
12．已知△ABC∽△DEF，且AB：DE＝1：2，则△ABC的周长与△DEF的周长之比是　 　．
13．如图，∠B＝∠D，请你添加一个条件，使得△ABC∽△ADE，这个条件可以是　 　．

14．如果反比例函数的图象经过点（3，1），那么k＝　 　．
15．若，则＝　 　．
16．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3＝0的两根为a与b，则的值是　 　．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点O为对角线AC、BD的交点，P为AD上任一点，过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BD于点N，则PM+PN＝　 　．

18．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上，点B坐标为（6，4），反比例函数的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连结DE，将△BDE沿DE翻折到△B'DE处，点B'恰好落在正比例函数y＝kx图象上，则k的值是　 　．

三．解答题
19．解方程：
（1）x2+2x＝5；



（2）2x2+7x﹣4＝0．


20．甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情．
（1）若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是　 　；
（2）若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．




21．已知关于x的方程 kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0 有两个不相等的实数根，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得此方程的有一个实数根等于4？若存在，求出k的值和方程的另一个根；若不存在，说明理由．





22．如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F，连接AB，CD．
（1）求证：AD＝CE；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是菱形？请说明理由．




23．由于“哈啰小蓝车”的投放使用，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某商城的自行车销售量自2019年起逐月增加，据统计，该商城9月份销售自行车64辆，11月份销售了100辆；
（1）若该商城9月至11月的自行车销售的月平均增长率相同，求自行车销售的月平均增长率．
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备再购进一批两种规格的自行车共100辆，已知A型车的进价为每辆500元，售价为每辆700元，B型车的进价为每辆1000元，售价为每辆1300元．假设所购进车辆全部售完，为使利润不低于26000元，该商城购进A型车不超过多少辆？





24．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式；
（2）当V＝9m3时，求二氧化碳的密度ρ．







25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+b与双曲线y＝相交于A（1，m），B（n，﹣2）两点，直线与x轴、y轴交于C，D两点，且tan∠AOC＝1．
（1）求k，a，b的值；
（2）求△AOB的面积．




26．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）相交于A，B两点，点A坐标为（﹣3，2），点B坐标为（n，﹣3）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是5，求点P的坐标．
（3）利用函数图象直接写出关于x的不等式kx+b＜的解集．







27．问题背景 如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；
拓展创新 如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接写出AD的长．





















参考答案
一．选择题
1．解：从上面看：共分3列，从左往右分别有2，2，1个小正方形．
故选：D．
2．解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法是假命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项说法是假命题；
C、一组邻边相等的矩形是正方形，本选项说法是假命题；
D、对角线相等的菱形是正方形，本选项说法是真命题；
故选：D．
3．解：∵x2+2x﹣3＝0
∴x2+2x＝3
∴x2+2x+1＝1+3
∴（x+1）2＝4
故选：D．
4．解：把x＝﹣1代入方程2x2﹣mx﹣3＝0得2+m﹣3＝0，
解得m＝1．
故选：D．
5．解：∵反比例函数y＝的图象经过点（5，﹣1），
∴k＝5×（﹣1）＝﹣5＜0，
∴该函数图象在第二、四象限．
故选：D．
6．解：由题意可得，
任选一个数据，则该数据落入D小组的概率是＝0.25，
故选：B．
7．解：∵△ABC∽△ADE，
∴，
故选：D．
8．解：△＝（﹣1）2﹣4×（﹣3）＝13＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
9．解：∵ABCD是菱形，
∴BO＝DO＝4，AO＝CO，S菱形ABCD＝＝24，
∴AC＝6，
∵AH⊥BC，AO＝CO＝3，
∴OH＝AC＝3．
故选：A．
10．解：∵AD∥BC，∠ABC＝90°
∴∠BAD＝90°，
又∵AB＝BC，
∴∠BAC＝45°，
∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴AH⊥ED，
即AC⊥ED，故①正确；
∵△CHE为直角三角形，且∠HEC＝60°
∴EC＝2EH
∵∠ECB＝15°，
∴EC≠4EB，
∴EH≠2EB；故②错误．
∵由证①中已知，∠BAC＝∠CAD，
在△ACD和△ACE中，
，
∴△ACD≌△ACE（SAS），
∴CD＝CE，
∵∠BCE＝15°，
∴∠BEC＝90°﹣∠BCE＝90°﹣15°＝75°，
∴∠CED＝180°﹣∠BEC﹣∠AED＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠DCH＝30°，
∴CD＝2DH，故③正确；
过H作HM⊥AB于M，
∴HM∥BC，
∴△AMH∽△ABC，
∴＝，
∵∠DAC＝∠ADH＝45°，
∴DH＝AH，
∴，
∵△BEH和△CBE有公共底BE，
∴＝，故④正确，
∴结论正确的个数是3．
故选：C．

