【数学】河南省鹤壁市淇滨高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试题
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高二上学期第一次月考试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题 共60分）
在问卷作答无效，请将正确答案填涂在答题卷上。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．下列不等式中，正确的是( )
A． 若，则 B． 若，则
C． 若，则 D． 若，则
2．数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2 012等于( )
A． 1 006 B． 2 012 C． 503 D． 0
3．在中，，，为的中点，的面积为，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为( )
A． 24 B． 3 C． 3 D． 8
5．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角为120°，则这个三角形的周长为 （ ）
A． 15 B． 18 C． 21 D． 24
6．在△ABC中，B＝30°，AB＝，AC＝1，则△ABC的面积是( )
A． B． C． 或 D． 或
7．已知实数、满足线性约束条件，则其表示的平面区域的面积为( )
A． B． C． D．
8．已知全集U=R，集合M={x|x2+2x﹣3≥0}，N={x|log2x≤1}，则（∁UM）∪N=（ ）
A． {x|﹣1≤x≤2} B． {x|﹣1≤x≤3} C． {x|﹣3＜x≤2} D． {x|0＜x＜1}
9．对任意的实数x，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．在等差数列{an}中，，且，为数列{an}的前n项和，则使得的n的最小值为( )
A． 23 B． 24 C． 25 D． 26
11．设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D． 与均为的最大值
12．已知数列满足：，.设，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题 共90分）
请将填空题答案填在答题卷上，解答题请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________
14．已知中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且，，，则______．
15．下面有四个结论:
①若数列的前项和为 (为常数),则为等差数列;
②若数列是常数列,数列是等比数列,则数列是等比数列;
③在等差数列中,若公差,则此数列是递减数列;
④在等比数列中,各项与公比都不能为.
其中正确的结论为__________(只填序号即可).
16．已知数列满足，，则数列的前n项和 ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，其它各题每小题12分，共70分）
17．在中，，，分别是角，，的对边，且，，．求：
（）的值．
（）的面积．
18．设的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求角；
（2）若，，求的面积．
19．已知数列中，，．
（1）求；
（2）若，求数列的前5项的和.
20．在中，三个内角所对的边分别为，且满足．
求角C的大小；
若的面积为，求边c的长．
21．已知数列的前项和，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
22．数列的前项和为，且 成等差数列。
(1)求的值；
(2)证明为等比数列，并求数列的通项；
(3)设，若对任意的，不等式恒成立，试求实数λ的取值范围
参考答案
1．A 2．A 3．B 4．A 5．A 6．D 7．B 8．C 9．B
10．B
【解析】
【分析】
，则且，所以，推导，,，。
由此得出结论。
【详解】
，则且，所以，则，,，。所以
的n的最小值为24。故选B
11．C
【解析】分析：利用等比数列的通项公式，解出的通项公式，化简整理，这三个表达式，得出结论。
详解：设等比数列，是其前项的积所以，由此
，，
所以，所以B正确，
由，各项为正数的等比数列，可知，所以A正确
可知，由，所以单调递减，在时取最小值，所以在时取最大值，所以D正确。
故选C
12．B
【解析】分析：由a，可得数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，求出等比数列的通项公式；把数列的通项公式代入，结合数列{bn}是单调递增数列，可得 且对任意的恒成立，由此求得实数的取值范围．
详解：∵数满足：，，
化为∴数列是等比数列，首项为，公比为2，
∴ ，
∵ ，且数列是单调递增数列，
∴ ，∴ ，
解得 ，由 ，可得 对于任意的*恒成立， ，
故答案为：.
故选B.
13．. 14．5 15．③④
16．
【解析】
分析：可设an+1+t=3（an+t），求得t=，运用等比数列的通项公式，可得数列{an}的通项，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，化简即可得到所求和．
详解：由a1=1，an+1=3an+1，
可设an+1+t=3（an+t），
即an+1=3an+2t，可得2t=1，即t=，
则an+1+=3（an+），
可得数列{an+}是首项为，公比为3的等比数列，
即有an+=•3n﹣1，
即an=•3n﹣1﹣，
可得数列{an}的前n项和Sn=（1+3+32+…+3n﹣1）﹣n
=（3n+1﹣2n﹣3）．
故答案为：（3n+1﹣2n﹣3）．
点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。
17．（）；（）.
【解析】分析：（1）由A与C度数求出B的度数，再由c及C的度数，利用正弦定理求出b的值即可；（2）由b，c及sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．
详解：
（）∵，，∴，
又，，
∴由正弦定理得：．
（），，，
，
，
，
∴，
，
．
18．（1）；（2）1
【解析】分析：（1）先由正弦定理将边化为角：，然后结合三角形内角和可得，化简可求得A；（2）根据正弦定理将角化边，再结合cosA的余弦定理即可求得c，再根据面积公式即可.
详解：（1）∵，
∴由正弦定理得，
可得，
∴，
由，可得，
∴，
由为三角形内角，可得．
（2）因为，所以由正弦定理可得，
因为，，可得，
所以，
所以．
19．(1);(2)77.
【解析】
【分析】
（1），则数列是首项为2，公比为2的等比数列，求解即可。
（2）利用分组求和，分为一个等差数列和一个等比数列，利用数列求和公式求解。
【详解】
（1），
则数列是首项为2，公比为2的等比数列，
；
（2），
.
20．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理得和，代入已知条件，即可求出角C的大小；
（2）利用三角形面积公式得，再利用余弦定理，即可求出边c的长．
【详解】
解：由余弦定理可得：
，，
又
，
又，
，
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意可得则利用通项公式与前n项和的关系可得
（Ⅱ） 由（1）可知，结合等比数列前n项和公式计算可得数列的前项和.
【详解】
（Ⅰ）由 得
所以当时，
当时，
所以
检验符合
（Ⅱ） 由（1）可知
所以.设数列的前项和为，则：
所以数列的前项和为.
22．(1);(2)见解析;(3).
【解析】
【分析】
，，又成等差数列，解得，
当时，得到，代入化简，即可证得结果
由得，代入化简得，讨论的取值并求出结果
【详解】
（1）在中
令，得即，① 又 ②
则由①②解得.
（2）当时，由 ，得到
则 又，则
是以为首项，为公比的等比数列，
，即.
（3）当恒成立时，即（）恒成立
设（），
当时，恒成立，则满足条件；
当时，由二次函数性质知不恒成立；
当时，由于对称轴 ，则在上单调递减，
恒成立，则满足条件，
综上所述，实数λ的取值范围是.
【点睛】
本题考查了数列的综合题目，在求通项时可以采用的方法来求解，在求数列不等式时将其转化为含有参量的一元二次不等式问题，然后进行分类讨论求出结果。