二．填空题
11．解：方程x2﹣3＝0，
移项得：x2＝3，
解得：x＝±．
故答案为：±．
12．解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2，
∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长之比为1：2，
故答案为：1：2．
13．解：∵∠B＝∠D，
∴添加∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或＝，可证△ABC∽△ADE．
故答案为：∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或＝．
14．解：∵反比例函数的图象经过点（3，1），
∴＝1，解得k＝3．
故答案为：3．
15．解：由题意，设x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴原式＝＝．
故答案为
16．解：根据题意得a+b＝3，ab＝﹣3，
所以原式＝＝＝﹣1．
故答案为﹣1．
17．解：连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝8，
∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，BO＝DO，AO＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OD，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD＝＝＝10，
即OA＝OD＝5，
∵矩形ABCD的面积是AD×BC＝8×6＝48，
∴△BAD的面积是＝24，
∵BO＝DO，
∴△AOD的面积是24＝12，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP，
∴12＝+，
∴24＝5×PM+5×PN，
解得：PM+PN＝，
故答案为：．
18．解：∵四边形ABCD为矩形，B（6，4），
∴E点的纵坐标为4，D点的横坐标为6，
当x＝6时，y＝＝1，则D（6，1）；
当y＝4时，＝4，解得x＝，则E（，4），
∴BE＝，BD＝3，AD＝1，
∵△BDE沿DE翻折到△B'DE处，
∴EB′＝EB＝，DB′＝DB＝3，∠EB′D＝∠B＝90°，
作B′M⊥AB于M，EN⊥B′M于N，如图，则MN＝BE＝，EN＝BM，
∵∠EB′N+∠DB′M＝90°，∠EB′N+∠B′EN＝90°，
∴∠B′EN＝∠DB′M，
∴Rt△EB′N∽Rt△B′DM，
∴＝＝＝＝，
设B′N＝t，则DM＝t，
∴EN＝3+t，
∴B′M＝EN＝（3+t），
∵B′N+B′M＝，
∴t+（3+t）＝，解得t＝，
∵AM＝DM﹣AD＝×﹣1＝，
而+NB′＝+＝，
∴B′点的坐标为（，﹣），
把B′（，﹣）代入y＝kx得k＝﹣，解得k＝﹣．
故答案为﹣．

三．解答题
19．解：（1）x2+2x＝5，
x2+2x+1＝5+1，
（x+1）2＝6，
x+1＝±，
x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；

（2）2x2+7x﹣4＝0，
（2x﹣1）（x﹣4）＝0，
2x﹣1＝0，x﹣4＝0，
x1＝，x2＝4．
20．解：（1）根据题意画图如下：

共有4种等可能的情况数，其中所选的2名医护人员性别相同的有2种，
则所选的2名医护人员性别相同的概率是＝；
故答案为：；

（2）将甲、乙两所医院的医护人员分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男医护人员，2表示女医护人员），树状图如图所示：

共有12种等可能的结果，满足要求的有4种．
则P（2名医生来自同一所医院的概率）＝＝．
21．解：（1）根据题意得k≠0且△＝[﹣2 （k+1）]2﹣4k（ k﹣1）＞0，
解得k＞且k≠0；
（2）存在．
将x＝4代入原方程得k×42﹣2 （k+1）×4+k﹣1＝0，解得k＝1，
而k＞且k≠0；
∴k的值为1，
当k＝1时，原方程化为x2﹣4x＝0，解得x1＝4，x2＝0，
∴方程的另一个根为0．
22．（1）证明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴BD＝CE，
∵D是△ABC的边AB的中点，
∴AD＝BD，
∴AD＝CE；
（2）解：当△ABC满足△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°时，四边形ADCE是菱形；理由如下：
由（1）得：AD∥CE，AD＝CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D是△ABC的边AB的中点，
∴CD＝AB＝AD，
∴四边形ADCE是菱形．
23．解：（1）设自行车销售的月平均增长率为x，
依题意，得：64（1+x）2＝100，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：自行车销售的月平均增长率为25%．
（2）设该商城购进A型车m辆，则购进B型车（100﹣m）辆，
依题意，得：（700﹣500）m+（1300﹣1000）（100﹣m）≥26000，
解得：m≤40．
答：该商城购进A型车不超过40辆．
24．解：（1）设密度ρ与体积V的反比例函数解析式为ρ＝，把点（5，1.98）代入解ρ＝，得k＝9.9，
∴密度ρ与体积V的反比例函数解析式为ρ＝，V＞0．

（2）把V＝9代入ρ＝，得ρ＝＝1.1kg/m3．
25．解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图

∵tan∠AOC＝1，A（1，m），B（n，﹣2）
∴m＝1
∴1＝
∴k＝2
∴﹣2＝
∴n＝﹣
∴A（1，1），B（﹣，﹣2）
把A（1，1），B（﹣，﹣2）分别代入y＝ax+b得：

解得
∴y＝2x﹣1
∴k，a，b的值分别为2，2，﹣1．
（2）∵y＝2x﹣1
∴当x＝0时，y＝﹣1，即D（0，﹣1）
∴S△AOB＝OD×xA+OD×（﹣xB）
＝OD×（xA﹣xB）
＝×1×（1+）
＝
∴△AOB的面积为．
26．解：（1）∵双曲线y＝（m≠0）过点A（﹣3，2），
∴m＝﹣3×2＝﹣6，
∴反比例函数表达式为y＝﹣，
∵点B（n，﹣3）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴n＝2，
∴B（2，﹣3）．
∵点A（﹣3，2）与点B（2，﹣3）在直线y＝kx+b上，
∴解得
∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣1；
（2）如图，在x轴上任取一点P，连接AP，BP，由（1）知点B的坐标是（2，﹣3）．
在y＝﹣x﹣1中令y＝0，解得x＝﹣1，则直线与x轴的交点是（﹣1，0）．
设点P的坐标是（a，0）．
∵△ABP的面积是5，
∴•|a+1|•（2+3）＝5，
则|a+1|＝2，
解得a＝﹣3或1．
则点P的坐标是（﹣3，0）或（1，0）；
（3）关于x的不等式kx+b＜的解集是﹣3＜x＜0或x＞2．
27．问题背景
证明：∵△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE；
尝试应用
解：如图1，连接EC，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴△ABC∽△ADE，
由（1）知△ABD∽△ACE，
∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴，
∴＝3．
∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴＝3．
拓展创新
解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，

∵∠BAD＝30°，
∴∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，
又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，
∴△BDC∽△MDA，
∴，
又∠BDC＝∠ADM，
∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，
即∠BDM＝∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
∴，
∵AC＝2，
∴BM＝2＝6，
∴AM＝＝＝2，
∴AD＝．